第16章 連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型

1、第第16章章 連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型n16.1 美式期權(quán)定價(jià)模型概述美式期權(quán)定價(jià)模型概述n16.2 股票價(jià)格行為模型股票價(jià)格行為模型n16.3 無(wú)套利機(jī)會(huì)股票價(jià)格模型無(wú)套利機(jī)會(huì)股票價(jià)格模型n16.4 美式看漲期權(quán)定價(jià)模型美式看漲期權(quán)定價(jià)模型n16.5 美式看跌期權(quán)定價(jià)模型美式看跌期權(quán)定價(jià)模型n因?yàn)槊朗狡跈?quán)沒(méi)有固定的執(zhí)行時(shí)間，學(xué)因?yàn)槊朗狡跈?quán)沒(méi)有固定的執(zhí)行時(shí)間，學(xué)者很難用解析模型為美式期權(quán)定價(jià)。本者很難用解析模型為美式期權(quán)定價(jià)。本章主要介紹作者章主要介紹作者2008年提出的連續(xù)時(shí)間年提出的連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。內(nèi)容包括股票價(jià)格美式期權(quán)定價(jià)模型。內(nèi)容包括股票價(jià)格行為模型

2、，連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。行為模型，連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型。16.1 美式期權(quán)定價(jià)模型概述美式期權(quán)定價(jià)模型概述n19731973年，年，F(xiàn)ischer BlackFischer Black、Myron ScholesMyron Scholes和和Robert Robert MertonMerton在歐式股票期權(quán)定價(jià)模型研究中，取得突破性在歐式股票期權(quán)定價(jià)模型研究中，取得突破性進(jìn)展。提出不派息（和派息）股票期權(quán)定價(jià)模型，又進(jìn)展。提出不派息（和派息）股票期權(quán)定價(jià)模型，又稱(chēng)為稱(chēng)為Black-ScholesBlack-Scholes模型。該模型的提出為股票期權(quán)定模型。該模型的提出為股票期權(quán)定價(jià)提供

3、了理論依據(jù)，同時(shí)也促進(jìn)了價(jià)提供了理論依據(jù)，同時(shí)也促進(jìn)了2020世界世界8080年代和年代和9090年代金融工程的發(fā)展。為了表彰他們對(duì)人類(lèi)所做出的年代金融工程的發(fā)展。為了表彰他們對(duì)人類(lèi)所做出的貢獻(xiàn)，貢獻(xiàn)，Myron ScholesMyron Scholes和和Robert MertonRobert Merton于于19971997年獲得年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。遺憾的是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。遺憾的是Fischer BlackFischer Black于于19951995年逝年逝世。世。nCoxCox、RossRoss和和 Rubinstein(1979)Rubinstein(1979)提出的二叉樹(shù)模型，提

4、出的二叉樹(shù)模型，成為美式期權(quán)定價(jià)的主流模型。為了提高二叉樹(shù)的收成為美式期權(quán)定價(jià)的主流模型。為了提高二叉樹(shù)的收斂速度，斂速度，HullHull和和WhiteWhite（19941994）提出三叉樹(shù)模型。）提出三叉樹(shù)模型。Boyle(1977)Boyle(1977)提出蒙特卡羅模擬模型。提出蒙特卡羅模擬模型。BrennanBrennan和和Schwartz(1978)Schwartz(1978)提出有限差分模型。提出有限差分模型。Duan(1995)Duan(1995)提出提出GARCHGARCH（廣義自回歸條件異方差）模型。（廣義自回歸條件異方差）模型。 n經(jīng)過(guò)多年的研究，作者已經(jīng)研制出不派息連

