梯形常用輔助線的做法

1、梯形常用輔助線的做法常見(jiàn)的梯形輔助線基本圖形如下平移一腸平移兩腰作榛形的高等腰梯形直甫梯形作梯形的中位線 過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形平移梯形的膘利用一膜中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)將梯形補(bǔ)成平行四邊形將梯形補(bǔ)成奪肢梯形1. 平移梯形一腰或兩腰，把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，同時(shí)還得 到平行四邊形.【例1】 已知：如圖,在梯形ABC呼- 一1 丄- 一 一.求證:A3= 2CD分析：平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉(zhuǎn)化在同一等腰三角形中解決,即AB=2CD.證明：過(guò)D作二二,交AB于E. AB平行于CD,且三匸,四邊形是菱形廠廠一又_1-"為等邊三角形.山-又脅仞,.-1- - '

2、'【例2】如圖,在梯形ABCD中,AD/ BC , E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),若A E DB M F N C一二'一 "AD = 7 ,BC = 15 , 求 EF .分析：由條件-；1,我們通過(guò)平移AB、DC ;構(gòu)造直角三角形 MEN使EF恰好是 MEN的 中線.解：過(guò)E作EM/ AB ,EN / DC ,分別交BC于M、N ,.丄二:八丄二廠 是直角三角形,=,三-二妙洱. J、"分別是二、7的中點(diǎn),EF 二、MN=4.為工的中點(diǎn)，.-變式：如圖1,梯形ABCD勺上底AB=3,下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范圍。圖1梯形丁宀的面積相等求證:

3、廠 f a析解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M則梯形ABCD轉(zhuǎn)化為 BCM和平行四邊形 ABMD 在 BCM中, BM=AD=4 CM=CB DM=CB AB=8- 3=5,所以 BC的取值范圍是：5 4<BC<升 4，即 1<BC<Q2. 延長(zhǎng)梯形的兩腰，使它們交于一點(diǎn)，可得到兩個(gè)相似三角形或等腰三角形、直 角三角形等進(jìn)一步解決問(wèn)題.【例3】.如圖,在梯形- _ -'中，梯形丄的面積與分析：條件是兩個(gè)梯形的面積相等，而結(jié)論是三線段長(zhǎng)的 平方關(guān)系，如果延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，就可得到三個(gè)相似的 三角形，再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形 就可得出結(jié)論.證明：延

4、長(zhǎng)廣。、使它們相交于點(diǎn), J.肓：二：”Ej口嚇-gjOAD為MM砂二aDEF6 GAD加-血1""eP"-同理,E她J1FFD '梯尼冬ECF故得：.1廠，嚴(yán)變式 1 如圖 5，在梯形 ABCD中，AD/BC,/ B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5,求 CD 的長(zhǎng)。析解：延長(zhǎng)BA CD交于點(diǎn)巳在 BCE中，/ B=50°,Z C=80°。所以/ E=50°,從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EG ED=5- 2=3變式2:如圖所示，四邊形 ABCD中, AD不平行于 BC

5、 AC= BD AD= BC.判斷四邊形 ABCD 的形狀，并證明你的結(jié)論.變式3：（延長(zhǎng)兩腰）如圖，在梯形-中，匸-,-I - 一 ： J ，蘭、為一I、-“的中點(diǎn)。3. 從梯形上底的兩端向下底引垂線作高，可以得到一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角 形然后利用構(gòu)造的直角三角形和矩形解決問(wèn)題.例4.如圖,在梯形S中，二-一一匚分析：過(guò)上底向下底作兩高，構(gòu)造Rt,然后利用兩三角形全等解決問(wèn)題 證明：分別過(guò)D C、作AB的垂線,垂足分別為E、F. Q2DJ-/-又 1變式：如圖7,在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB=2DC對(duì)角線 AC丄BD,垂 足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD

6、于點(diǎn)E,求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。析證：過(guò)點(diǎn)D作DGL AB于點(diǎn)G則易知四邊形 DGBC1矩形，所以DC=BG因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB從而 DA=DB 于是/ DAB=/ DBA又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。如圖8,在梯形 ABCD中, AD為上底，AB>CD求證：BD>AC析證：作AEL BC于E,作DF丄BC于F,則易知 AE=DF在Rt ABE和Rt DCF中，因?yàn)锳B>CD AE=DF所以由勾股定理得 BE>CF即 BF>CE 在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC4. 平移對(duì)角線一般是過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作

