軸對稱與等腰三角形-教師版

1、軸對稱與等腰三角形、什么是軸對稱圖形?把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線（或軸）對稱.二、什么是等腰三角形？有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩角相等的三角形也是等腰三角形等邊三角形是一個特殊的等腰三角形一知識講解軸對稱及其性質(zhì)：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸. 這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線（或軸）對稱.如等腰 MBC是軸對稱圖形.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說

2、這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.如下圖， MBC與 M'B'C'關(guān)于直線l對稱，l叫做對稱軸.A和A', B和B', C和C'是對稱點.軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；對稱軸是任何一對對應點所連線的垂直平分線；兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果他們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.線段垂直平分線：垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等，垂直平分線出等腰三角形；到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上.等腰三角形的性質(zhì)：(1)等邊對等角，等角對等邊(2)

3、等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高線、中線、頂角的角平分線互相重合(三線合一) 等腰三角形的頂點一定在底邊的垂直平分線上.等腰三角形的判定：(1)從邊入手，證明兩邊相等(2)從角入手，證明一個三角形的兩個角相等構(gòu)造等腰三角形常用的方法：(1) “角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；(2) “角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；(3) “垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；(4) “三角形中2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形.AA等邊對等角模型等角對等邊模型角平分線+平行角平分線+垂直,A等腰三角形三線合一模型;L 二一A-X垂直平分線三角形中角的2倍關(guān)系同步練習【例1】下列“ QQ表情”中屬于軸對稱圖形的是（）A G

4、C.【例2】如圖,陰影部分是由5個小正方形涂黑組成的一個直角圖形，再將方格內(nèi)空白的兩個小正方形涂黑，得到新的圖形（陰影部分），其中不是軸對稱圖形的是（).Word資料AB為對稱軸，在對角線的下方再畫【例3】如圖，是小華畫的正方形風箏圖案，他以圖中的對角線個三角形，使得新的風箏圖案成為軸對稱圖形，若下列有一圖形為此對稱圖形,【答案】【例4】如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是（【變式練習】將一個正方形紙片依次按圖1 a ,b的方式對折，然后沿圖 c中的虛線裁剪，成圖 d樣式,將紙展開鋪平，所得到的圖形是圖2中的（）.【例5】下列圖形中對稱軸最多的是（A .圓B

5、.正方形【答案】AC .等腰三角形【例6】將一矩形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后A'B與E'B在同一條直線上，則NCBDA.大于90sB .小于90C .等于90【答案】C【例7】如圖a是長方形紙帶，/DEF =20一將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的ZCFE的度數(shù)是（）.A . 1B . 2C . 3D . 4Word資料【例8】如圖，等邊 MBC的邊長為1cm , D、E分別是AB、AC上的點，將 MDE沿直線DE折疊,點A落在點A'處，且點A'在MBC外部，則陰影部分圖形的周長為 cm .AA【答案】3.【變式練習】如圖

6、1所示為三角形紙片 ABC , AB上有一點P .已知將A、B、C往內(nèi)折至P時，出現(xiàn) 折線SR、TR、QR,其中Q、R、S、T四點會分別在 BC、AC、AP、BP上，如圖 2所 示.若ABC、四邊形PTQR的面積分別為16 ,5,則 PRS的面積為（）.圖2【答案】C【例9】如圖，若P是線段AB的垂直平分線上的任意一點，則(1) APAC； (2) PA=; ZAPC =【答案】(1) APBC; (2) PB； (3) /BPC; (4) /B .【變式練習】如圖，MBC中,BC邊的垂直平分線DE 交 BC 于 D,交 AC 于 E, BE=5 厘米，ABCE的周長是18厘米,則BC的長為厘

7、米.【解析】垂直平分線出等腰ED垂直平分BC. EB =ECWord資料ABEC的周長為18cmBC =8cm .【例1。】如圖，已知 /AOB=40> CD為OA的垂直平分線，求 /ACB的度數(shù)【解析】 CD垂直平分OACO =CA00 乙A ZO =40°.1. ZA=40°. /ACB =/A +Z0 =80*?！敬鸢浮?0【變式練習】如圖所示，在4ABC中，/BAC =106。，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、M在BC上，則REAM =【答案】32【例11】等腰三角形一個底角為 75%它的另外兩個角為【答案】75 30中【變式練習1】若等腰三角形

