拋物線的性質(zhì)歸納及證明

1、1 拋物線的常見性質(zhì)及證明 概念 焦半徑：拋物線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段； 焦點(diǎn)弦：兩端點(diǎn)在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)線段稱為焦點(diǎn)弦 性質(zhì)及證明 2 時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短，稱為通徑，長(zhǎng)為 2p；AOB勺面積S/xOAA p 證明：根據(jù)拋物線的定義，| AF |= | AD |= x+ ?, | BF |= | BC |= X2 + p, | AB |= | AF |+ | BF |= x + X2+ p |+1 y1 |) yy2= p2,則 y1、y2異號(hào)，因此,Iy1 |+ | y1 |= | y1 y2 | 2 2 過拋物線 y2= 2px (p 0)焦點(diǎn)F的弦兩端點(diǎn)為 A(Xi, yi)

2、, Bg, y),傾斜角為a ,中點(diǎn)為 C(X0,y 0), 1.求證: 垂足為 A、B、C. 焦半徑|BF |=X2 g = 一 ; 2 2 1 cos： 分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線， 焦半徑| AF |= x +衛(wèi)=p； 2 1 - cos： 1 + : = 2;弦長(zhǎng) | AB| = xi + X2+ p= 2?;特別地，當(dāng) Xi=X2( ot =9090。) I I AF I | I | BF | P| P sin - 如圖2,過A、B引x軸的垂線AA、BB，垂足為 A1、B，那么 | RF |= | AD | FA1 |= | AF | AF |cosB, | RF | ： 1

3、 cos 同理, | BF |= | RF | 1 + cos p 1 + cos | AB |=| AF |+| BF |= p 工 p 2p_ 2 1 cosS 1 + cos8 sin 8 1 一 1 一 1 p SA OAB = SA OAF + & OBF = ?| OF | y1 |+ ?| OF | y1 | = 2 2 (|、】 2 圖3 - &OAB = j y - V21 = W(y + y2)2 4yy2 = *4m2p2+ 4p2=p/1+ m2=p .3 2 2.求證： 必=；y地=予2.7-+ -BF-= 4 ， I AI Al l Bl l Bl

4、l p 當(dāng)ABL x軸時(shí)，有 AF = BF = p,成立； AB的方程為：y = k x 衛(wèi)i.代入拋物線方程: 2 k2 X-E) =2px.化簡(jiǎn)得: 2 2 k2x2 -p k2 2 x k2=0 1_ _1_ _ _1_ _1 AF BF 一 AA BB1 x1 x2 p 2 xg 占為 x2 P 2 4 x1 x2 p % x2 p 2 =2 2 = =一 以.衛(wèi) xi x2 2 ? xi x2 p p 4 2 1 2 4 2 3 3.求證：NACB = FB = RtZ .RtZ . 先證明：/ AMB = RtZ/ AMB = RtZ 【證法一】延長(zhǎng) AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖

5、 ADMA ECM , | AM |= | EM |, | EC |= | AD | | BE |= | BC |+ | CE |= | BC |+ | AD | .方程（1）之二根為xi , x2, - xi k2 x23 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 y 4 圖3 =| BF |+ | AF |= | AB |5 .ABE為等腰三角形，又 M是AE的中點(diǎn), BM AE,即Z AMB = RtZ 【證法二】取 AB的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,則 | MN |= 2(| AD |+ | BC |)= 2(| AF |+ | BF |) = 1 AB |, . | MN |= | AN |= | BN

6、 .ABM為直角三角形， AB為斜邊，故/ AMB = Rt / . 【證法三】由已知得 C（-2，y2）、D（-P, yi）,由此得M（-2,四弄）. p 2 y + y2 y1 - 2 一 kAM = y1 y2 p(y1 y2) 上=6 cp -P2 PM- y2+ ；2 同理kBM =衛(wèi) y2 2 2 P P 衛(wèi) P P P P / / -kAM - kBM= - = = - 1 y1 y2 yy2 p BM AE,即Z AMB = RtZ . 【證法四】由已知得 C( 2, y2)、D( % y)，由此得M(- y + y2 2). - A = (x1 +p, y1 2 y2),福B

7、 = (x3 + p, y2 2 y1) MA - MB = (XI + 2)(x2+ p) + k y%y2-y1) 4 2 . 、2 上 p,上.p (y y2) =x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 4 / 2 2 2 2 | 2 y2 p y + y2 2yy2 2p)+ 4 4 2 -p2 += 0 2 2 2 =4 + 但工yH2_P , p 十 2 MA J_ MB ,故Z AMB = Rt / . 【證法五】由下面證得Z DFC = 90 *，連結(jié)FM ,則FM = DM . 又 AD = AF,故 ADMA AFM，如圖 4 .Z 1 = 7 2,同理/ 3=7 4

8、6 ，一， 1 Z 2+Z 3 = 2 X 18090 Z AMB = Rt Z . 接著證明：/ DFC = RtZ/ DFC = RtZ 【證法一】如圖 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可設(shè)Z AFD = Z ADF = Z DFR = a, 同理，設(shè)/ BFC=Z BCF = Z CFR = P, 而Z AFD + Z DFR + Z BFC+Z CFR = 180 2(a + 用=180 ，即 o(+E= 90 ”，故Z DFC = 90 s 【證法二】取CD的中點(diǎn)M,即M(-匕卜羹) 由前知 kAM = P, kCF = - y =-=衛(wèi) y1 + D+

9、p p y 2 2 kAM = kCF, AM / CF,同理， BM / DF DFC =Z AMB = 90 % 【證法三】. DF = (p, y)，CF = (p, y2), DF , CF = p2 + yy2 = 0 DF CF ,故z DFC = 90 s 【證法四】由于| RF |2= p2= yy2= | DR | - | RC |,即譬 = | RF | | RF | ，且Z DRF = Z FRC = 90 DRFA FRC Z DFR = Z RCF,而Z RCF+Z RFC = 90 Z DFR + / RFC= 90 Z DFC = 90 4. C A4. C A、

10、C BC B是拋物線的切線 2 【證法一】kAM = D, AM的直線方程為y-y1 = (x 71) y y? 2p，圖8 7 與拋物線方程y2= 2px聯(lián)立消去x得 2 y2 y- yi=*（素奈，整理得 y2 2yiy+ y= 0 yi 2p 2p 可見 = （2y）2 4y2 = 0, 故直線AM與拋物線y2= 2px相切， 同理BM也是拋物線的切線，如圖 8. 【證法二】由拋物線方程 y2= 2px,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，（礦）；=（2px）X， 得2y - y；= 2p, y；= p故拋物線y2= 2px在點(diǎn)A（x，y）處的切線的斜率為 k切=y；| y P =yi 一 . yi 又kAM

11、 = 2, 切=kAM，即AM是拋物線在點(diǎn) A處的切線，同理 BM也是拋物線的 yi 切線. 【證法三】.過點(diǎn) A（x，yi）的切線方程為yiy= p（x+ xi）,把M（ 一 p,史妾）代入 2 2 右邊=p（ p + x）= 一 p + pxi,左邊=右邊，可見，過點(diǎn) 即AM是拋物線的切線，同理 BM也是拋物 線的切線. 5. C A5. C A、C BC B分別是/ AABAAB和Z BBAZ BBA的平分線. . 【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E,如圖9, 則 ADMA ECM，有 AD / BC, AB= BE, DAM = Z AEB = Z BAM, 即AM平分Z DAB,同

12、理BM平分Z CBA. E 【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜 2 2 2 yi+ y2 yi+ yiy2 2pxi p p_ 左邊=yi - 2 = 2 = 2 = pxi 2, A的切線經(jīng)過點(diǎn)M , 圖9 8 角二是直線AM的傾斜角P的2倍即可，即a =2巨且M（-?，號(hào)2）9 . . y2 yi y2 yi 2p -tana = kAB= - = - 廠=一, . X2 Xi y2 y1 yi V2 2p-2p yi y2 y tan P= kAM = -P2 yi V2 p(yi y2) p(yi yi)p p y? = y2+ P2 = y2 + P2 = yi Xi +

13、 2 2 - + p 乙p yi 2p .tan 2 E= = - =升= = tana i tan A i (p)2 y2 p y2+ yiy2 yi + y2 10 .a= 2?，即 AM 平分Z DAB,同理 BM 平分Z CBA. 6. AC6. AC、A A F、y y軸三線共點(diǎn)，BCBC、B B F、y y軸三線共點(diǎn) 【證法一】如圖i0,設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)Gi, 由以上證明知| AD |= | AF |, AM平分Z DAF,故AGi也是DF邊上的中線, Gi是DF的中點(diǎn). 設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)Di, DF與y軸相交于點(diǎn) G2, 易知，| DDi |= | OF |, DDi OF

