第3章 能量法

1、目錄目錄目錄目錄目錄軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮llEAEAlFWVN2222)( 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)2P222 lGIGIlTWVP 目錄 lEIdxxMWV22)( 梁的平面彎曲梁的平面彎曲梁橫力彎曲時(shí)的剪切變形：梁橫力彎曲時(shí)的剪切變形： lssGAdxxFWV22)( 目錄 10FddWW目錄 在彈性范圍內(nèi)，物體在外力作用下發(fā)生變形，物在彈性范圍內(nèi)，物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相體的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即應(yīng)位移上所做的功，即=WVFl ld 10 ddVVV 目錄 對桿件中取出的單元體對桿件中取出的單元體（邊長為單

2、位長）（邊長為單位長） 10 d 10FdW EEd22121212101 GGd22121212101 目錄例題例題3-13-1qlABwxxyEIlqdxxlxEIqEIdxxMWVll240825222022 )()( 22121qxqlxM 目錄 10FccdFdWWdVVVcc 10 dc目錄例題例題3-23-2lAl11EAlFlN )(EAFlllN 1目錄EAFlEAFEAFllllNNN2222222 )()(ltansin 22FlFFN sinEAlF3 目錄lAl111134103041411 FlEAEAdlFdV 10FcdFV目錄EAlF3 11313410434

3、313 FlEAFdFlEAFF)(F1AllF1AlFNFN由功能原理得由功能原理得: :3 =F1l32EA錯(cuò)在何處?幾何非線性問題幾何非線性問題該題若要建立力與該題若要建立力與位移的關(guān)系。位移的關(guān)系。錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！例題例題3-33-3BCD）（11 nKn 11目錄BCD cos21FFN cosAFAFN21 nK目錄)(cos)(110021111 nnncAFnKdKd )()(cos)()(cos)(1111122122 nnnnnccFnKAlAFnKAlAlV ）（目錄變形能的計(jì)算不能用疊加原理。變形能的計(jì)算不能用疊加原理。1F2F2F1F？21WWW1W2W討論討論: :應(yīng)變

4、能一般不能疊加，只有一種載荷在另一應(yīng)變能一般不能疊加，只有一種載荷在另一種載荷引起的變形上不作功才可疊加計(jì)算。種載荷引起的變形上不作功才可疊加計(jì)算。如如)(xFN)(xFN)(xM)(xM)(xT)(xTLLPLNGIdxxTEIdxxMEAdxxFV2)(2)(2)(222軸力、扭矩和彎矩各自的變形不同軸力、扭矩和彎矩各自的變形不同, , 相互不做相互不做功功, ,應(yīng)變能可相互疊加（略掉剪力的影響）應(yīng)變能可相互疊加（略掉剪力的影響） niiiidfVW10 目錄iiiiVF dd iiVF iiFVW ddd 目錄iiVV dd iiVF目錄例題例題3-43-4BCA45l目錄BCA45B

5、（a）BCAB（b）1112245 cosBCAB ，2222450 sinBCAB ，目錄）（，21122BCAB221212212222)( lEAlEAlEAVii 目錄1112245 cosBCAB ，2222450 sinBCAB ，BCA45l軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮llEAEAlFWVN2222)( 0222242211 lEAV FlEAV ）（212222 EAFlEAFl）（，22111 目錄iiVFBCA45l niFiiccidfVW10 iiccFFVVdd 目錄iiccFVWddd iiciiFFVFdd iciFV 目錄iiccFVWddd iiccFFVVd

6、d iiFV 目錄目錄iiFV例題例題3-53-5 懸臂梁在自由端承受集中力懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩Me作作用。設(shè)用。設(shè)EI為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。LFMeAB解解 彎矩方程：彎矩方程：FxMxMe)(應(yīng)變能：應(yīng)變能：EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622212322222 )()( xLFMeAB法二法二: :用普遍定理用普遍定理EILMEIFLwwweMAFAAe2323 )()(EILMEIFLeMAFAAe 22)()( EILMEIFLMEILFMFwWVeeAeA22621212232AeAMFwWV