5、續(xù)經(jīng)過(guò)多年的研究，作者已經(jīng)研制出不派息連續(xù)時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型（時(shí)間美式期權(quán)定價(jià)模型（20082008）, ,在此基礎(chǔ)上在此基礎(chǔ)上又提出連續(xù)時(shí)間美式外匯期權(quán)定價(jià)模型又提出連續(xù)時(shí)間美式外匯期權(quán)定價(jià)模型（20092009），這兩個(gè)模型的復(fù)雜程度與），這兩個(gè)模型的復(fù)雜程度與BSBS模型相模型相似。通過(guò)實(shí)證研究，這兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果與似。通過(guò)實(shí)證研究，這兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果與二叉樹(shù)模型相比，看漲期權(quán)的最大相對(duì)誤差僅二叉樹(shù)模型相比，看漲期權(quán)的最大相對(duì)誤差僅為為2.47%2.47%，看跌期權(quán)的最大誤差僅為，看跌期權(quán)的最大誤差僅為-0.6545%-0.6545%。 16.2 股票價(jià)格行為模型股票價(jià)格行為模型n

6、假設(shè)股票的價(jià)格波動(dòng)為零，而且不派息。如果投資者假設(shè)股票的價(jià)格波動(dòng)為零，而且不派息。如果投資者的期望收益率為的期望收益率為 ，零時(shí)刻的股票價(jià)格為，零時(shí)刻的股票價(jià)格為 ，則持，則持股股 年股票價(jià)格的期望值年股票價(jià)格的期望值 應(yīng)為：應(yīng)為：n （16-116-1）n公式（公式（16-116-1）與銀行存款本金和利息的計(jì)算公式完全）與銀行存款本金和利息的計(jì)算公式完全相同。相同。 為本金；為本金； 為銀行存款利率；為銀行存款利率； 為存款年為存款年限；限； 為為 年后的本金和利息。為了數(shù)學(xué)處理上的年后的本金和利息。為了數(shù)學(xué)處理上的方便，我們采用連續(xù)復(fù)利形式，則模型（方便，我們采用連續(xù)復(fù)利形式，則模型（16

7、-116-1）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋簄 （16-216-2）n從公式（從公式（16-2）中我們可以看出，當(dāng)股票的價(jià)格波動(dòng)）中我們可以看出，當(dāng)股票的價(jià)格波動(dòng)為零時(shí)，股票價(jià)格的期望值以年利率為的復(fù)利形式增為零時(shí)，股票價(jià)格的期望值以年利率為的復(fù)利形式增長(zhǎng)，與銀行存款有相同的增長(zhǎng)方式。長(zhǎng)，與銀行存款有相同的增長(zhǎng)方式。 ttSS)1 (0tteSS00StStt0StStn由此可見(jiàn)，用公式（由此可見(jiàn)，用公式（16-216-2）表示）表示t t時(shí)刻股票價(jià)格的期望時(shí)刻股票價(jià)格的期望值是合理的。把式（值是合理的。把式（16-216-2）兩邊同除以）兩邊同除以 ，并取對(duì)數(shù)，并取對(duì)數(shù)得到：得到：n （16-316-3）n

8、其中其中 是持股是持股 年的對(duì)數(shù)收益率，而不是年年的對(duì)數(shù)收益率，而不是年收益率，年收益率為收益率，年收益率為 。n假設(shè)假設(shè) 是單位時(shí)間內(nèi)股票對(duì)數(shù)收益率的方差，則是單位時(shí)間內(nèi)股票對(duì)數(shù)收益率的方差，則 為為 年內(nèi)收益率年內(nèi)收益率 的方差。只有在公式的方差。只有在公式（16-316-3）中加入隨機(jī)項(xiàng)，才能真實(shí)全面地反映股票價(jià)格的變化。中加入隨機(jī)項(xiàng)，才能真實(shí)全面地反映股票價(jià)格的變化。tSSt)ln(00S)/ln(0SSt)/ln(0SSttt2t2n通過(guò)上面的分析，股票價(jià)格過(guò)程通過(guò)上面的分析，股票價(jià)格過(guò)程 可以用下列形式的可以用下列形式的隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述n （16-416-4）n或或n

