第1章應用數(shù)理統(tǒng)計

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機是研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科?，F(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科。 概率論研究隨機現(xiàn)象及統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)量概率論研究隨機現(xiàn)象及統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)量關(guān)系，而關(guān)系，而數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎(chǔ)，研究如數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎(chǔ)，研究如何有效地收集、整理和分析隨機數(shù)據(jù)，并做出何有效地收集、整理和分析隨機數(shù)據(jù)，并做出統(tǒng)計推斷、預測或者決策。統(tǒng)計推斷、預測或者決策。 研究的內(nèi)容研究的內(nèi)容 數(shù)理統(tǒng)計所要解決的問題是如何根據(jù)樣本來數(shù)理統(tǒng)計所要解決的問題是如何根據(jù)樣本來推斷總體，第一個問題就是推斷總體，第一個問題就是采集樣本采集樣本，然后才能，然后才能作作

2、統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷。主要內(nèi)容及學時分配主要內(nèi)容及學時分配數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 4h參數(shù)估計參數(shù)估計 6h假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 8h方差分析與正交試驗設(shè)計方差分析與正交試驗設(shè)計 10h回歸分析回歸分析 8h統(tǒng)計決策與貝葉斯推斷統(tǒng)計決策與貝葉斯推斷 4h第第1章章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一、總體和樣本一、總體和樣本總體總體 研究對象全體元素組成的集合 所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標的全體,它是一個隨機變量(或多維隨機變量).記為X . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.1.1 總體、樣本與統(tǒng)計量總體、樣本與統(tǒng)計量樣本樣本 從總體中抽取的部分個體.稱

3、 為總體 X 的一個容量為n的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).),(21nxxx),(21nXXX用 表示, 樣本空間樣本空間 樣本所有可能取值的集合. 個體個體 組成總體的每一個元素 即總體的每個數(shù)量指標,可看作隨機變量 X 的某個取值.用 表示.iXn為樣本容量若總體 X 的樣本 滿足:),(21nXXX一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是nXXX,21(1) 與X 有相同的分布nXXX,21(2) 相互獨立),(21nXXX則稱 為簡單隨機樣本簡單隨機樣本.簡單隨機樣本簡單隨機樣本N / n 10.總體中個體總數(shù)總體中個體

4、總數(shù)樣本容量樣本容量設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為F (x),則樣本121( ,)( )nniiF x xxF x若總體X 的密度函數(shù)為 f( x),則樣本121( ,)( )nniifx xxf x的聯(lián)合密度函數(shù)為),(21nXXX的聯(lián)合分布函數(shù)為定義定義 設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體X的一個樣本, g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,.,Xn的函數(shù), 若g中不含未知參數(shù), 則稱g(X1,X2,.,Xn) 是一統(tǒng)統(tǒng)計量計量 因為X1,X2,.,Xn都是隨機變量, 而統(tǒng)計量g(X1,X2,.,Xn)是隨機變量的函數(shù), 因此統(tǒng)計量是一個隨機變量統(tǒng)計量是一個隨機變量. 二、統(tǒng)計量二、統(tǒng)計量 設(shè)x

5、1,x2,.,xn是相應于樣本的樣本值, 則稱g(x1,x2,.,xn)是g(X1,X2,.,Xn)的觀察值。例例 是未知參數(shù), 22, ),(NX若 , 已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,),(21nXXX2*21111,1nniiiiXXSXXnn是統(tǒng)計量, 其中),(2NXi則但niiX1221不是統(tǒng)計量.常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量niiXnX11) 1 (為樣本均值樣本均值 niiXXnS122*11)2(為修正樣本方差修正樣本方差 niiXXnS12*11為修正樣本標準差修正樣本標準差 ),(21nXXX設(shè)是來自總體 X 的容量為 n 的樣本,稱統(tǒng)計量nikikXnA11) 3 (為樣本的k

6、階原點矩原點矩 nikikXXnB11) 4(為樣本的k 階中心矩中心矩 例如2122*2111SXXnSnnBXAnii注注 修正樣本方差修正樣本方差 與樣本方差與樣本方差 的不同的不同2S2*SniniiniiXXXX12112222122XnXnXnii212XnXnii)(22XAn故2222*1)(1SnnXAnnS222XABniiiniiXXXXXX12212)2()(推導推導:關(guān)系式關(guān)系式22*1SnnS1）222XAB推導推導: 設(shè)2)(,)(XDXE則niiXnEXE11 21nXD2）221)(nnSE22*)(SE 222)(XEEASE XEXDXnEnii21212