7、2121x例題例題3-63-6lxqFxM630 目錄 31525221d6212d3240520203002lFFlqlqEIxlxqFxEIEIxxMVll)( 321521340FllqEIFV EIlqFVwFA30400 目錄 lEIxxMV022d)( xFxMxMEIFVxEIFxMxMxEIFxMFVlFFlFFlFd1d212d21000000020 )()()()()( 即即：目錄例題例題3-7 3-7 FABaaCF已知已知: EI , F , a .的含義是什么的含義是什么 ?VF求: wAF2ABaaCF1VF= +VF1F1FVF2F2F= +VF1VF2= wA

8、+ wBAB: M (x) = - F1 x MF1= - xBC: M (x) = - F1(a + x) - F2 x MF1= - (a + x)+F(a + x) +F xEI(a + x)dxa0wA =F x dxEI2a0=7Fa32EI( )xx例題例題3-8 目錄xlMxMB )(22222qxqlMxlMqlxMBB )()()()(1d10000 xMxMxMEIMVlMBMMBBBBB 目錄2220022000 lxMxMqxqlqlxxMABlxMxMxMBCBBBBMBMMBM)(,)()()(段段：段段，：EIqlxlxqxqlqlxEIlB247d2221302

9、2 目錄xlMxMBBC )(22222qxqlMxlMqlxMBBAB )( 能量法計(jì)算中，各段內(nèi)力方程的原點(diǎn)可以任取，內(nèi)力能量法計(jì)算中，各段內(nèi)力方程的原點(diǎn)可以任取，內(nèi)力的正負(fù)也可不必遵從前面的正負(fù)規(guī)定，可以自己設(shè)定。的正負(fù)也可不必遵從前面的正負(fù)規(guī)定，可以自己設(shè)定。ABRF求求: 豎直位移豎直位移 BV。已知已知: F, R, EI1. 寫寫 M (x) 并對并對F 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)M ( ) = -FRsin M/ F = -Rsin :2. 求求 BV BV =M ( )EIRdMF =/2EI(-FRsin )(-Rsin ) Rd10 =/22EI(1-cos2 )dFR30 =/22E

10、I( - sin2 )FR3021=4 EIFR3( )例題例題3-93-9aABRF求求: BH 已知已知: F, R, EI1. 寫寫 M (x) 并對并對F1 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) :求求: BH F1M ( ) = FRsin +F1R(1- cos ) M/F1 = R(1- cos ) =/2EI(FRsin )(R)(1- cos ) Rd10 = /2EIsin (1-cos )dFR30 = /2EI(-cos - sin2 )FR3021=2EIFR3BH =M ( )EIRdMF1F1= 0( )例題例題3-9b3-9b例題例題3-10 目錄AMFxxM )(10 AxMMxFM

11、FM，AxMxaFxFxM )cos(sin)( 313 AxMMxaFMxFM， cossinAxMFxaFxM 4)(14 AxMMxFMaFM，目錄EIFaxaFxEIxxxaFEIxFxMxMEIxFxMxMEIaaaMFxMFaxMFAxAxAxAx33050300000500028d41d31d1d1 sin)cos()()()()(目錄EIFaxFxEIxxaFEIxFxEIxFxMxMEIxFxMxMEIxFxMxMEIaaaaMFMFaMFaMFMFAyAxAxAxAxAx3302502302300000500030000033d1d31d1d1d1d1 )cos()()()

12、()()()( 目錄EIFaxFxEIxxaFEIxFxEIxMxMxMEIxMxMxMEIxMxMxMEIaaaaMFAMFaAMFaMFAMFAAxAxAxAxAx233d1d31d1d1d1d123050303000005000300000 )cos()()()()()()( 目錄例題例題3-113-11目錄桿件FNiABBCCDDAAC0-(F+Fy)000-1000-10000-F00FFNiyNiFF0yFNiFF22F20000 FNiFNiiFiFFFFEAlFVFV 目錄EAFlEAlFlFEACx)()(22122211 EAFllFEACx )(11目錄 超靜定系統(tǒng)，按其