9、（16-516-5）n其中：其中： 為為 測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)維納（測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)維納（WienerWiener）過(guò)）過(guò)程，程， 。 n （16-616-6）n其中：其中： 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量， 。WtteSS0)exp(0WtSSttW), 0(tNWtSWP) 1 , 0( Nn公式（公式（16-516-5）兩邊同除以）兩邊同除以 ，并取對(duì)數(shù)得到：，并取對(duì)數(shù)得到：n （16-716-7）n對(duì)數(shù)收益率服從下列形式的正態(tài)分布對(duì)數(shù)收益率服從下列形式的正態(tài)分布n （16-916-9）n方程（方程（16-516-5）是描述股票價(jià)格變化的合理模型。）是描述股票價(jià)格變化的合理模型。 WtSSt

10、)ln(0),()ln(20ttNSSt0S16.3 無(wú)套利機(jī)會(huì)股票價(jià)格模型無(wú)套利機(jī)會(huì)股票價(jià)格模型n 一般情況下，國(guó)庫(kù)券以政府為擔(dān)保，價(jià)格受隨機(jī)因素一般情況下，國(guó)庫(kù)券以政府為擔(dān)保，價(jià)格受隨機(jī)因素的影響較少，波動(dòng)也較少，因此，買(mǎi)國(guó)庫(kù)券屬于無(wú)風(fēng)的影響較少，波動(dòng)也較少，因此，買(mǎi)國(guó)庫(kù)券屬于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資。而股票的價(jià)格受隨機(jī)因素的影響較大，波動(dòng)險(xiǎn)投資。而股票的價(jià)格受隨機(jī)因素的影響較大，波動(dòng)也較大，因此，買(mǎi)股票屬于風(fēng)險(xiǎn)投資。單位國(guó)庫(kù)券的也較大，因此，買(mǎi)股票屬于風(fēng)險(xiǎn)投資。單位國(guó)庫(kù)券的價(jià)格和股票的價(jià)格分別用下列模型表示：價(jià)格和股票的價(jià)格分別用下列模型表示：n （16-1016-10）n （16-1116-11）n

11、其中：其中： 為為 時(shí)刻單位國(guó)債的價(jià)格；時(shí)刻單位國(guó)債的價(jià)格； 為為 時(shí)刻股時(shí)刻股票的價(jià)格，元票的價(jià)格，元/ /股；股； 為零時(shí)刻股票的價(jià)格，元為零時(shí)刻股票的價(jià)格，元/ /股；股； 為國(guó)債利率，又稱(chēng)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；為國(guó)債利率，又稱(chēng)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；rtteB WtteSS0tBtStt0Srn對(duì)股票價(jià)格貼現(xiàn)后得到對(duì)股票價(jià)格貼現(xiàn)后得到 時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值：時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值：n即即n （16-1216-12）n其中：隨機(jī)變量其中：隨機(jī)變量 零時(shí)刻的值等于隨機(jī)變量零時(shí)刻的零時(shí)刻的值等于隨機(jī)變量零時(shí)刻的值值 ，即，即 。n下面推導(dǎo)式（下面推導(dǎo)式（16-1216-12）的微分形式。我們可以把式）的微分形式。我

12、們可以把式（16-1216-12）寫(xiě)成下列形式：）寫(xiě)成下列形式：n其中其中: :tttSBZ1WtrteZZ)(0tXteZZ0WtrXt)(ttZtS00SZ n令令n伊滕公式的一般形式為：伊滕公式的一般形式為：n因?yàn)橐驗(yàn)閠XteZXf0)(tttttXdXfdXXfdZ2 )(21)(tXttZeZXfXft0 )()(dWdtrdXt)(22)(dWdtrXdt2222)()(2)()(dWdtdWrdtrn高級(jí)無(wú)窮小項(xiàng)高級(jí)無(wú)窮小項(xiàng) 和和 ，另外，另外 ，因此因此n分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過(guò)程分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過(guò)程（16-1216-12）的隨機(jī)微分方

13、程：）的隨機(jī)微分方程：n n （16-1316-13）n公式（公式（16-1216-12）和（）和（16-1316-13）表示同一隨機(jī)過(guò)程，前者）表示同一隨機(jī)過(guò)程，前者是該過(guò)程的積分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值，而是該過(guò)程的積分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格的現(xiàn)值，而后者為該過(guò)程的微分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值的后者為該過(guò)程的微分形式，表示時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值的變化。假設(shè)債券市場(chǎng)和股票市場(chǎng)允許買(mǎi)空賣(mài)空。變化。假設(shè)債券市場(chǎng)和股票市場(chǎng)允許買(mǎi)空賣(mài)空。)21(2dWdtrZdZtt0)(2dt0dWdtdtdW2)(dtXdt22n當(dāng)任意時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值變化的期望值等于零時(shí)，當(dāng)任意時(shí)刻股票價(jià)格現(xiàn)值變化的期望值等于

14、零時(shí)，即即 ，為，為 鞅過(guò)程，這時(shí)，市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)鞅過(guò)程，這時(shí)，市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。會(huì)。n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債高，投資者紛紛時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債高，投資者紛紛拋售國(guó)債，投資股票，國(guó)債的價(jià)格越來(lái)越低，而股票拋售國(guó)債，投資股票，國(guó)債的價(jià)格越來(lái)越低，而股票的價(jià)格越來(lái)越高，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。的價(jià)格越來(lái)越高，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債低，投資者紛紛時(shí)，股票的利潤(rùn)比國(guó)債低，投資者紛紛拋售股票，投資國(guó)債，國(guó)債的價(jià)格越來(lái)越高，而股票拋售股票，投資國(guó)債，國(guó)債的價(jià)格越來(lái)越高，而股票的價(jià)格越來(lái)越低，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。的價(jià)格越來(lái)越低，直到套利機(jī)會(huì)消失為止。n由此可見(jiàn)，在套利者的作用

15、下，市場(chǎng)中的套利機(jī)會(huì)很由此可見(jiàn)，在套利者的作用下，市場(chǎng)中的套利機(jī)會(huì)很少，一旦出現(xiàn)，套利者就會(huì)蜂擁而至，套利機(jī)會(huì)立即少，一旦出現(xiàn)，套利者就會(huì)蜂擁而至，套利機(jī)會(huì)立即就會(huì)消失。由此可見(jiàn)，套利者的作用并不是一無(wú)是處，就會(huì)消失。由此可見(jiàn)，套利者的作用并不是一無(wú)是處，對(duì)金融市場(chǎng)有糾偏的作用。對(duì)金融市場(chǎng)有糾偏的作用。0)(tdZE0)(tdZE0)(tdZEtZn在方程（在方程（16-1316-13）中，包括兩項(xiàng)，第一項(xiàng)為非隨機(jī)項(xiàng)，）中，包括兩項(xiàng)，第一項(xiàng)為非隨機(jī)項(xiàng)，期望值不等于零，第二項(xiàng)為隨機(jī)項(xiàng)，期望值為零。如期望值不等于零，第二項(xiàng)為隨機(jī)項(xiàng)，期望值為零。如果漂移率果漂移率 ，則，則， ，這時(shí)，市場(chǎng)，這時(shí)，市

16、場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)。根據(jù)存在套利機(jī)會(huì)。根據(jù)CMGCMG測(cè)度變換定理，為了把股票價(jià)測(cè)度變換定理，為了把股票價(jià)格現(xiàn)值過(guò)程變?yōu)轺边^(guò)程，令格現(xiàn)值過(guò)程變?yōu)轺边^(guò)程，令n （16-1416-14）n則則n或或n （16-1516-15）02/2r0)(tdZEWtrW)21(12dWdtrWd)21(12dtrWddW)21(12n把公式（把公式（16-1516-15）代入公式（）代入公式（16-1316-13），得到鞅過(guò)程：），得到鞅過(guò)程：n （16-1616-16）n其中：其中： 為為 測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)，測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)， ； 為為 測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)，測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)， 。 n在方程（在方程（16-1616

