山西省四校2010屆高三下學(xué)期第四次聯(lián)考(數(shù)學(xué)理)

1、精誠凝聚=A_A=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼2010 屆高三年級第四次四校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)試題（理科）本試題分第I卷和第卷兩部分，滿分150 分，考試時間 120 分鐘。第I卷為選擇題，第n卷為非選擇題。注意事項：1.考生答卷前務(wù)必用藍、黑色墨水筆或圓珠筆將學(xué)校名稱、姓名、考號填寫在試卷上， 并用 2B 鉛筆在機讀卡上規(guī)定位置涂黑自己的考號和考試科目。2.選擇題選出答案后，用 2B 鉛筆涂黑機讀卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號。如需改動，用橡 皮擦干凈后，再選涂其它答案。3.交卷時只交試卷和機讀卡，不交試題，答案寫在試題上的無效。第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題。本大題共 12 小題

2、每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的。1.sin15 cos165 的值等于（）1111A.B._:c二D. _:44222.復(fù)數(shù)4：3i4 3i的實部是()1+2iA.-2B.2C . 3D.43.已知集合A=X| |X| 1 的解集為X( )A.-：:,-11B.L1,+ =o )c. L1, 0D.7 亠-1丨0,：5. 已知等差數(shù)列an的公差為 2,若31,33,34 成等比數(shù)列，則 a2=（）A. 4B. - 6 C . - 8 D . - 10精誠凝聚=人_人=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼6. 函數(shù)y -1的定義域為-

3、1, 2丨，則其值域為（）精誠凝聚=A_A=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼c = f (In 3)，則第口卷（非選擇題，共90分）4 個小題，每空 5 分，共 20 分。將正確答案填在答題卷中對應(yīng)的橫線上。13.隨機變量服從正態(tài)分布N（50,二2），若P：:：40） = 0.3，則P（40： 010.實數(shù)x, y滿足不等式組 x y 0|2x y 2 0,則t=口的取值范圍是x+1A.-1,3B.1C.,：)2D.11定義在R上的函數(shù)f (x)滿足(x 2) f (x) : 0，又a =f(log3),(擴),A.a : b cB .C. c b：D.c a b212.已知點

4、R、F2分別是雙曲線篤a2V1的左、右焦點，過F1且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A、 B 兩點，若 ABF 為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e 的取值范圍是A .(1,+g)B.(1,.3)C .( 、2 1,1+, 2) D. (1,1+、2)二、填空題。共精誠凝聚=人_人=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼滿足a+e = a-范，則向量a在e方向上的投影等于.15.已知點 P（2,1）在圓C：x2y2ax -2y b = 0上，點 P 關(guān)于直線x，y -1 = 0的對稱點精誠凝聚=A_A=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼也在圓 C 上，則圓 C 的半徑為_1

5、6.設(shè)I、m、n表示不同的直線，：、- 表示不同的平面，給出下列四個命題：若m/l,且m| ,則I I *;若m/l,且m / /,則丨/；3若:：=I,： 二m,： 二n,則I / m/ n4若：.:=m,一： =丨，：= n,且nF：,則m/l其中正確命題的序號是 _ .三、解答題。共 6 個小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟17.（本小題滿分 10 分）在銳角 ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B C 所對的邊，且_ 3a=2csinA（I）確定角 C 的大?。籲）若 c= ,7 ,且厶 ABC 的面積為18.（本小題滿分 12 分）如圖，在多面體 AB

6、C-DEFG 中，平面ABC/平面DEFG,AD丄平面DEFG,AB _ AC,ED _ DG,EF/DG.AB 二 AD = DE 二 DG = 2,AC 二 EF(I)求證：BF/平面ACGD;n）求二面角D - CG - F的余弦值;精誠凝聚=A_A=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼19.(本小題滿分 12 分)“上海世博會”于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日在上海舉行。世博會“中國館貴賓廳”作為接待中外貴賓的重要場所，陳列其中的藝術(shù)品是體現(xiàn)兼容并蓄、海納百川的重要文化載體，為此，上海世博會事物協(xié)調(diào)局將舉辦“中國2010 年上海世博會中國館貴賓廳藝術(shù)品方