8、中有一個角等于50，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）A. 50° B . 80 sC. 65 口或 5051 D. 50口或 80s1【答案】D【變式練習2】等腰三角形一個角為 70°,它的另外兩個角為 .【答案】70 ° , 40 M 55 s,55 s【例12】等腰三角形一腰為 3cm,底為4cm ,則它的周長是 .【答案】10cm【變式練習1】等腰三角形的一邊長為 3cm,另一邊長為4cm ,則它的周長是 【答案】10cm或11cm【變式練習2】等腰三角形的一邊長為3cm ,另一邊長為8cm,則它的周長是 .【答案】19cm【變式練習3】已知等腰三角形的周

9、長為24cm, 一腰長是底邊長的 2倍，則腰長是（）A. 4.8cm B . 9.6cmC. 2.4cmD . 1.2cm【答案】B【例13若已知/A =36）/C=72°, BD平分/ABC交AC于D ,若已知AD =4 cm, 則 BC =cm .A【答案】4cm【變式練習】如圖，等腰 4ABC中，底邊BC =a , /A = 36： /ABC的平分線交 AC于D , 2BCD的 平分線交BD于E ,則圖中等腰三角形共有（）個.A. 3B . 4C.5D . 6Word資料【例14】已知：CE平分 MBC的外角ZACD，且AB/ CE ,求證： MBC為等腰三角形.【答案】: A

10、B/ CEZECD =ZB , NECA =ZA CE 平分 ZACDZACE ZDCE. /A =/BMBC是等腰三角形【例15如圖，在 MBC中，AB =AC , /ABC , /ACB的平分線相交于點 F ,過F作DE / BC ，交AB于點D ,交AC于E .圖中是等腰三角形有 A【答案】 MDE ,4DF , iEFC , ABFC , MBC等腰三角形【例16】已知iABC中，/A=90% /B =67.5 ?請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形（請你利用下面給出的備用圖，畫出兩種不同的分割方法.只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）.【變式練習】在 4A

11、BC中，已知AB=AC，且過 ABC某一頂點的直線可將 ABC分成兩個等腰三角 形，試求4ABC各內(nèi)角度數(shù).【解析】圖 1 中，/B =/C =45 )/BAC =90 口；圖 2 中，/B =/C =36 =,/BAC =108。;圖3中,/ABC =/ACB =72 >/A=36 = ;圖 4 中，/ABC =/ACB =40- ,ZA= 77【例17】在正方形 ABCD所在平面上找一點 P ,使AAPB是等腰直角三角形，這樣的點P你能發(fā)現(xiàn)幾個？請作出這些點.P2P3【解析】注意從等腰三角形邊的分類入手找到完整答案.【答案】如圖所示的6個點P、F2、P3、R、P6.【例18】已知，如

12、圖，P（2 ,2 ）,在坐標軸上取一點A,有幾個，試寫出他們的坐標.V、P1P4【答案】一共8個D(P5)（P6）C使得4POA是等腰三角形，則符合條件的 A點A4A7,A2”A6 0A1A5A3 xA8,(2 ,0)(0 ,2 )(4 ,0 )(0 ,4 )(2衣,0 乂-272 ,0 )(0 ,2亞);(0 , -2亞)【變式練習】已知，如圖所示，RtA ABO，/C =90/A =30°, O在坐標軸上取一點 P ,使得4PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（）.【例19如圖，已知長方形紙片 ABCD ,點E是AB的中點，點 G是BC上一點，/BEG>60"，

13、先沿著直線EG將紙片折疊，使點 B落在紙片中的點 H處，連接AH ,則與/BEG相等的角的個數(shù)為（）.A.4B . 3C.2D.1【例20如圖所示，長方形 ABCD中，AB=4 ,BC =473，點E是折線段A-D-C上的一個動點（不與A重合），點P是點A關(guān)于BE的對稱點，在點 E運動的過程中，使 4PCB為等腰三角形的 點E的位置共有（）.A.2B . 3C.4D.5【例21】在4ABC中，AB =AC，/A=50 D 為 BC上一點 BF =CD,CE =BD ,那么 /EDF =【解析】. AB=AC ,NA=50*, .NB=/C=65"通過 “ SAS” 證明FBDWDCE