7、一條對(duì)角線的平行線 ，與另一底的延 長(zhǎng)線相交,得到一個(gè)平行四邊形和三角形，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角 形問(wèn)題解決.【例5】如圖，等腰梯形 d 中，L,. .，且.，是高，-是中位線,求證:-1.阿二丄(OT + A5)分析：由梯形中位線性質(zhì)得,欲證：小-，只要證CH = -(pD+ABi)2.過(guò)C點(diǎn)作加,交丿月的延長(zhǎng)線于渥,就可以把丄、-厶 和- 移到三角形二-二中,再證明等式成立就簡(jiǎn)單多了.證明：過(guò)二點(diǎn)作交廠 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)匸，則四邊形是平行四邊形.BE=CDEC=BD四邊形是等腰梯形,J * *又./C丄且D. AaLCS又，, / 廠匕二.-1 -二- .又泅冷應(yīng)心）,.gH【例6】

8、.已知：如圖,在梯形 丄二 中，-D 一匸 債.求證：梯形二工 是 等腰梯形.證明：過(guò)D作' - '''-：,交BA延長(zhǎng)線于E.則四邊形- '' 1 f是平行四邊形.DE 1E DSA ZCAE于是,可得心少日-山梯形ABCD是等腰梯形.變式1如圖3,在等腰梯形ABCD中, AD/BC, AD=3 BC=7, BD=;2，求證：AC丄 BD。CWf析解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BCCE=BD=5 2，所以 AE=ADF DE=ADF BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD中, AC=BD

9、=5. 2 , 所以在 ACE中，AC2 CE2 (5 2)2 (5.2)2 100 AE2，從而 AC丄CE 于是 ACL BC。變式2:(平移對(duì)角線)已知梯形 ABCD勺面積是32,兩底與高的和為16,如果其中一條對(duì)角線與兩底垂直，則另一條對(duì)角線長(zhǎng)為 變式 3:如圖 4,在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形 ABCD 的面積。圖4析解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC ,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則四邊形 ACED是平行四邊形，即S ABD S ACD S DCE 。所以S梯形ABCD S DBE由勾股定理得EH.DE2 DH2DH2 215129

10、(cm)BHBD2DH2202 12216 (cm)所以S1DBEBE DH1(9 16)12150(cm2),即梯形 ABCD勺面積是150cm2。225. 遇到梯形一腰中點(diǎn)的問(wèn)題可以作出梯形的中位線 ，中位線與上、下底都平行 且三線段有數(shù)量關(guān)系或利用“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn) 并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形解決問(wèn)題.I .求證：-< I S?-.'.【例7】.已知：如圖4,在梯形 山二中,二-二 是 的中點(diǎn),且證明：取的中點(diǎn)F,連結(jié)FE.則ADBC = 2EF.乙朋三90°J."Hi?F. /-L-一 '【例8】.已知：梯

11、形 ABCD中AD BC,E為AB中點(diǎn),且AM BC=DC , 求證: DEL EC,DE平分/ ADC,CE平分/ BCD證法1:取DC中點(diǎn)F,連結(jié)EF,E為AD中點(diǎn)，則EF為梯形的中位線h EF/ AD/ BC EF(AD+ BC) / 仁/ 5, / 3=7 6/ DC=A+ BC EF= DC=DF=CF 7 1=7 2, 7 3=7 4 7 2=7 5, 7 4=7 6 7 1 + 7 3+7 2+7 4=180° 7 1 + 7 3=90° DELC,DE平分 ADC,CE平分7 CD證法2:延長(zhǎng)CE與DA延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)F,過(guò)程略.證法3:在DC上截取DF=AD

12、連結(jié)AF BF、EF解決.變式 1如圖9,在梯形 ABCD中, AB/DC，0是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 ,求證：AB+ CD=AD圖91析證：取AD的中點(diǎn)E,連接0E則易知0E是梯形ABCD的中位線，從而0E=! （AB+ CD）2在厶 AOD中，/ AOD=90 , AE=DE所以O(shè)E 】AD 2由、得AB+ CD=AD變式2:在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和BE,求/ AEB=2/ CBE解、分析：分別延長(zhǎng) AE與BC，并交于F點(diǎn)，從而等到人。£與厶FCE是全等的，在利 用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出

13、結(jié)論”。DAXF CB解：分別延長(zhǎng) AE與BC，并交于F點(diǎn)/ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180/ BAD=90又 AD/ BC / DAE=/ F（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）/ AED=/ FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)） ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF 中/ FBA=9d 且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在厶 FEB中 / EBF=/ FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2/ CBE6.已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交， 使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例10如圖