7、2221n21nn22*1)(SnnESE221ESnn例例1 1 從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件, 測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求這組樣本值的均值、修正方差、二階原點矩與二階中心矩.解解),(1021xxx令)199,200,235,196,228,215,240,185,243,210(43.433)(9110122*iixxs101225 .47522101iixA0 .390)(10110910122*2iixxsB19.217)19920023519622821524018524

8、3230(101x則則(5) 順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量 設(shè)),(21nXXX為樣本,),(21nxxx為樣本值,且*2*1nxxx當),(21nXXX取值為),(21nxxx時,定義 r.v.nkxXkk, 2 , 1,*)(則稱統(tǒng)計量)()2()1(,nXXX為順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量. 其中,max,min1)(1)1(knknknkXXXX（6 6）順序統(tǒng)計量的概率分布）順序統(tǒng)計量的概率分布 設(shè)總體的 的分布函數(shù)為 ，概率密度為 ， 為總體 的一個樣本，該樣本的順序統(tǒng)計量為 ，則有（a） 的概率密度 ， 為 )(XF)(kXX)(xfnXXX,21X)() 2() 1 (,nXXX)1 (),(

9、)(nkxfk)()(1)()!()!1(!)(1)(xfxFxFknknxfknkk特別 ， 的概率密度分別為（b） 與 的聯(lián)合概率密度 (1)( ),nXX)()()()()(1 )(1)(1)1(xfxFnxfxfxFnxfnnn)(kX)( jX),()(yxfjk)1 (njk11( )( )! ( ) ( )( )( ) ( )(1)!(1)!( , )0,kjkk jnF xF yF xf x f yx ykjkfx y ，其 他特別， 的聯(lián)合概率密度分別為順序統(tǒng)計量 的聯(lián)合概率密度為(1)( ),nXX2(1)( )(1) ( )( )( ) ( ),( , )0,nnnnF

10、yF xf x f y x yfx y其 他11(1) ( )1! ( )( ),( ,)0,nnnnn f xf xxxfxx其 他)()2()1(,nXXX（7 7）樣本中位數(shù)與樣本極差）樣本中位數(shù)與樣本極差 （6）樣本中位數(shù)是反映樣本值位置特征的樣本中位數(shù)是反映樣本值位置特征的一個量，可用于推斷總體分布的中位數(shù)及總一個量，可用于推斷總體分布的中位數(shù)及總體的對稱中心。體的對稱中心。設(shè) 為總體 的一個樣本，其順序統(tǒng)計量 ,稱統(tǒng)計量 為樣本中位數(shù)（Median）,其觀察值記為nXXX,21)()2() 1 (,nXXXX為偶數(shù)為奇數(shù)nXXnnXMenn,21),21()12()2(為偶數(shù)為奇數(shù)

11、nxxnnxMenn,21),21()12()2( 樣本極差是反映樣本值分散程度的量，樣本極差是反映樣本值分散程度的量，在某些場合，可用于推斷總體的標準差。在某些場合，可用于推斷總體的標準差。(7)樣本極差：稱統(tǒng)計量為樣本極差（Range）.其觀察值記為) 1 ()(XXRn) 1 ()(xxrn三、三、 經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X1,X2,.,Xn是總體是總體X X的一個樣本，的一個樣本， 用用S(x)表示表示X1,X2,.,Xn中不大于中不大于x x的隨的隨機變量的個數(shù)機變量的個數(shù), , - x , ,定義經(jīng)驗定義經(jīng)驗分布函數(shù)分布函數(shù)Fn(x)為為.),(1)( xxSnxFn 一般

12、一般, 設(shè)設(shè)x1,x2,.,xn是總體是總體X的一個的一個容量為容量為n的樣本值的樣本值. 先將先將x1,x2,.,xn按自按自小到大的次序排列小到大的次序排列, 并重新編號并重新編號, 設(shè)為設(shè)為x(1) x(2) . x(n),則則經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)的觀察值為的觀察值為 .,1,0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF若若若若若若例如(a) 設(shè)總體X具有一個樣本值1,2,3, 則經(jīng)驗分布函數(shù)F3(x)的觀察值為.3, 1, 32,32,21,31, 1,0)(3xxxxxF若若若若 (b) 設(shè)總體F具有一個樣本值1,1,2, 則經(jīng)驗分布函數(shù)F3(x)的觀察值為

13、 .2,1,21,32,1,0)(3xxxxF若若若若若若 對于經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x), 格里汶科(Glivenko)在1933年證明了以下的結(jié)果: 對于任對于任一實數(shù)一實數(shù)x, 當當n時時Fn(x)以概率以概率1一致收斂于分一致收斂于分布函數(shù)布函數(shù)F(x), 即即.10| )()(|suplim xFxFPnxn 因此因此, , 對于任一實數(shù)對于任一實數(shù)x x當當n n充分大時充分大時, , 經(jīng)驗分經(jīng)驗分布函數(shù)的任一個觀察值布函數(shù)的任一個觀察值F Fn n( (x x) )與總體分布函數(shù)與總體分布函數(shù)F F( (x x) )只有微小的差別只有微小的差別, , 從而在實際上可以當從而在實際上可

14、以當作作F F( (x x) )來使用來使用. .1.2 抽樣分布抽樣分布抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)計量的概率分布 一、幾個重要分布一、幾個重要分布1. 1. 分布分布定義1.2.1 若隨機變量 具有概率密度則稱 服從參數(shù)為 的 分布，記為 其中 為參數(shù)。X) 1 . 2 . 1 (0,0, 0)(),(1xxexxfxX、),(X0,0（1.2.1）式中的 稱為 函數(shù)，關(guān)于 函數(shù)成立如下公式 其中 稱為 函數(shù)。1011)1 (),(dxxxqpBqp01)(dxexx)2 . 2 . 1 (),()()()()21(1) 1 () !) 1()() 1(qpBqpqpnn因而 分布具有下列性質(zhì)分布

15、具有下列性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 若 則 。 ),(X,/)(XE2/)(XD性質(zhì)性質(zhì)2 2（可加性）若 ，且 相互獨立，則niXii, 1),(nXX,1),(11nnXX在 分布中取 ，即得指數(shù)分布 亦即 由此可得性質(zhì)2的一個推論。推論推論 若 為 且 ，則1)(Exp0, 00,);(xxexfx), 1 ()(ExpXnXX ,1i.i.d.)(Exp1XniinX1),(若 ，令 ，則由概率論可知，具有概率密度 此時，稱 服從倒 分布或逆 分布，記為 ，其中 為參數(shù)。),(XXY10,00,)(),;()1(yyeyyfyYY),(IY0, 02 2 分布分布定義1.2.2 若隨機變量具有

16、概率密度 則稱 服從參數(shù)為 的 分布，記為 ，其中 為參數(shù)，而 即為前面所提到的 函數(shù)。）（其他3 . 2 . 1, 010,),()1 (),;(11xbaBxxbaxfbaXba、),(baX0, 0ba),(baB 分布具有下列性質(zhì)性質(zhì)1 若 ，則性質(zhì)2 若 ，且 相互獨立，則在 分布中取 。即得均勻分布的概率密度亦即 。),(baX) 1()()(,)(2babaabXDbaaXE( ,1),( ,1)XaYbYX,),(baYXXZ1, 1ba其他,010, 1)(xxf) 1 , 0 () 1 , 1 (UX)(0, 00,)2/(2);(3 . 2 . 12222122nXnXx

17、xnexnxXnxn分布，記為的服從自由度為則稱隨機變量具有概率密度若隨機變量定義)21,2()(2nn性質(zhì)1： 若X 2(n)，則E(X)= n，D(X)=2n性質(zhì)2： 若 且 相互獨立，則, 1),(2kinXii kXX,1)(121kknnXX 性質(zhì)3：若 則對任意實數(shù) ，有此性質(zhì)表明，當 充分大時， 近似服從標準正態(tài)分布),(2nXxdtexnnXPxtn22212limnnnX2) 1 , 0(N定理定理1.2.11.2.1 設(shè)隨機變量 相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布 ，則隨機變量 服從自由度為 的 分布，即nXX ,1) 1 , 0(NniiX122n2).(22n分位點分位點

18、設(shè)X 2(n)，若對于 ：0 1， 存在0)(2n滿足滿足,)(2nXP則稱則稱)(2n為為)(2n分布的上分布的上 分位點。分位點。)(2n4. t4. t分布分布定義定義1.2.4 1.2.4 若隨機變量若隨機變量T T具有概率密度具有概率密度 tntnnnntfn,)1()2()21();(212 則稱則稱T T 服從自由度為服從自由度為n n的的t t分布，記為分布，記為 )(ntT基本性質(zhì)基本性質(zhì): (1) f(t;n)(1) f(t;n)關(guān)于t=0t=0(縱軸)對稱。 (2) f(t;n)(2) f(t;n)的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數(shù)，即 tetntftn,21)()