14、 ,得到jBFD =CDEZFDC ZFDE /EDC Zb /BFDZFDE Zb =65【答案】65【例 22如圖，在 4ABC 中，/BAC=120©, AD_L BC 于 D ,且 AB+BD =DC，貝U/C=【解析】在DC上截取DE =BD ,連接AE . AD1BC, DE=BD,AB=AE AB +BD =DC , CE=AB=AF ,NC=ZFACB = AEB =2 CZB ZC =180 /BAC=60ZC =20【答案】20【變式練習】如圖，ABC中，AD_LBC于D ,BE_LAC于E, AD與BE相交于點F,若 BF=AC,貝U /ABC _.【解析】通過

15、“ AAS”證明ADCBDF得到AD=BD ,故/ABC=450.【答案】45【例23如圖，4ABC中，/ACB =90)NA=20=,將4ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) a角到A'B'C' 的位置，B在A'B'上，CA'交AB于D ,則/BDC=.B'BA【解析】: AACBAA'CB', NA =NA'=20 = ,/B'=/CBA =70電，CB =CB' ,/B'=/CBB'=70*,/ABA'=/ACD =40*ZBDC ZA ZACD =60【答案】60AB【變式練

16、習】 如圖，四邊形ABCD中，4EDC是由4ABC繞頂點C旋轉(zhuǎn)40口所得，頂點A恰好轉(zhuǎn)到上一點E的位置，則 /1+/2 =【答案】110 6,同上題解法一樣.【例24如圖，已知 AC平分/DAB ,CE_LAB于E , AB =AD+2BE ,則下列結(jié)論:小1 AE =3 (AB +AD )； /DAB +/DCB=180*; CD =CB ； S ACE -Sz BCE =Sz ADC .其中正確的的是【解析】過點C作CF _L AD交AD的延長線于F ,在AB上截取AM =AD ,連接CM/DAC =4AC ,CE _LAB ,CF .L AD AEC 2 AFC ,AE =AF ,CE

17、=CF通過 “ SAS” 證明ADCAMC ,得至U CD =CM再通過“ HL ”證明CFDCEM ,得到DF =MEAB =AD +2BE , BE =ME證明ECBFCD ,可得 DF =BE , CD =CB，/B=/CDF , /DAB+NDCB =180口.【答案】【變式練習】已知 ABC中，AB=AC，/BAC =90© ,直角/EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、A仃 E、F,以下五個結(jié)論：AE =CF ;4EPF是等腰直角三角形；1酮邊形aepf =& abc ；EF =AP；/AEP=/AGF .當ZEPF在 ABC內(nèi)繞頂點 P旋轉(zhuǎn)時（點

18、 E不 2與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的是 .【解析】ABC >AAPB >AAPC全是等腰直角三角形可以證明AEPCFP或4APFBPE,得到4EPF也是等腰直角三角形NAGF =2APF +NPFE ,NAEP =/B 十/BPE ,/AEP =AGF【答案】【例 25如圖，在 4ABC 中，/ACB =90© ,AC =AE , BC = BF ,則 ZECF =【解析】: AC =AE，/ACE =/AEC. BC =BF，/BCF =/BFC2/ACE +/A =180 4,2/BCF +B =180 °.AB =902：./ACE dBCF )

19、=360 -90,=270ZACE SBCF =135 SACBECFZECF =45A【答案】45【變式練習】如圖，在4ABC中，點D是BC上一點，/BAD =80 ° , AB =AD =DC ,貝U /C =【解析】 /BAD =80 ° , AB =AD =DC/C =/D，/B =/ADB =2/C./BAD 2 dB =80 4,ZC =180, C =25【答案】25【變式練習】如圖，在 4ABC中，AB=AC ,BD=BC ,AD=DE=EB ,則/A的度數(shù)為【解析】AB =AC ,BD=BC ,AD=DE=EB ./EBD VEDB，/A=/DEA=2/A

20、BDC = ABC = BDC =3 ABD2. C . A=8. ABD =180NABD =22.5： Na =45 °【答案】45【例26如圖，在 ABC中，AB=AC ,AD=AE，/BAD =60 °,則/EDC的度數(shù)為 【解析】設(shè)未知數(shù)，設(shè)而不求.1設(shè) NDAC =a , /ADE =2AED =90 a2_ _ _ _1NBAC =60°+a，/B =/C =60 1a2一 _ _1.ADC - . B . BAD =120 . 2.EDC =/ADC -/ADE =30【答案】30【變式練習】如圖，在 4ABC 中，AB=AC , MN =NB，/

