高中數(shù)學(xué)4.1坐標(biāo)系4.1.2極坐標(biāo)系知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-4

1、極坐標(biāo)系自主整理1. 在平面上取一個(gè)定點(diǎn) O，自點(diǎn) O 引一條射線 OX，同時(shí)確定一個(gè) _和計(jì)算角度的 _ （通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. 其中點(diǎn)O稱為 _，射線 OX稱為 _.答案 : 長(zhǎng)度單位正方向極點(diǎn)極軸2. 設(shè) M 是平面上任一點(diǎn)， 表示 OM的_ ， 表示以射線 OX為始邊，射線 OM為終邊所成的 _. 那么，有序數(shù)對(duì)（，）稱為點(diǎn)M 的極坐標(biāo) . 顯然每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì) ( , ) 決定一個(gè)點(diǎn)的位置. 其中，稱為點(diǎn)M 的 _， 稱為點(diǎn)M 的_.答案:長(zhǎng)度角極徑極角3. 平面內(nèi)任意一點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為（ x,y ）和（，），則由三角函數(shù)的定義可以得

2、到如下兩組公式：_;_.通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取_， _.答案 :(x 0) 0 0 2高手筆記1. 極坐標(biāo)是用“距離”與“角度”來刻畫平面上點(diǎn)的位置的坐標(biāo)形式. 極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系一樣，都是刻畫點(diǎn)的位置和運(yùn)動(dòng)的參照物，是建立點(diǎn)的集合與坐標(biāo)的集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系的橋梁 .2. 建立極坐標(biāo)系的要素是 : 極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位和它的正方向, 四者缺一不可 . 極軸是以極點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角 的始邊是極軸，它的終邊隨著 的大小和正負(fù)而取得各個(gè)位置；的正向通常取逆時(shí)針方向， 的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點(diǎn)M 的極徑 表示點(diǎn) M 與極點(diǎn)O

3、的距離OM，因此 0；但必要時(shí)，允許 0.3. 建立極坐標(biāo)系后，給定 和 ，就可以在平面內(nèi)惟一確定點(diǎn)M；反過來，給定平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，也可以找到它的極坐標(biāo)（，）. 一般地，極坐標(biāo)（，）與（，+2k）（ k R）表示同一個(gè)點(diǎn). 特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為（ 0，）（ R） . 和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定 0，0 2，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可以用惟一的極坐標(biāo)（，）表示；同時(shí)，極坐標(biāo)（，）表示的點(diǎn)也是惟一確定的 .4. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的三個(gè)前提條件是：（1）極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；（2）極軸與直角坐標(biāo)系橫軸的正半軸重合；（3）兩坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同. 由

4、2=x2+y2 求 時(shí)， 不取負(fù)值；由tan =(x 0) 確定 時(shí)，根據(jù)點(diǎn)（x,y ）所在的象限取最小正角.當(dāng) x0時(shí)， 角才能由tan =按上述方法確定. 當(dāng) x=0 時(shí)， tan 沒有意義，這時(shí)又分為三種情況：（1）當(dāng) x=0,y=0時(shí)，可取任何值；（2）當(dāng) x=0,y 0 時(shí)，可取=；（3）當(dāng) x=0,y 0 時(shí)，可取 =.1 / 45. 研究直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，可以從定義出發(fā)，極坐標(biāo)M（，）中，是 M 到極點(diǎn) O 的距離，是以極軸OX 為始邊，射線OM為終邊的角，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，那么（，）與（x,y ）之間的聯(lián)系可以用三角函數(shù)表示：cos=,s

5、in =,tan =, 由這兩組式子可以方便地在兩種坐標(biāo)之間互化.名師解惑平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但為什么它并不是確定點(diǎn)的位置的惟一方法，為什么要使用極坐標(biāo)？剖析： 我們已經(jīng)知道，確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置時(shí)，有時(shí)是依靠水平距離與垂直距離（即“長(zhǎng)度”與“長(zhǎng)度”，這就是直角坐標(biāo)系的基本思想）這兩個(gè)量，有時(shí)卻是依靠距離與方位角（即“長(zhǎng)度”與“角度”，這就是極坐標(biāo)系的基本思想）這兩個(gè)量. 在生活中，如在臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、測(cè)量、航空、航海中，甚至更貼近我們生活的如我們聽聲音，不但有高低之分，還有方向之分，我們能夠辨別出聲源的相對(duì)位置，這些都要用距離和方向來確定一點(diǎn)