14、, 故 DDiG2 FOG2 | DG2 |= | FG2 |,則 G2也是 DF 的中點(diǎn). Gi與G2重合（設(shè)為點(diǎn) G）,貝U AM、DF、y軸三 線共點(diǎn)， 同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn). 2 【證法二】AM的直線方程為y yi =衛(wèi)（x 一普）， yi 2p 令x= 0得AM與y軸交于點(diǎn)Gi（o,駕）， 又DF的直線方程為y=一甘次一2）,令x = 0得DF與y軸交于點(diǎn)G2（0,駕） AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn) G（0,學(xué)），貝U AM、DF、y軸三線共點(diǎn)， 同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn) H.由以上證明還可以得四邊形 MHFG是矩形. 11 2 p P yi 2 火xi y=2- y

15、i2 2p OC / OA，且都以O(shè)為端點(diǎn) .A、O、C三點(diǎn)共線，同理 B、O、D三點(diǎn)共線. 【推廣】過定點(diǎn) P(m, 0)的直線與拋物線 y2= 2px (p0)相交于點(diǎn) A、B,過A、B兩 點(diǎn)分別作直線l: x=- m的垂線，垂足分別為 M、N,貝U A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M 三點(diǎn)也共線，如下圖：7. A7. A、O O、BB三點(diǎn)共線，B B、O O、A A三點(diǎn)共線. . 【證法一】如圖ii, kA =坦=斗=亞, xi 坦 yi _ y2 _ 官醇 2py2 2p kOC 一 一 一 一 = p p p yi y2 yi koA = koc,則 A、O、C 三點(diǎn)共線, 同理D、O、

16、B三點(diǎn)也共線. 【證法二】設(shè) AC與x軸交于點(diǎn) O: AD / RF / BC | RO|_ | COL | BF | | OF |_ | CB | | AD | | CA | | AB T | AF| AB 又| AD |= | AF |, | BC |= | BF |, .豎S= |-| |AF | |AF | O、A三點(diǎn)共線，同理 | RO| = | OF |,貝 U O 寫 O 重合，即 C、 共線. 【證法三】設(shè) AC與x軸交于點(diǎn)ORF / BC, | AB | O寫O重合，則即 【證法四】. 0C = (-2, |_On=y | CB | | AB | D、O、 ,J= p【見證】

17、 | AF |+ | BF | 工 2 | AF | | BF | C、O、A三點(diǎn)共線，同理 D、O、B三點(diǎn)也共線. Y2), OA = (xi, yi), B三點(diǎn)也 2 pyi yiy2yi pypyi n 十 =u 12 m m- - n n 8.8.若| AF | AF |： | BF |= m| BF |= m： n,n,點(diǎn)A A在第一象限，8為直線ABAB的傾斜角. .則coscos0= 0= 一 ； m+ nm+ n 【證明】如圖14,過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為 D, C,過B作BEX AD 于 E,設(shè) | AF |= mt, | AF |= nt,貝U 且| AF |

18、: | BF |= 3: 1,則直線AB的傾斜角的大小為 【答案】60或120 y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線| AD |= | AF |, | BC |= | BF |, | AE |= | AD | BC | = (m n)t .在 Rt ABE 中, cosZ BAE = J.AEJ (m n)t m n m+ n cos 0= cosZ BAE= m. m+ n 【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線 y2= 2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于 兩點(diǎn)A、B, 9 9.以AF為直徑的圓與y軸相切, 以BF為直徑的圓與 相切；A B為直徑的圓與焦點(diǎn)弦 ABAB相切. . 【說明】如圖15,設(shè)E是AF的中點(diǎn), 13 2+ xi 貝U E的坐標(biāo)為（ - ，丑） 2 2灼 則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d= -2-2一 = | AF | 故以AF為直徑的圓與y軸相切， 同理以BF為直徑的圓與y軸相切. 【說明】如圖15,設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作 MNL準(zhǔn)線l于N,則 I MN |= 2(| AD |+ | BC |)=須 AF |+ | BF |) = ；|