2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)6.6直接證明與間接證明練習(xí)理

1、第六節(jié)直接證明與間接證明桅理秦祺 眼疏梅朝 本度攻融12巴礎(chǔ)叵曬1<一、直接證明1 .綜合法：從題設(shè)的已知條件出發(fā)，運(yùn)用一系列有關(guān)已確定真實(shí)的命題作為推理的依據(jù)， 逐步推演而得到要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由已知到求 證，表現(xiàn)為由因索果，綜合法的解題步驟用符號(hào)表示是：P0（已知）？ P1? P2?？ Pn（結(jié)論）.特點(diǎn)：由因?qū)Ч虼司C合法又叫順推法.2 .分析法：分析法的推理方向是由結(jié)論到題設(shè)，論證中步步尋求使其成立的充分條件， 如此逐步歸結(jié)到已知的條件和已經(jīng)成立的事實(shí)，從而使命題得證，表現(xiàn)為執(zhí)果索因，分析法 的證題步驟用符號(hào)表示為 B（結(jié)論）？ B?R?？

2、 R?A（已知）.特點(diǎn)：執(zhí)果索因，因此分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法.二、間接證明假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而 證明了原命題成立.這樣的證明方法叫反證法.反證法是一種間接證明的方法.1 .反證法的解題步驟：否定結(jié)論一推演過(guò)程中引出矛盾一肯定結(jié)論.2 .反證法的理論依據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題為真，在直接證明有困難時(shí)，就 可以轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立.3 .反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：（1）假定命題的結(jié)論不成立；（2）進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)

3、論不成立”是錯(cuò)誤的；（4）肯定原來(lái)命題的結(jié)論是正確的，即“反設(shè)一歸謬一結(jié)論”4 . 一般情況下，有如下幾種情況的證明題目常常采用反證法：第一，問(wèn)題共有 n種情況，現(xiàn)要證明其中的 1種情況成立時(shí)，可以想到用反證法把其他的n-1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；第二，命題是以否定命題的形式敘述的；第三，命題用“至少” “至多”的字樣敘述的；第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆命 題又是非常容易證明的.回礎(chǔ)叵回1.設(shè)1=2+2腦s=a+b2+1,則下列關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的是 （D）A. t >sB. t >sC. tvs D . t <

4、; s解析：因?yàn)?s-1 = a+ b2+ 1 -a-2b= (b - 1)2>0,所以 s>t.3 ,下列不等式成立的是(D)A. sin(a + (3 )>sina + sinB. cos(a + (3 )>cosa + COSC. cos(a + (3 )<sina + sinD. cos(a + (3 )<cosa + COS2.對(duì)任意的銳角a3.定義運(yùn)算法則如下:a2+b3, a?b=lg a2lg b5.若酢1 12512方方，N=小寶,則 M N= 5.解析：由定義運(yùn)算法則可知，M，l= 2 ® -|-= /-+ A /-q = -1

5、+-|= 4, 48482 2N= 72?£= lg( 2)2Tg (25 V lg 2 +lg 5 =1,M N= 5.4. (2013 保定模擬)若P= #+小+ 7, Q= :a+3 +a+4, a>0,則P、Q的大小關(guān) 系是P<Q解析：分析法，要證P<Q需證P (2014 湖南卷)如圖，四棱柱 ABCD/BQDi的所有棱長(zhǎng)都相等, ACn BD= O, A1GnB1D=O,四邊形 ACGA和四邊形 BDDB均為矩形.(1)證明：OOL底面ABCD(2)若/CBA= 60° ,求二面角 COBD的余弦值.(1)證明：因?yàn)樗倪呅?ACCA1為矩形，所以

6、CGXAC.同理 DDLBD.因?yàn)?CC/DD,所以 CCL BD.而A6 BD= O,因止匕CCL底面 ABCD.由題設(shè)知，OO/ CC,故OO1底面 ABCD. (2)解析：如圖，過(guò)。作OH, OB于點(diǎn)H,連接HC.<Q2即可.(Wj考方向1.對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，一般貫穿在對(duì)其他知識(shí)的考查中，主要涉及綜合法、反證法等證 明方法，多以選擇題和解答題為主，難度中等2.分析法作為一種證明方法，較少單獨(dú)考查，但這種方法可以用來(lái)尋找解題思路Di瓦日>H O0>± AC.由(1)知，OOL底面ABCD 所以O(shè)O1底面A1B1CD,于 又因?yàn)樗睦庵?ABCD- A1BGD的所有