7、案征集”活動。某地美術(shù)館從館藏的中國畫、書法、油畫、陶藝作品中各選一件代表作 參與應(yīng)征，假設(shè)代表作中中國畫、書法、油畫入選“中國館貴賓廳”11的概率均為丄，陶藝入選“中國館貴賓廳”的概率為-.43(I)求該地美術(shù)館選送的四件代表作中恰有一件作品入選“中國館貴賓廳”的概率；(H)設(shè)該地美術(shù)館選送的四件代表作中入選“中國館貴賓廳”的作品件數(shù)為隨機變量E,求E數(shù)學(xué)期望20.(本小題滿分 12 分)已知f(x)=ax-l nx,x(0, e，其中e是自然常數(shù)，a R.a，使f (x)的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由21.(本小題滿分 12 分)2 2y x設(shè)A(x.|, y1),

8、 B(x2, y2)是橢圓一22=1(a b 0)上的兩點，已知向量a bm = (, _Yi),門二(2,_y2),若m n = 0且橢圓的離心率b a b a(I)當(dāng)a =1時,求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(n)是否存在實數(shù)en-f,短軸長為2,O為坐標(biāo)原II精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼占八、-(I)求橢圓的方程；(n)試問： AOB 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由22.(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列an的前n項和S滿足：Sn二a (Sn-an 1)(a為常數(shù)，且a = 0,a = 1).(I)求a ?的通項公式；II精誠凝聚7

9、=成就夢想 鑼點亮心燈/（AvA）照亮人生 .鑼(n)設(shè)bn Sn& ,若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值；II精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼（川）在滿足條件（H）的情形下，_ _設(shè)，數(shù)列Cn的前 n 項和為診毎+1勺+丄-11Tn.求證：Tn2 n2第四次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案、BBCCB CCBAD CD1、13.（文）80（理）0.414.-2、17.解（1）由；3a =2csin A及正弦定理得,15. 216./ sinA豐0, sinC=_322sin Asin Asin CII精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/（AvA）照亮人生 .鑼II精誠凝聚7=

10、成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼JT ABC 是銳角三角形，C =3（2）vc= 7,C=3 由面積公式得/bsin 匸子,即心 6由余弦定理得2222a b -2abcos7,即 a b -ab = 73由變形得（a+b）2=25,故 a b =5又 BF 二平面 ACGD故 BF/平面 ACGD(H)FG =(0,2,0) -(2,1,0) -2,1,0)，設(shè)平面 BCGF 的法向量為(x, y, z)， Tn1CG = y - 2z = 0m FG = -2x y =0令y =2，則X (1,2,1)，而平面 ADGC 的法向量nz可=（1,0,0）10 分18.（本小題滿

11、分由已知，AD、12 分）解法DE、DG 兩兩垂直，建立如圖向量法的坐標(biāo)系,2），B（ 2, 0，2），C（ 0，1，2） ，E（2, 0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）(I)BF =(2,1,0) -(2,0,2) =(0,1,-2)TCG =(0,2,0) -(0,1,2) =(0,1,-2)T T BF二CG，所以 BF/ CG.AACBMG*II精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/（AvA）照亮人生 .鑼故二面角 D-CG-F 的余弦值為込612 分cos：mn2二卅|.12精誠凝聚=A_A=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼解法二設(shè) DG 的中點為 M,連接 AM

12、、FM ,則由已知條件易證四邊形 DEFM 是平行四邊形,所以 MF/DE，且 MF= DE又 AB/DE,且 AB= DE/ MF/AB，且 MF = AB四邊形 ABMF 是平行四邊形，即 BF/AM ,又 BF 二平面 ACGD故 BF/平面 ACGD. 6 分（利用面面平行的性質(zhì)定理證明，可參照給分）（n）由已知 AD 丄面 DEFG. DE 丄 AD , DE 丄 DG 即 DE 丄面ADGC ,/ MF/DE，且 MF= DE , MF 丄面 ADGC在平面 ADGC 中，過 M 作 MN 丄 GC,垂足為 N,連接 NF,貝 U顯然/ MNF 是所求二面角的平面角.在四邊形 AD

