第五講定積分內容提要與典型例題ppt課件

1、第五講第五講 定積分定積分內容提要與典型例題內容提要與典型例題一、主要內容一、主要內容問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程定積分定積分存在定理存在定理反常積分反常積分定積分定積分的性質的性質牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 定積分的定積分的計算法計算法二、內容提要 1 定積分的定義定積分的定義定義的本質定義的本質 幾何意義幾何意義 物理意義物理意義2 可積和可積和 可積的兩個充分條件可積的兩個充分條件3 定積分的性質定積分的性質線性性線性性 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg

2、)(可加性可加性 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(若若0)( xf， 則則0)( dxxfba )(ba 非負性非負性比較定理比較定理 若若)()(xgxf ， 則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 估值定理估值定理 )(xf在在區(qū)區(qū)間間, ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值， )()()(abMdxxfabmba . 積分中值定理積分中值定理如如果果函函數數)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間, ba上上連連續(xù)續(xù)， 使使dxxfba )()(abf )(ba 積分中值公式積分中值公式假設假設M 和和 m 是是積分上限函數及其導數積分上限函數及其導數 如如果果)(

3、xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導導數數，且且它它的的導導數數是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數上連續(xù)，則積分上限的函數dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個原函上的一個原函數數. .)()(babaxFdxxf 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式定積分的計算法定積分的計算法1換元法換元法 dtttfdxxfba )()()(換元積分公式換元積分公式2分部積分法分部積分法 bababavduuvudv分部積分公式分部積分公式微積分根

4、本公式微積分根本公式 利用對稱區(qū)間上奇偶函數的性質簡化利用對稱區(qū)間上奇偶函數的性質簡化定積分的計算定積分的計算廣義積分廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無界函數的廣義積分無界函數的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0三、典型例題三、典型例題例例求極限求極限1111lim12nnnnn解解1111lim12111nInnnnnnninin111lim1 1010)1ln(

5、11xdxx 2ln 解解)21ln(1limnnnnnIn nninin1)ln(lim1 101lnxdxnnnn!lnlim)2( 練習練習: 求極限).21(lim22222nnnnnnnn解：解： 原式nn1limnini12)(11xxd111024假設能把數列的通項寫成假設能把數列的通項寫成)1(1)(111 nininifnnifn或的方式，的方式，就可以利用就可以利用)(1lim1 ninnifn或或)1(1lim1 ninnifn把數列極限問題轉化為定積分把數列極限問題轉化為定積分 10( )f x dx的計算問題的計算問題.與數列的極限有著親密聯絡。與數列的極限有著親密聯

6、絡。由以上兩例可見，延續(xù)函數由以上兩例可見，延續(xù)函數 f ( x ) 的定積分的定積分例例 證明證明.2d222042exeexx證證: 令令,)(2xxexf那么xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx例解 . d)1 (arcsin 43 41 xxxx計算 dcossin2d sin arcsin 2，則令tttxtxtx 3 6 : 43 41 : ，故時，且tx )sin1 (sin dcossin2 d)1 (arcsin 3 6 2243 4

7、1 ttttttxxxx3 6 d 2tt362 t12 2例例. 求求.d12ln02xex解解: 令令,sintex那么,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln例例. 求求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(22yox4xsinxcos.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min

8、22xxxxxx是偶函數是偶函數,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例 例例. 設設,d)(022yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e例例設設 0)0(, 0)0(,)( ffxf連連續(xù)續(xù)求求20200( )( )limxxxf t dtxf t dt解解 xxxfxdttfxxxfI0

9、220)()(2)(2lim xxxxfdttfxf020)()(2)(2lim)()(3)(4lim20 xfxxfxfxx )(0)0()(3)(4lim20 xfxfxfxfx 1)0()0(3)0(4 fff1sinlim020 xbxdttatxx這是這是 型未定式的極限型未定式的極限解解由由LHospital法那法那么么1)cos(lim20 xaxbxIx0lim20 xx0)cos(lim0 xaxbx0) 1( ab00a = 0 或或 b =1將將 a = 0 代入知不合題意代入知不合題意, 故故 b =1.4, 12)cos1(lim20 aaxaxxx例例 試確定試確定

10、 a , b 的值使的值使19例例知兩曲線知兩曲線 0d)(2teyxfyt與與在點在點)0 , 0(處的切線一樣處的切線一樣,寫出此切線方程寫出此切線方程,并求極限并求極限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切線方程為故所求切線方程為.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0例例設( )f x在0,1上是單調遞減的延續(xù)函數， 試證1 ,0q都有不等式100( )d( )dqf xxqf xx證明：顯然證明：顯然1,0qq時結論成立.(用積分中值定理)0( )dqf x

11、x10( )dqf xx0(1)( )dqqf xx1( )dqqf xx(1)q)(1fqq)()1 (2fq 10, q2 ,1q10 q當時,12(1) ( )()qqff0故所給不等式成立 .明對于任何例例 設設 f ( x ) 在在 0,1 上延續(xù)，且滿足條件上延續(xù)，且滿足條件120(1)2( )fxf x dx(0,1),( )( )0ff證明：存在使得 110( )( ),(1)(1)2( )( )F xxf xFfxf x dxF提示：設有 例例 設設 f ( x ) 在在 a,b 上延續(xù)，且上延續(xù)，且 0f x 證明：方程證明：方程 10 xxabf x dxdxf x有且只

12、需一個根。有且只需一個根。 1( )xxabF xf x dxdxf x提示：設例例 設設 f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b 上延續(xù)，證明上延續(xù)，證明 badxxfgdxxgfba )()()()(),(使使證證關鍵在于作出輔助函數關鍵在于作出輔助函數 F(x)x換換成成將將 bxxadttfxgdttgxf)()()()( bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(如如令令那么那么 F(a)、F(b) 的符號不易判別，得不出結論的符號不易判別，得不出結論 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故( )( )( )xbaxF xf t

13、dtg t dt故那么那么 F ( x ) 在在 a , b 上延續(xù)，在上延續(xù)，在 ( a , b ) 內可導內可導且且F ( a ) = F ( b ) = 0由由 Rolle 定理知：定理知：0)(),( Fba使使 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(而而dxxfgdxxgfab )()()()( 輔助函數法證明定積分等式輔助函數法證明定積分等式主要適用主要適用于證明在積分限中至少存在一點于證明在積分限中至少存在一點 使等式成立的命題。使等式成立的命題。cx 或或或或0 xcx換換成成或或或或將將0 移

14、項使一端為移項使一端為 0另一端即為另一端即為)()(xFxF 或或驗證驗證 F(x)滿足介值定理或滿足介值定理或 Rolle 定理定理 注：注： 例例. 設函數 f (x) 在a, b 上延續(xù),在(a, b) 內可導, 且 . 0)( xf:,)2(lim證明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 內 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 內存在點 , 使 )(2d)(22fxxfabba證證: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上延續(xù), 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)內單調增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa即 )(2d)(22fttfabba(2) 設)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg則)(),(xgxF故滿足柯西中值定理條件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbg