2016甘肅建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)單招試題測(cè)試版(附答案解析)

1、2016甘肅建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù) 學(xué)單招試題測(cè)試版（附答案解 析）2016年甘肅建筑數(shù)學(xué)單招試題限時(shí)：60分鐘滿分：78分1.(滿分13分)在如圖所示的幾何體中， 四邊形ABCD是等腰梯形，AB/CD, /DAB =60； FC，平面 ABCD, AE ± BD , CB = CD = CF.(1)求證：BD，平面AED;(2)求二面角F BD C的余弦值.解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD是等腰梯形，AB/CD, / DAB =60°,所以/ ADC =Z BCD = 120°.又因?yàn)镃B=CD,所以/ CDB=30°,因此/ ADB = 90

2、6;, AD,BD,又因?yàn)?AEXBD ,且 AEA AD=A, AE, AD?平面 AED ,所以BD，平面AED .(2)法一：連接AC,由(1)知ADBD,所以ACBC.又因?yàn)镕C，平面ABCD,因 此CA, CB, CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 CA, CB, CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，_S 1不妨設(shè) CB=1,則 C(0,0,0), B(0,1,0), D5, 2, 0 ,F(0,0,1),因此BD =興2, 0 ,BF =(0, 1,1).設(shè)平面BDF的法向量為m = (x, y, z),則 m BD =0, m BF =0所以 x =

3、 3y= q3z,取 z= 1,則 m = (3, 1,1).由于CF = (0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量,nrt_ m CF 1J5則 cos m, CF=1= |m|CF|.'55所以二面角F-BD-C的余弦值為 堂.5法二：取BD的中點(diǎn)G,連接CG, FG,由于CB = CD,因此CGXBD,又因?yàn)镕C，平面 ABCD , BD?平面 ABCD ,所以FC ± BD.由于 FCACG=C, FC, CG?平面 FCG ,所以 BD，平面 FCG, 故BDFG,所以/ FGC為二面角FBD C的平面角.在等腰三角形 BCD中，由于/ BCD = 120°

4、, 1因止匕CG = 2CB,又因?yàn)镃B=CF,所以 GF=VcG2+CF2 =V5cG,故 cos /FGC=申，因此二面角F-BD-C的余弦值為 坐.52.(滿分13分)(2012廣東高考)如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA，平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC，平面BDE .(1)證明：BD，平面PAC;14（2）若PA=1, AD =2,求二面角 BPCA的正切值.解：（1）證明：: PC，平面BDE, BD?平面BDE, .PC，BD.又PA，平面 ABCD , BD?平面 ABCD,/.PAX BD,. PCnPA=P, ：BD，平面 PAC.(2)如右圖

5、設(shè) ACABD = O,連接OE.PC，平面BDE , BE?平面 BDE , OE?平面BDE ,/.PCX BE,PCXOE,BEO 為二面角B-PC-A的平面,. BD，平面PAC, ： BOXOE,即/ BOE= 90°,故 tan / BEO =OB又BD，平面 PAC, AC?平面 PAC, BDXAC.由四邊形ABCD為長(zhǎng)方形知它也是正方形,由 AD = 2 得 BD = AC=2>/2,在 Rt PAC 中，PC = VPA2+AC2 = 3. OECspac, . OC=OE,即 PC PAOC PCOE= PA=3,OB OC又tan Z BEO = OE-

6、=OE=3,：二面角BPCA的正切值為3.3.（滿分13分）（2012天津高考）如圖，在四棱錐 P-ABCD中,PA，平面 ABCD, ACXAD , ABXBC, /BAC = 45°, PA = AD = 2,AC= 1.(1)證明 PCX AD;(2)求二面角 APC D的正弦值;設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線 BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).解：法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題-1 1 _意得 A(0,0,0), D(2,0,0), C(0,1,0), B 5, 5, 0 , P(0,0,2).易得 PC =(0,1, 2), AD =(2