13、GC 中，AD 丄 AC, AD 丄 DG, AC=DM= MG =1CD =CG = 5, MN = =5在直角三角形 MNF 中，MF= 2, M2-55MF 2tan MNF=MN2/55故二面角D-CG-F 的余弦值為邁612 分19.(文)(1)27iC3(4)(4)2(1-3)心(4)33 64.6(理)(2)P2計町衆(zhòng)?。ㄍ栊模?93）晉.分.5,cos_MNFIDNGII精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼- bnn fq(2) (n)由(i)知Cn=anbn2(2n -1)_ 2(2n+1)3“，Cn 1二3*1,2(2n 1)2(2n -1)3n 1(

14、19)解，記“該地美術(shù)館選送的中國灑*書法、油曲中恰有件作品人選中國館-費賓廳為略件A1-(t=tQil12t3) uC代表作中陶藝人選中國館貴賓廳 5 為事件乩1邃地美術(shù)館選送的四件代表柞中恰有一件作品人選“中國館-貴賓疔的概率為PiP(At) P(B) IFCAJ)P(B)*4分0. a3=5， a5=9，公差 d =-5= 2.5-3二an二a5(n _5)d =2n_1.3 分12又當(dāng) n=1 時，有 bi=Si=1 -b1rb-i.231b 1當(dāng)n一2時,有bn二Sn- Sn 4(bn j- bn),(n一2).2bn_1321數(shù)列bn是等比數(shù)列，b = ,q=.33(II精誠凝聚7

15、=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼12 分1x _ 1(理)(1)a=1時，f(x)=x-l nx,f (x) = 1.1 分x x由 f/(x) : 0 得 o :：x : 1 , f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,1)由f/(x)V 得1：x：e,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間(1, e)3 分f (x)的極小值為f(1) =14 分(2 )假設(shè)存在實數(shù)a,使f (x) = ax一ln x(x (0,e)有最小值 3 ,41當(dāng)a一0時，f (x)在(0,e上單調(diào)遞減，f (x)min= f (e) = ae-1 =3,a(舍去)，e所以，此時f(x)無最小值7 分2當(dāng)0 1 e時，f (x)

16、在(0,丄)上單調(diào)遞減，在(丄，e上單調(diào)遞增aaa12f (x)min= f ( ) =1 ln a = 3,a = e，滿足條件.9 分a143當(dāng)e時，f (x)在(0,e上單調(diào)遞減，f (x)min= f (e) = ae-1 =3,a(舍去)，ae所以，此時f(x)無最小值11 分2綜上所述，存在實數(shù)a =e，使得當(dāng)(0,e時f (x)有最小值 3。12 分21 .(文)(I)f(X)= x2-2(1 a)x 4a = (x - 2)(x -2a).2 分由a 1知，當(dāng)x：2時，f (x) 0,故f (x)在區(qū)間(-：,2)是增函數(shù)；當(dāng)2 x : 2a時，f (x)：0，故f (x)在區(qū)

17、間(2,2a)是減函數(shù)；當(dāng)x 2a時，f (x) .0,故f (x)在區(qū)間(2a：)是增函數(shù)。f/(x) = aax -1II精誠凝聚7=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼綜上，當(dāng)a 1時，f (x)在區(qū)間(-：,2)和(2a：)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函 數(shù)。.6 分(II )由(I )知，當(dāng)x一0時，f (x)在x =2a或x= 0處取得最小值。1f(2a)二丄(2a)3-(1a)(2a)24a 2a 24a3=-a34a224a3. .8 分精誠凝聚=人_人=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼由假設(shè)知c2b =2.b =1,e a橢圓的方程為4當(dāng)直線 AB

18、 斜率存在時：設(shè) AB 的方程為 y=kx+bf(0)= 24a廿(2a)A0,a 1,4即4a(a 3)(a 6)0,解得1a0=0X1X2晉g嚴(yán)=0 代入整理得:2 22b -k =410 分1 |b|1S M+k2|AB|=西-2|b| :4k2Yb2+164b2(x1+X2)-4也=2|bf =122(k +4)綜上三角形的面積為定值1.分 1222.(理)解：(i)S|= a(S|-a1 1) 印=a,分.1精誠凝聚=人_人=成就夢想 鑼點亮心燈/(AvA)照亮人生 .鑼當(dāng)n _2時，Sn= a(Snan 1)Sn 1=a(Sn二-an J1 )即an是等比數(shù)列 an=a a=a(n)由(I)知 az1bn= (an