21、ABM =/NBC ,則/MBC =【解析】設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程的思想.設(shè).ABM /CBN =：MN=NB, /NMB=/NBM=P, /BNC =2/BMN = 2otAB =AC , /ABC =/ACB =2« +P在 ANBC 中，NC+NNBC+/BNC=180口.工+2 -+ 2，+ : =3 :- -180>- -60【答案】60【例27】兩個全等的含30弋60口角的三角板ADE、ABC ,如圖所示E、A、C三點在一條直線上，連接BD ,取BD的中點M ,連接ME、MC ,是判斷4EMC的形狀，并說明理由.【解析】連接AM. AED BCAAB =AD , AB

22、_LADDM =BMAM ±BD , DM =AM在通過 “ SAS” 證明MDEMAC ,得到 ME =MC , ME ±MCAEMC是等腰直角三角形.【答案】 EMC是等腰直角三角形.【例28我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地,我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形(1)請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；(2)如圖，在 4ABC中，點D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于O ,1 若/A=60/DCB=/EBC=2/A,請你寫出圖中一個與 2A相等的角，并猜想圖中哪 個四邊形是等對邊四邊形；(3)在 AABC

23、中，如果/A是不等于60。的銳角，點D、E分別在AB、AC上， r1且/DCB =/EBC=/A,探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形， 2并證明你的結(jié)論.【解析】證法一：作CG_LBE于G點，作BF _LCD交CD延長線于F點。通過 “ AAS” 證明BFCCGD ,可得 BF=CGFDB =60ABE = BEC再通過“ AAS”證明BFDCGE,得到BD=CE所以四邊形DBCE是等邊四邊形。證法二：在OE上截取OF =OD ,連接CF依題口J知OB =OC可通過“ SAS”證明BODWCOF ,可推出.CEF ZCFE,唐。得到 BD =CF，/DBO =/FCOACE =CF

24、 =BD，四邊形DBCE是等邊四邊形.【答案】(1)(平行四邊形、等腰梯形等(2)與/A相等的角是 /BOD (或2COD), 四邊形DBCE是等對邊四邊形；(3)此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE是等邊四邊形.【例29如圖，在等腰三角形 ABC中，/ACB =90*, D為BC的中點，BF II AC交DE的延長線于點 F ,連接CF交AD于G .(1)求證：AD1CF ;(2)連接AF ,試判斷4ACF的形狀，并說明理由.【答案】(1)依題可知：ACB 'DEB 'FEB都是等腰直角三角形A 工 BN CDE _L AB垂足為E ,過點B作CFDB 二FB =CD通過

25、“ SAS” 證明ACDCBF 得到 NCAD VBCFAD _CF(2) . AACDA CBF. . AD =CFAD =AFAF =CFAACF為等腰三角形.【例30如圖，P為等腰三角形ABC的底邊AB上的任意一點,AD _LBC點D ,求證:PE+PF=AD.【答案】解法一：過點 P作PN_LAD于點N .PE 1 AC 于點 E , PF _L BC 于點 F ,AP = PA, MNPAPEA,在 MPN 和 iPAE 中，/EPA=/NAP , ZANP -PEA ,PE =AN ,又由四邊形 PFDN為矩形，貝U PF =ND .：PE +PF =AD .解法二：連結(jié)CP.,

26、S心pc +S&PC Sbc ,即1 _ _ 1 一 一 1 一AC EP BC PF =-BC而 AC =BC , PE +PF =AD【變式練習】如圖，點 P為等腰三角形 ABC的底邊BA的延長線上的一點，PE_LCA的延長線于點E,PF_LBC于點F, AD_LBC于點D. PE、PF、AD之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系B1 -1 -1 .【解析】連結(jié) CP ,由 S&B S&PA =S&B ,得：-BC PF - AC PE=-BC AD又 AC =BC，.= PF PE=AD【答案】PF-PE = AD課后練習【習題1】已知等腰三角形一腰上的中線將它們的周長分為9和12兩部分，求腰長和底長.【答案】設(shè)這個三角形的腰長為x| x =12x,底長為y ,則«2x3 y =9x_Q-x = 9.i x 8解得，或2,y=5xy =122x =6解得,y =9而8 ,8 ,5和6 ,6 ,9均能組成等腰三角形【習題2】等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各內(nèi)角的度數(shù).【答案】（1）頂角的2倍，設(shè)頂角為u ,則2a+2ot+a=1801 a=361 2a =72*三角形三內(nèi)角依次是 72°, 72°, 36上 頂角是一底角的 2倍，設(shè)底角為a ,則ot+2ot =1801 a =45120t =90°,