7、,0,0),于是 PC AD =0,所以 PCX AD.(2) PC =(0,1, - 2), CD' = (2, - 1,0).設(shè)平面PCD的法向量n = (x, y, z).n PC = 0, y 2z= 0,則 即不妨令z= 1,nCD=0, 2x y=0.可得 n = (1,2,1).可取平面PAC 的法向量 m = (1,0,0).m n 1m' n=麗=荷-.166 '從而sin/ _'.30m, n - 6 .所以二面角A PCD的正弦值為306 .設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0, h),其中h 0,2.由止匕得BE =1一：. 一2 h .由 CD =

8、(2, 1,0),故 cos BE , CD >BE CD| BE | |CDh/5=v0所以 = = cos 30 =-,法二：(1)證明:由 PA，平面 ABCD,可得 PAX AD,又由 AD，AC, PAAAC=A,故A"平面PAC,又因?yàn)?PC?平面PAC,所以PCX AD.7l; I I(2)如圖，作 AH ±PC 于點(diǎn) H ,連接 DH .由 PCX AD, PCX AH ,AD PAH =A,可得PC，平面 ADH ,又因?yàn)?DH 平面 ADH因止匕DH ±PC,從而/ AHD為二面角 A PCD的平面角.2.由(1)知AD在 RtAPAC

9、中，PA=2, AC=1,由此得 AH ±AH .故在 RtADAH 中，DH =7aD2 + AH2 =空305, AD -.30因此 sin /AHD=D= 6 .所以二面角A PCD的正弦值為電.(3)如圖，因?yàn)?AD ±AC, AD = 2AC 所以/ ADC <45°,故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段 AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F ,連接BE , EF. 故/ EBF或其補(bǔ)角為異面直線 BE與CD所成的角.由于 BF II CD,故/ AFB =/ ADC.在 Rt DAC 中，CD=gsin /ADC=一1故 sin /AFB=5在AFB中，由BFABsi

10、n / FAB =sin / AFB 'sin Z FAB = sin 135 =半，可得 BF =坐.由余弦定理，BF2=AB2+AF2-2AB AF cos / FAB ,1 可得AF = 2.設(shè) AE = h.在 RtEAF 中，EF=a/aE2 + AF2=21h+4.在 RtBAE 中，BE = /AE2 + AB2 = 十在AEBF中，因?yàn)锽E2+BF2EF2 可解得2BE BF .川午行EF<BE,從而/ EBF=30°,由余弦定理得h= 10心10 .cos 30 =所以ae=40.O4 .(滿分13分)在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD，底面ABCD

11、, PDXCD,底面 ABCD 是直角梯形，AB/CD , ZADC = 90AB = AD=PD=1, CD = 2.(1)求證：BC，平面PBD;設(shè)E為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，PE =入PC，試確定入的值，使得二面角E-BD-P的大小為45 :解：（1）證明：因?yàn)閭?cè)面 PCD，底面ABCD , PDXCD,所以PD，底面 ABCD ,所以PDLAD.又因?yàn)? ADC = 90°,即AD，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,CD,則 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0), P(0,0,1),所以 DB =(1,1,0), BC =(-1,1,0).所以 BC DB

12、=0,所以 BCXDB.由PD,底面 ABCD,可得PDBC,又因?yàn)镻DA DB = D,所以BC，平面PBD.(2)由(1)知平面 PBD 的一個(gè)法向量為 BC =(1,1,0),且 P(0,0,1),C(0,2,0),所以 PC= (0,2, 1),又因?yàn)镻E =入PC ,所以E(0,2入，1A，DE =(0,2 %設(shè)平面EBD的法向量為n=（a, b, c）,因?yàn)?DB =(1,1,0),.a + b=0,由 n DB =0, n DE =0,得2人入一1'2 入 M 1 入c=0令a=1,則可得平面EBD的一個(gè)法向量為n = - 1,1pTL 、n n BC所以cos -=川就

13、/解得人=亞1或入=也1,又由題意知/（0,1）,故仁V2-1.5 .(滿分13分)已知在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，且 AD=2, AB =1, PA，平面ABCD, E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).(1)證明:PFXFD ;判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG /平面PFD ;若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.解：(1)證明：因?yàn)?PA，平面 ABCD, /BAD = 90°, AB =1, AD = 2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0, 0,0), B(1,0,0), F(1,1,0), D(0,2,0).