7、棱長(zhǎng)都相等, 所以四邊形A1B1GD1是菱形，因此ACBD,從而AG，平面BDDB,所以ACOB,于 進(jìn)而OBLCH.是OB,平面OHC,OB=服OCf= 1,3“OO- OB1易知 Q H=OB故/C1HO是二面角 GOBD的平面角.不妨設(shè)AB= 2.因?yàn)? CBA= 60° ,所以O(shè)B= 7.在 RtOOB 中,而OC= 1,于CiH= A/OC2+OH2=121+ 7 =1932 5719 .,OH故 cos / 0 HO=-=C1H即二面角COBD的余弦值為2 5719 .a ), b= (cos 3 , sin 3 ), 0< 3 <cos(1)若|a b|=啦

8、， 求證：a±b;(2)設(shè) c=(0, 1),若 a+b = c，求(1)證明：由 |a b| = 2,即(cos3 + sin a sin 3=0, 即 a b= 0,因此 a±b.3的值.(sin a sin 3 )2=2,整理得 cos+ cos 3=0+ sin 3=1所以sin a J得".或&5兀cos(2)解析：由已知條件, sin又 0< 3 < a < 兀,cos 3 =- cos a = cos(兀sin a + sin(兀 一 a ) = 1,當(dāng)時(shí),3 =56舍去),5兀時(shí)時(shí),1.如圖，三棱柱 ABCABC中.，側(cè)棱

9、與底面垂直， AB± AC, AB= AC= AAi=2,點(diǎn)M, N分 別為AB和BiO的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面 AiACG;(2)求二面角NMGA勺正弦值.B(1)證明：如圖所示，取 AiB的中點(diǎn)P,連接MP NP.又因?yàn)辄c(diǎn) M N分別為 AiB和BC的中點(diǎn)，所以 NP/ AG, MP/ BiB,因?yàn)镹P?平面MNP AQ?平面MNP所以NP/平面AiAGG;同理MP/平面AiAGG;又MRH NP= P,所以平面 MNPy平面 AiAGG;所以MM/平面AiAGG;(2)解析：側(cè)棱與底面垂直可得 AiA±AB, AiA±AG及AB!AC,可建立如圖所示的

10、空間 直角坐標(biāo)系.4iCi2),則 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), G(0, 2, 0), Ai(0, 0, 2), B(2 , 0, 2), G(0 , 2, N(i, i, 2), M(i, 0, i).所以 MG= ( -i, 2, 一 i),GN= (i , - i, 2) , AG= (0 , 2, 0).設(shè)平面 AGM勺法向量為ni=(xi, yi, zi),ni , AC= 2y 1= 0,則 £令 xi= 1,則 zi= 1,、ni MG= xi + 2yi z i = 0,所以 ni=(1 , 0, 1).設(shè)平面NCM勺法向量為n2= (x 2, y

11、2, Z2),n2 , MG= X2+ 2y2 Z2= 0, 則CN= X2 y2+ 2z2= 0,n2 令 X2 = 3,則 y2= 1, Z2 = 1.所以 n2= (3 , 1, 1).所以 cosm, n2>|n 1 - n2|nM|n 2|3+ 12x、32+12+ ( 1)2 222= 11 .設(shè)二面角NMC朋0 ,則故二面角NMCA勺正弦彳直為醇一112.設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,且 Sn2S an S+1= 0, nC N*.1 1(1)求Sn與Sn 1(n >2)的關(guān)系式，并證明數(shù)列 iS時(shí)I是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn= an $,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求

12、證： 篇一2 n 23(1)解析：當(dāng)n=1時(shí)，由已知得a2-2a1-a2+1 = 0,解得a1 = 2.由題設(shè) Sn-2Sn-an - S.+ 1=0,當(dāng)n>2時(shí)，將an=SnSn1代入上式，得 S - S. 1-2Sn+1=0. J . an-1_1Sn 2- Sn"Sn-1 Sn1 1七七:是首項(xiàng)為=-2,公差為一1的等差數(shù)列. Sn I ,Si I1(2)證明：由(1)知；=-2 + (n-1) - (- 1) =-n-1,Sn 1n - Sn=n+7' n N.1，、，、_ *nC N.an= S-St =(n + 1) (n 2), n=1 時(shí)也付合該式,1