17、-16）中，因?yàn)椋┲?，因?yàn)?，則，則 為為 測(cè)度測(cè)度下鞅過(guò)程，這時(shí)，市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。利用伊滕定理，下鞅過(guò)程，這時(shí)，市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。利用伊滕定理，可以猜出隨機(jī)微分方程（可以猜出隨機(jī)微分方程（16-1616-16）的解：）的解：n （16-1716-17）n推導(dǎo)過(guò)程如下：令推導(dǎo)過(guò)程如下：令WdZdZtt0)(WEPW0)(WEQ0)(tQdZE)21exp(20tWZZttWXt221WPQtZQn令令n伊滕公式的一般形式為：伊滕公式的一般形式為：n因?yàn)橐驗(yàn)閠XteZXf0)(tttttXdXfdXXfdZ2 )(21)(tXttZeZXfXft0 )()(dtWddXt221222)21(d

18、tWdXdtdtdtdtWdWd22222)21()(n分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過(guò)程分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機(jī)過(guò)程（16-1716-17）的隨機(jī)微分方程（）的隨機(jī)微分方程（16-1616-16）。用隨機(jī)過(guò)程）。用隨機(jī)過(guò)程（16-1716-17）表示股票價(jià)格的現(xiàn)值，沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。根據(jù)）表示股票價(jià)格的現(xiàn)值，沒(méi)有套利機(jī)會(huì)。根據(jù)模型（模型（16-1716-17），可以反推出股票），可以反推出股票t t時(shí)刻的價(jià)格過(guò)程：時(shí)刻的價(jià)格過(guò)程：n即即n （16-1816-18）n用隨機(jī)過(guò)程（用隨機(jī)過(guò)程（16-1816-18）表示）表示t t時(shí)刻股票的價(jià)格沒(méi)有套利時(shí)刻股票的價(jià)格沒(méi)有套利

19、機(jī)會(huì)。而方程（機(jī)會(huì)。而方程（16-516-5）則有套利機(jī)會(huì)。因此，方程）則有套利機(jī)會(huì)。因此，方程（16-1816-18）將作為建立美式股票期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。）將作為建立美式股票期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。tttZBS )21(exp20trWSSt16.4 美式看漲期權(quán)定價(jià)模型美式看漲期權(quán)定價(jià)模型n 歐式看漲期權(quán)只有在到期日才能執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)歐式看漲期權(quán)只有在到期日才能執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，股票的到期格在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價(jià)格決定期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，看漲期權(quán)的買(mǎi)方價(jià)格決定期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，看漲期權(quán)的買(mǎi)方支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)

20、利，買(mǎi)方有權(quán)執(zhí)行期支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)利，買(mǎi)方有權(quán)執(zhí)行期權(quán)，也有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于權(quán)，也有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于零。每股看漲期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值可以表示為：零。每股看漲期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值可以表示為：n （16-1916-19）n其中：其中： 為期權(quán)的到期時(shí)間，年；為期權(quán)的到期時(shí)間，年； 為股票的到期價(jià)為股票的到期價(jià)格，元格，元/ /股；股； 為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，元為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，元/ /股；股； 求求 測(cè)測(cè)度下的期望值運(yùn)算符。度下的期望值運(yùn)算符。 )0 ,max(XSETQTTSX.QEQn 式（式（16-1916-19）是期權(quán)在執(zhí)行時(shí)的價(jià)值，而看漲期

21、權(quán)的）是期權(quán)在執(zhí)行時(shí)的價(jià)值，而看漲期權(quán)的買(mǎi)方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)，因此必須對(duì)式（買(mǎi)方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)，因此必須對(duì)式（16-1916-19）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值 ：n （16-2016-20）n其中：其中： 為期限為為期限為 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零利率；的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零利率； 為折現(xiàn)因子。為折現(xiàn)因子。n對(duì)于美式期權(quán)，投資者可以在到期日之前任何時(shí)刻執(zhí)對(duì)于美式期權(quán)，投資者可以在到期日之前任何時(shí)刻執(zhí)行。假設(shè)美式期權(quán)的投資者，買(mǎi)入美式期權(quán)后立即執(zhí)行。假設(shè)美式期權(quán)的投資者，買(mǎi)入美式期權(quán)后立即執(zhí)行，投資者可以把投資收益購(gòu)買(mǎi)國(guó)債獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。行，投資者可以把

22、投資收益購(gòu)買(mǎi)國(guó)債獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。因此，美式期權(quán)應(yīng)該是歐式期權(quán)的因此，美式期權(quán)應(yīng)該是歐式期權(quán)的 倍。倍。n （16-2116-21）)0 ,max(XSEecTQrTE）， 0max(XSEeecTQrTrTAEcrTrTerTen如果投資者購(gòu)買(mǎi)股票看漲期權(quán)后，股票價(jià)格波動(dòng)很大，如果投資者購(gòu)買(mǎi)股票看漲期權(quán)后，股票價(jià)格波動(dòng)很大，立即執(zhí)行看漲期權(quán)對(duì)投資者有利，投資者就可能立即立即執(zhí)行看漲期權(quán)對(duì)投資者有利，投資者就可能立即執(zhí)行看漲期權(quán)。這時(shí)美式看漲期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間為零。執(zhí)行看漲期權(quán)。這時(shí)美式看漲期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間為零。美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：n （16-2216-22）n根據(jù)公式

23、（根據(jù)公式（16-1816-18），我們知道，在到期日股票的價(jià)格），我們知道，在到期日股票的價(jià)格為：為：n （16-2316-23）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入式（16-2216-22），則得到美式期權(quán)的），則得到美式期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值：當(dāng)前價(jià)值：n （16-2416-24）， 0max(XSEcTQA)21(exp20TrWSST0 ,)21(exp(max20XTrWSEcQAn因?yàn)榫S納過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：因?yàn)榫S納過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：n其中：其中： 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量, , 。n因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值又必須大于零，因此因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值又必須大于零，因此n從中得到隨

24、機(jī)變量從中得到隨機(jī)變量 的取值范圍：的取值范圍：TW0)21(exp20XTrTSaTTrXS)21()ln(20) 1 , 0( Nn對(duì)公式（對(duì)公式（16-2416-24）求數(shù)學(xué)期望，就得到期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值：）求數(shù)學(xué)期望，就得到期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值：n （16-2516-25）n或者或者n （16-2616-26）n因?yàn)橐驗(yàn)閚式（式（16-2616-26）可以寫(xiě)成）可以寫(xiě)成n (16-27)(16-27)deXeScTrTTaA2221)21(0)(21deXdeeScaTTarTA22221)2121(022222)(212121TTTdeXdeeScaTarTA2221)(21022n令令n (

25、16-28)(16-28)n交換積分上下限，并改變積分上下限的符號(hào)。交換積分上下限，并改變積分上下限的符號(hào)。n (16-29)(16-29)n可以把式可以把式(16-29)(16-29)簡(jiǎn)寫(xiě)成式（簡(jiǎn)寫(xiě)成式（16-3016-30）n （16-3016-30）TdeXdeeScaTarTA222121022deXeeScaTarTA222121)(022)()(0aXNTaNeScrTAn令令, , ， 則（則（16-3016-30）式變成式（）式變成式（16-16-3131）n （16-3116-31）n其中其中n同理，我們可以得到歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型。同理，我們可以得到歐式看漲期權(quán)定價(jià)模型。n

26、 （16-3216-32）Tad1ad2)()(210dXNdNeScrTATTrXSd)21()ln(201)()(210dNXedNScrTETdTTrXSd1202)21()ln(n例題例題16-116-1美式看漲期權(quán)定價(jià)美式看漲期權(quán)定價(jià) n假設(shè)股票的當(dāng)前價(jià)格為假設(shè)股票的當(dāng)前價(jià)格為2020元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為20 20 元，元，期權(quán)的期限為期權(quán)的期限為6 6個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%5%，股票的年波，股票的年波動(dòng)率為動(dòng)率為20%20%。求美式看漲期權(quán)的價(jià)值。求美式看漲期權(quán)的價(jià)值。n解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)門(mén)TrXSd)21()ln(2012475. 05 .

27、 02 . 0)5 . 0)()2 . 0(5 . 005. 0()2020ln(21061. 01414. 02475. 012Tdd200S20X05. 0r5 . 0T2 . 0 n美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：n該股票美式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為該股票美式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為1.461.46元元/ /股。股。5987. 0)2475. 0()(1 NdN5407. 0)1061. 0()(2 NdN)()(210dXNdNeScrTA46. 15407. 0205987. 07183. 2205 . 005. 0n歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：n

28、該股票歐式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為該股票歐式看漲期權(quán)當(dāng)前的價(jià)值為1.431.43元元/ /股。股。n因?yàn)槊朗狡跈?quán)又靈活的執(zhí)行時(shí)間，因此，美式期權(quán)的因?yàn)槊朗狡跈?quán)又靈活的執(zhí)行時(shí)間，因此，美式期權(quán)的價(jià)值大于歐式期權(quán)的價(jià)值。價(jià)值大于歐式期權(quán)的價(jià)值。)()(210dNXedNScrTE43. 15407. 07183. 2205987. 0205 . 005. 016.5 美式看跌期權(quán)定價(jià)模型美式看跌期權(quán)定價(jià)模型n如果投資者預(yù)測(cè)股票的價(jià)格將會(huì)下跌，為了保值或投如果投資者預(yù)測(cè)股票的價(jià)格將會(huì)下跌，為了保值或投機(jī)，買(mǎi)入看跌期權(quán)。歐式看跌期權(quán)在到期日?qǐng)?zhí)行。期機(jī)，買(mǎi)入看跌期權(quán)。歐式看跌期權(quán)在到期日?qǐng)?zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格

29、在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，權(quán)的執(zhí)行價(jià)格在簽署期權(quán)和約時(shí)就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價(jià)格決定看跌期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，股票的到期價(jià)格決定看跌期權(quán)到期時(shí)的價(jià)值。另外，看跌期權(quán)的買(mǎi)方支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)利，看跌期權(quán)的買(mǎi)方支付期權(quán)費(fèi)后，就獲得了一項(xiàng)權(quán)利，當(dāng)看跌期權(quán)的價(jià)值大于零時(shí)就執(zhí)行期權(quán)，否則就不執(zhí)當(dāng)看跌期權(quán)的價(jià)值大于零時(shí)就執(zhí)行期權(quán)，否則就不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于零。在到期日每行期權(quán)，因此，期權(quán)的價(jià)值總是大于零。在到期日每股看跌期權(quán)的價(jià)值為：股看跌期權(quán)的價(jià)值為：n （16-3316-33）n看跌期權(quán)的買(mǎi)方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)，因此必須看跌期權(quán)的買(mǎi)方在簽署和約時(shí)支付期權(quán)費(fèi)

30、，因此必須對(duì)公式（對(duì)公式（16-3316-33）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看跌期權(quán)的）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：當(dāng)前價(jià)值為：n （16-3416-34）)0 ,max(TQESXEp)0 ,max(TQrTESXEepn投資者購(gòu)買(mǎi)美式股票看跌期權(quán)后，如果股票價(jià)格急劇投資者購(gòu)買(mǎi)美式股票看跌期權(quán)后，如果股票價(jià)格急劇下跌，投資者可以立即執(zhí)行期權(quán)，獲得的收益可以購(gòu)下跌，投資者可以立即執(zhí)行期權(quán)，獲得的收益可以購(gòu)買(mǎi)國(guó)債，獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)，美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)買(mǎi)國(guó)債，獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)，美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：值為：n （16-3516-35）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入