6、的位置 .有些復(fù)雜的曲線，比如說環(huán)繞一點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的軌跡，用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡(jiǎn)單且便于處理. 在應(yīng)用上有重要價(jià)值的等速螺線，它的直角坐標(biāo) x 與 y 之間的關(guān)系很難確定，可是它的極坐標(biāo) 與 卻有一個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)關(guān)系，我們將在后一節(jié)的內(nèi)容中學(xué)習(xí)極坐標(biāo)形式下的一些簡(jiǎn)單曲線方程.總之，使用極坐標(biāo)是人們生產(chǎn)生活的需要. 平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點(diǎn)的位置的惟一方法.講練互動(dòng)【例題1】設(shè)有一顆彗星，圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)?0（萬千米）時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的

7、直線與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo).思路分析： 如圖所示 , 建立極坐標(biāo)系，使極點(diǎn)O 位于拋物線的焦點(diǎn)處，極軸OX 過拋物線的對(duì)稱軸，由題設(shè)可得下列四種情形：（1）當(dāng)= 時(shí), =30（萬千米） ; （ 2）當(dāng) =時(shí), =30（萬千米） ;(3) 當(dāng) =時(shí), =30(萬千米 );(4) 當(dāng) =時(shí), =30( 萬千米 ).解： 彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有四種情形：(30,),(30,),(30,),(30,).黑色陷阱彗星此時(shí)的極坐標(biāo)是四個(gè)，不能忽略了夾角的概念. 如果只找到了一個(gè)極坐標(biāo)，這是對(duì)2 / 4三角概念不清，需要我們認(rèn)真審題.變式訓(xùn)練1. 如圖，寫出極坐標(biāo)系

8、中 A，B， C， D，E， F， G各點(diǎn)的極坐標(biāo)（ 0，0 2） .思路分析： 確定各點(diǎn)的極徑 和極角 ，并注意給定的范圍.解： 在極坐標(biāo)系中，A， B， C， D， E， F， G 各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是（4， 0 ），（ 2，），（3，），（ 1，），（, ），（ 6，），（ 5，） .【例題 2】在極坐標(biāo)中，若等邊ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)是A(2,) 、 B(2,), 那么頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)可能是 ()A.(4,)B.(,)C.(2, )D.(3,)解析： 如圖，由題設(shè)可知A， B 兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O 對(duì)稱，即O 是 AB的中點(diǎn) . 又|AB|=4， ABC為正三角形， |OC|=2， AOC=， C

9、對(duì)應(yīng)的極角= + =或+=，即 C 點(diǎn)極坐標(biāo)可能為 (,)或(,).答案： B綠色通道在找點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，把圖形畫出來，可以幫助我們解決問題，從圖形中很容易找到極角和極徑 . 這一點(diǎn)跟直角坐標(biāo)系中的思想方法是一致的數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練2. 設(shè)點(diǎn)A（ 2，），直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A 關(guān)于極軸、直線l 、極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)（限定 0， - ） .【例題 3】把點(diǎn) M的極坐標(biāo)（ 2，）化為直角坐標(biāo)形式.3 / 4思路分析： 利用坐標(biāo)變換公式.解： 由坐標(biāo)變換公式，得即點(diǎn) M的直角坐標(biāo)為（-1 ，） .思路分析： 首先建立極坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合求解.解： 如圖所示，點(diǎn)A 關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（ 2，-），點(diǎn) A 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)為 C（2，），點(diǎn)A 關(guān)于極點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)為D（2，-） .綠色通道利用坐標(biāo)變化公式可實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.變式訓(xùn)練3. 把點(diǎn) M的直角坐標(biāo)（ 1， -1 ）化為極坐標(biāo)形式（限定 0， - ） .思路分析： 由坐標(biāo)互化公式=,tan =及點(diǎn) M的象限直