19、;(lim22 定理定理1.2.2 若XN(0, 1), Y 2(n), 且且X與Y獨立，則)(/ntnYXT (3) ( ),( )0,( )(2)(2)nttt nE tD tn nn具有自由度為 的 分布其數(shù)學期望與方差為：分位點分位點設(shè)T Tt(n)t(n)，若對 :0:0 1,0(n)0， 滿足PTPT t t (n)=(n)= ，則稱t t (n)(n)為t(n)t(n)的上側(cè)分位點)(nt zntn)(45的的值值，可可用用正正態(tài)態(tài)近近似似時時，對對于于常常用用的的當當定義定義1.2.5 1.2.5 若隨機變量若隨機變量F F具有概率密度具有概率密度 5. F分布分布 0, 00

20、,)1)(2()2()/)(2(),;(2/ )(2121122/2121212111xxxnnnnxnnnnnnxfnnnn則稱則稱F F 服從自由度為服從自由度為(n(n1 1,n,n2 2) )的的F F分布，記為分布，記為 ),(21nnFF定理定理1.2.31.2.3 若X 2(n1)， Y 2(n2)，X， Y獨立，則).,(/2121nnFnYnXF ),(21nnFF推論推論：若：若 ，則，則 ),(112nnFFF分布的數(shù)學期望為分布的數(shù)學期望為:2)(22 nnFE若若n22即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.F F分布的分位點分布的分

21、位點對于對于 ：00 10)0，滿足滿足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 則則稱稱F F (n(n1 1, , n n2 2) )為為F(nF(n1 1, , n n2 2) )的上側(cè)的上側(cè) 分位點；分位點；),(21nnF正態(tài)總體的抽樣分布定理正態(tài)總體的抽樣分布定理)1, 0(Nn/XU),(NX,X. 12iidn1 則若;) 1 (),(,. 22*21相互獨立與則若SXNXXiidn);1() 1()2(222*2nSn).1(/)3(*ntnSXT.2) 1() 1().2(/1/1)(,)2(212*222*1122121212221稱為混合樣本方差

22、其中就有假定進一步nnSnSnSnntnnSYXTww1222111122*221112*22223.,(,),(,),./(1)(1,1);/iidiidnnXXNYYNSFF nnS 若且兩樣本獨立 則四、例題四、例題例例122(12,),25,12.5.(1)225.57.XNXS設(shè)總體服從正態(tài)分布抽取容量為的樣本 求樣本均值大于的概率 如果已知；（ ）未知，但已知樣本方差解解1212.5 12(1)12.5225225XP XP1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP1212.5 12(2)12.51.0592525XP XPP tSS0.1524,(24) 1.0

23、59,1.0590.15.12.50.15.ttP tP X查自由度為 的分布表即故有的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例例2 2設(shè)(72 ,100)XN ,為使樣本均值大于70解解 設(shè)樣本容量為 n , 則)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n例例3 3 設(shè)r.v. X 與Y 相互獨立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡單隨機樣本, 求統(tǒng)計量1292221216XXXZYYY所服

24、從的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2 , 1,)1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX從而五、五、課堂練習課堂練習 .10),min(;15),max(211.,5)4 ,12(1543215432151 XXXXXPXXXXXPXXN）求概率）求概率（的概率；的概率；值之差的絕對值大于值之差的絕對值大于）求樣本均值與總體均）求樣本均值與總體均（的樣本的樣本中隨機抽一容量為中隨機抽一容量為、在總體、在總體2 2、 從正態(tài)總體),(2NX中，抽取

25、了 n = 20的樣本1220(,)X XX(1) 求22012276.120137.0iiXXP(2) 求22012276.120137.0iiXP解解1 2628. 052225252152152125211112),54,12()1( XPXPBX有有由由 2923. 0)5 . 1(1)5 . 1(121215212115115,15,15,15,15115),max(115),max()2(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP 5785. 0)1(1)1(11212102121110110,10,10,10,10110)

26、,min(110),min()3(5515151543215432154321 iiiiiXPXPXXXXXPXXXXXPXXXXXP2 2 解：解：總體服從),(2NX (1)19(11922012222iiXXS即) 1() 1(222nSn22012276. 120137. 0iiXXP故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0六、小結(jié)六、小結(jié) 在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念 , 幾個重要的統(tǒng)計量及其分幾個重要的統(tǒng)計量及其分布布 ,即抽樣分布即抽樣分布. 要求大家熟練地掌握