13、多余約束的情況，可以分為超靜定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為外力超靜定外力超靜定系統(tǒng)和系統(tǒng)和內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。系統(tǒng)。外力超靜定外力超靜定支座反力不能全由平衡方程求出；支座反力不能全由平衡方程求出；內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定支座反力可由平衡方程求出，但支座反力可由平衡方程求出，但 桿件的內(nèi)力卻不能全由平衡方程桿件的內(nèi)力卻不能全由平衡方程 求出。求出。目錄BCAD外力超靜定外力超靜定內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定目錄 超靜定結(jié)構(gòu)的求解，一般先解除多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的求解，一般先解除多余約束，代之以多余約束力，得到基本靜定系。再根據(jù)變代之以多余約束力，得到基本靜定系。再根據(jù)變形幾何相容條件得到關(guān)于多余

14、約束力的補(bǔ)充方程。形幾何相容條件得到關(guān)于多余約束力的補(bǔ)充方程。 這種以這種以“力力”為未知量，由相容條件為基本方為未知量，由相容條件為基本方程的方法，稱為程的方法，稱為力法力法。 求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，可以求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，可以利用結(jié)構(gòu)的利用結(jié)構(gòu)的對稱性對稱性和和反對稱性反對稱性減少未知力的個(gè)數(shù)，簡化計(jì)算。減少未知力的個(gè)數(shù)，簡化計(jì)算。超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法 目錄目錄0d1 xXxMxMEIXVwlB)()( xXMXxxM ，)(xXMMXxxMe ，)(aXMqyMXayMe ，22)(目錄0d2dd102220 yaqyMXaxxMXxxxXxEIwaeaaeaB)()(kN

15、56.16X（逆逆）（向向左左）mkN292kN5616kN50 .AAyAXMFF（向下）目錄目錄。目錄目錄FF/2F/2目錄目錄目錄目錄目錄例題例題3-11 求求 A、B兩點(diǎn)間的相對線位移兩點(diǎn)間的相對線位移AB 。AFBFRFSFSFSFSMMMM由對稱性知由對稱性知: :2NFF 0S F,AFBFRFNFNAF/2RMDD變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件: :0 D )cos()( 12RFMMD1 DMM d RMMIEMDD 1222 RFMIERD0 121FRMD由此得由此得AF/2RMDD)cos()( 12121RFFRM 12cosFR)cos()( 12RFM d220 RFM

16、IEMD)()( 183IEFR 2423IEFRDABAF/2RMDD 練習(xí)題：平面剛架受力如圖，各桿練習(xí)題：平面剛架受力如圖，各桿 EI=常數(shù)。常數(shù)。 試試求求C處的約束力及支座處的約束力及支座A、B的約束反力。的約束反力。Aaa/2a/2BCq變形條件：變形條件：C截面的位移為零截面的位移為零.Aaa/2CqX11631qaX 練習(xí)題：剛架的彎曲剛度為練習(xí)題：剛架的彎曲剛度為EI，承受力，承受力F后，支座后，支座C 有一下陷量有一下陷量 ，試求剛架，試求剛架C處的反力。處的反力。aa/2a/2FABCC 特別注意相容的符號問題特別注意相容的符號問題a/2a/2FABCaX131 436429aEIFX 練習(xí)題：正交折桿練習(xí)題：正交折桿ABC放置于水平面內(nèi)，已知折桿放置于水平面內(nèi)，已知折桿ABC的彎曲剛度為的彎曲剛度為EI、扭轉(zhuǎn)剛度為扭轉(zhuǎn)剛度為GIp及桿及桿CD的拉壓剛的拉壓剛度為度為EA。試求