13、bn= an , Sn=/. x(n+1)2.Tn= b1 + b2+ + bn = 72 + 72 + 2+ + -2.234(n+1)22+32+42+(n+1) 2>2X3 +3x4 +4x5 +(n+1) (n+2)2 (n + 2).而>=(1公 (n+1)(n + 1)(n+2) (n + 2)一1 n+213' n+222+ 32+42+1(n+1) 2<1+2 1+2 2+-2+2413n+萬(wàn) n+23 2n+ 3 3n2,n 、2 (n+2) <Tn<3信證課時(shí)作業(yè)1 .否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確反設(shè)為（D）A. a、b

14、、c都是奇數(shù)B. a、b、c都是偶數(shù)C. a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D. a、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析：自然數(shù)a、b、c中奇數(shù)、偶數(shù)的可能情況有全為奇數(shù)，恰有一個(gè)偶數(shù)，恰有兩個(gè) 偶數(shù)，全為偶數(shù).故選 D.2,下列條件：ab>0,ab<0,a>0, b>0,a<0, b<0.其中能使+?>2成立的條a b件有（C）A. 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析：要使b+a>2,只需b>0, a>0,即a, b不為0且同號(hào)即可， a ba b.滿(mǎn)足.故選 C.13.已知0V bva<4，則Ma- b, a-b, m一業(yè)的

15、大小 順序是（B）A. a b>a b/ 一也B. *-b報(bào)a-bC. yja - b > 9a - b > a - bD. a b >a _ b > 'a b解析：平方后轉(zhuǎn)化為作差分解因式或特殊值代入.4.規(guī)定記號(hào)“！!3,則 k=(B)A. - 2 B . 1 C .解析：根據(jù)運(yùn)算有 去).，k= 1.故選B.表示一種運(yùn)算，即-2 或 1 D . 21 - k+ 1 + k2=3,kCb= ab+ a+ b2 (a , b 為正實(shí)數(shù))，若 1 k =Rf,即 k2+ k-2 = 0,解得 k=1 或 k= 2(舍21n + 21U_|_ 1 + + 2

16、11 1,則下列結(jié)論正確的是(B)A. A> 1 B . Av 1 C . A> 1 D . AW 1一、，1解析：放縮法對(duì)每一項(xiàng)放大范圍，A= 2T0 +2付+ 1 + + 2付+ 1 023 V 210 + 2T0 + 2T0+ + -2T01 024 個(gè)=1.6.用反證法證明“如果 a>b,那么3/a>3/b”，假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 縮三題.7 .函數(shù)y= log a(x +3) 1(a>0且aw1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A,0上，其中 m, n>0,則2的最小值為 8.m n解析：函數(shù)y = log a( x+ 3) - 1(a>0且aw1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)若

17、點(diǎn)A在直線(xiàn)m奸ny+1 =A(-2, 1),則(一2) mr121+ ( 1) n+ 1= 0,即 2m+ n= 1.因?yàn)?m, n>0,所以 一+-= 一十 - m n m n； (2m + n)= 4+， 4m n+ 2/n 4m(當(dāng)且僅當(dāng)n=4m寸，等號(hào)成立)= 8. m nm n8 .已知函數(shù) f(x) =ax + 2a+1,當(dāng) xC1取值范圍為J1, - 3 1時(shí)，f(x)有正值也有負(fù)值,則實(shí)數(shù) a的解析：由題意得f(x) = ax + 2a+1為斜率不為 .二(a + 2a+ 1) , (2a a+ 1)<0. 一 1<a< 一 2.30的直線(xiàn)，由單調(diào)性知f

18、(1). f( -1)<0,9.已知 a>0, 7->1,求證：41 + aba證明：由已知；一>1及a>0可知0Vb<1,要證 5 + a>一, b a11-b只需證i,'1 + a ,弋1 b>1,只需證 1+abab>1,只需證a-b-ab>0即工>1, ab1 1即1a>1,這是已知條件，所以原不等式得證.10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P(2, 0)且斜率為k的直線(xiàn)交拋物線(xiàn) y2=2x于M(X1, y1) , N(x2,y2)兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；(2)求 X1X2, yiy2的值；(3)求證：OMLON.(1)解析：二直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(2, 0)且斜線(xiàn)為k,則直線(xiàn)l的方程為y= k(x -2).(2)解析：二直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于