31、式（16-3516-35），則得到看跌期權(quán)的），則得到看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值：當(dāng)前價(jià)值：n （16-3616-36）n把維納過(guò)程，把維納過(guò)程， ，代入（，代入（16-3616-36），而且期權(quán)的），而且期權(quán)的價(jià)值又必須大于零，因此價(jià)值又必須大于零，因此)0 ,max(TQASXEp0),)21(exp(max20TrWSXEpQATW0)21(exp20TrWSXn從中得到隨機(jī)變量從中得到隨機(jī)變量 的取值范圍：的取值范圍：n對(duì)公式（對(duì)公式（16-3616-36）求數(shù)學(xué)期望，就得到美式看跌期權(quán)的）求數(shù)學(xué)期望，就得到美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為：當(dāng)前價(jià)值為：n （16-3716-37）n為了方便積分，我們

32、把式（為了方便積分，我們把式（16-3716-37）分成兩項(xiàng)）分成兩項(xiàng)n （16-3816-38）aTTrXS)21()ln(20deeSXpTrTTaA2221)21(0)(21aTTrTaAdeeSdeXp)2121(02122222n在式（在式（16-3816-38）中，第一項(xiàng)就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)積分。）中，第一項(xiàng)就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)積分。為了方便積分，我們可以變換第二項(xiàng)的指數(shù)形式：為了方便積分，我們可以變換第二項(xiàng)的指數(shù)形式：n （16-3916-39）n （16-4016-40）n在（在（16-4016-40）中，令）中，令 ，得：，得：n （16-4116-41）222)(21212

33、1TTTaTrTAdeeSaXNp2)(2102)(TTarTAdeeSaXNp22102)(n在式（在式（16-4116-41）中，第二項(xiàng)又變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的）中，第二項(xiàng)又變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的積分，我們可以把它寫(xiě)成如下形式：積分，我們可以把它寫(xiě)成如下形式：n （16-4216-42）n在式（在式（16-4216-42）中，令）中，令 ， ，則美，則美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值可以表示為：式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值可以表示為：n （16-4316-43）)()(0TaNeSaXNprTAad 2Tad1)()(102dNeSdXNprTAn其中：其中：n （16-4316-43）n同理，我們可以得到

34、歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型。同理，我們可以得到歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型。n （16-4416-44）n下面舉例說(shuō)明美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的用法。下面舉例說(shuō)明美式看跌期權(quán)定價(jià)模型的用法。TTrXSd)21()ln(202, 1)()(102dNSdNXeprTEn例題例題16-2 16-2 美式看跌期權(quán)定價(jià)美式看跌期權(quán)定價(jià)n考慮不分紅考慮不分紅5 5個(gè)月美式股票期權(quán)，股票的當(dāng)前價(jià)格為個(gè)月美式股票期權(quán)，股票的當(dāng)前價(jià)格為5050元，執(zhí)行價(jià)格為元，執(zhí)行價(jià)格為5050元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%10%，股票對(duì)數(shù)收，股票對(duì)數(shù)收益率的年波動(dòng)率為益率的年波動(dòng)率為40%40%。求美式看漲期權(quán)和美式看跌期。求美式看

35、漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)的價(jià)值。權(quán)的價(jià)值。n解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?905. 04167. 04 . 04167. 0)4 . 0211 . 0()5050ln(21d0323. 02582. 02905. 012Tdd50S50X1 . 0r4167. 012/5T4 . 0 n美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為6.416.41元元/ /股。股。61407. 0)2905. 0()(1 NdN51196. 0)0323. 0()(2 NdN38593. 061407. 01)2905. 0()(1NdN48804. 051196. 01)0323. 0()(2NdN41. 651196. 05061407. 07183. 2504167. 01 . 0Acn美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為美式看跌期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值為4.2864.286元元/ /股。股。n如果用二叉樹(shù)模型計(jì)算美式看跌式期權(quán)的價(jià)值，當(dāng)把如果用二叉樹(shù)模型計(jì)算美式看跌式期權(quán)的價(jià)值，當(dāng)把期權(quán)的持續(xù)時(shí)間劃分成期權(quán)的持續(xù)時(shí)間劃分成5