14、不妨令 P(0,0, t),則 PE =(1,1, t), DE =(1, - 1,0).所以 PE DE = 1 X 1 +1 X (1)+( t)X 0=0,即 PFXFD.(2)設(shè)平面 PFD 的法向量為 n = (x, v, z),由知 PE =(1,1, t), DE = (1,1,0),則由n PF =0,n DF =0,x + ytz= 0,x y=0,令 z= 1,則 x = y=2.故n= 2E 2,要使EG/平面PFD,只需EG n=0, t _ t . t - 即2 X2 + 0X2+ mx 1 = m 4-= 0, 2；，1是平面PFD的一個(gè)法向量.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0

15、, m),所以m 二 ；t,1從而PA上滿足AG = 4AP的點(diǎn)G可使得EG II平面PFD .(3)易知AB，平面PAD,所以AB =(1,0,0)是平面PAD的一個(gè)法向量.又因?yàn)镻A，平面 ABCD,所以/ PBA是PB與平面 ABCD所成的角，故/ PBA = 一一一，人，1145°,所以PA=1,則平面PFD的一個(gè)法向量為 m= 5, 5, 1 ,1則 cos AB, m> 一些 m - = -/=噂,| AB 1 1m1 1 6故所求二面角APD F的余弦值為坐.66 .(滿分13分)平面圖形ABB1A1C1C如圖所示，其中 BB1C1C是矩形，BC = 2, BB

16、= 4, AB=AC = &, A1B1 = AQ1 = d5,現(xiàn)將該平面圖形分別沿 BC和B1C1折疊， 使小BC與1B1C1所在平面都與平面 BB1C1C垂直，再分別連接 AA, A1B, AC,得 到如圖所示的空間圖形.對(duì)此空間圖形解答下列問題.(1)證明:AA11BC;求AA1的長(zhǎng);(3)求二面角 A-BC-Ai的余弦值.解：法一：(向量法)(1)證明：取BC, BiCi的中點(diǎn)分別為D和 «二個(gè)Di,連接 A1D1, DDi, AD.由平面 BBiCiC 為矩形知，DDiXBiCi.二;、因?yàn)槠矫鍮BiCiC，平面A1B1C1,S和L 二所以 DDi,平面 AiBiC

17、i.又由 AiBi = AiCi 知，AiDil BiCi.故以Di為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Di-xyz.由題設(shè)，可得AiDi = 2, AD= i.由以上可知 AD，平面BBiCiC, AiDi,平面BBiCiC,于是 AD /AiDi.所以 A(0, i,4), B(i,0,4), Ai(0,2,0), C(i,0,4), D(0,0,4).故 AA； (= 0, 3, 4, BC =(-2,0,0),AA： BC = 0,因此 AABC ,即 AAiXBC.(2)因?yàn)?AA； = 0, 3, -4 ,所以 1AAi |=5,即 AAi = 5.(3)連接 AiD.由 B

18、CXAD, BCXAAi,可知 BC,平面 AiAD , BCXAiD,所以/ADAi 為二面角 A -BC-Ai的平面角.因?yàn)?DA (0, 1,0),DA； (0,2, 4),所以cos DA, DADA DA12| DA | | DA | i 22 ( 4)2即二面角A BC Ai的余弦值為一噂.5法二：(綜合法)(1)取BC, BiCi的中點(diǎn)分別為 D和Di,連接由條件可知，BCXAD, BiCiXAiDi.AiDi, DDi, AD, AiD.由上可得 AD，平面BBiCiC,AiDi，平面 BBiCiC,因此 AD /AiDi,即 AD, AiDi 確定平面 ADiAiD.又因?yàn)?DDi/BBi, BBiXBC,所以 DDiXBC.又考慮到 AD ±BC, DDiPAD=D,所以 BC，平面 ADiAiD