14、10,在梯形 ABCD中, AD/BC, E、F分別是BD AC的中點(diǎn)，求證：(1) EF/AD ; (2) EF 1(BC AD)。2圖10析證：連接DF,并延長(zhǎng)交 BC于點(diǎn)G,易證 AFDA CFG貝U AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是厶BDG的中位線1從而 EF/BG，且 EF BG2因?yàn)?AD/BG, BG BC CG BC AD1所以 EF/AD, EF 丄(BC AD)27.當(dāng)遇到以上的梯形輔助線添加后不能解決問(wèn)題時(shí)，可以特題特解，結(jié)合具體問(wèn)題中的具體條件，尋求特殊的方法解決問(wèn)題.比如可將對(duì)角線繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 止利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-、將梯形補(bǔ)成平行四邊形或三角形問(wèn)題.【例9

15、】.已知：如圖5,在梯形ABCD中以M、N分別是BD、AC的中點(diǎn).求證：MNJi BC,MN = (BC-AD)證明：連結(jié)并延長(zhǎng),交“ 于E.則亠宀暑匸丄'一亠丄又N是AC的中點(diǎn),MN=-C. 2臨H SCfMN = -C-AD) 故:取一腰的中點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長(zhǎng)與對(duì)邊的延長(zhǎng)線相交，可得兩個(gè)全 等三角形.【例io】.如圖,梯形二匚匚 中,m，三、'廠 分別平分一和丄,-為丄一中點(diǎn)，求證：''”二恥.分析：要證明丄：h亠，可以利用為川中點(diǎn)，延長(zhǎng)-與工-的延長(zhǎng)線交于、,ADCE 盂 AAFE ,得到工J再證明畀一汀即可.證明：延長(zhǎng)_、-交于點(diǎn)F,顯然一CD

16、=PA CE=FE又-./ I 'EDGE = ECB "込 乙 EBAJJZCBEE = 90° 二 CES =緲J三 是線段r=的垂直平分線. EG二盼二BA十蟲(chóng)總.恥匚M +UDJ評(píng)注：添加輔助線后，溝通了'、二-與" 的聯(lián)系，由線段垂直平分線性質(zhì)得出2-： 從而問(wèn)題獲得解決.利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)上【例11】.已知：如圖,在梯形二二 中，-】；一，-；- 是CD的中點(diǎn).求證-匸.證明：延長(zhǎng)AE BC相交于點(diǎn)F.易證-.AD ADYF砸匸 EF* *JA 皿+心肚J/ 、BCF.CP+RC = AS 即腫二加 BE是等腰丄底邊上的高. AE 丄 B

17、E說(shuō)明：在圖5中,相當(dāng)于由繞點(diǎn)e旋轉(zhuǎn)-得到；在圖6中，二三 是由亠亠 繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)1： 得到.【例12】.如圖，梯形-二二 中，-二，為腰） 的中點(diǎn),求證:%期=-哥炯應(yīng)仞分析：I與梯形ABCD勺面積關(guān)系不明顯,如果利用梯形 助特點(diǎn)把它補(bǔ)成如圖7的平行四邊形，它們之間的關(guān)系就清晰了梯形補(bǔ)成平行 四邊形,各種關(guān)系明顯、直觀，解題思路清晰 證明：延長(zhǎng)-,使二,延長(zhǎng)二，使-廠；貝f宀,則四邊形 二二是平行四邊形為"的中點(diǎn)，連結(jié)，心r與'交于點(diǎn).O_ 二 p_ 二 T連結(jié)宀,則，旗是百C中點(diǎn)"為八中點(diǎn)且是'中點(diǎn).四邊形是平行四邊形,【模擬試題】1. 若等腰梯形的銳角是

18、 60°,它的兩底分別為11cm 35cm,則它的腰長(zhǎng)為 cm2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC / B= 60° , AD= 2, BC= 8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）A. 19B. 20C.21D.22D3. 如圖所示，AB/ CD AE丄DC AE= 12, B»20, AC= 15,則梯形 ABCD的面積為（）A. 130 B. 140 C. 150 D. 1604.如圖所示，在等腰梯形BC= 70,求BD的長(zhǎng).EDCABCD中，已知 AD/ BC,對(duì)角線 AC與BD互相垂直，且AD= 30,5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60&

19、#176;,它的兩底分別為 15cm和49cm求它的腰長(zhǎng)an6. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC, AC丄BD, AD+ BC= 10, DEI BC于E,求DE的長(zhǎng).anE7. 如圖所示，梯形 ABCD中, AB/ CD, / D= 2/ B, AM DC= 8,求 AB的長(zhǎng).8. 如圖所示，梯形 ABCD中, AD/ BC, ( 1)若E是AB的中點(diǎn)，且 AD+ BC= CD貝U DE與CE有何位置關(guān)系？ (2) E是/ ADC與Z BCD的角平分線的交點(diǎn)， 則DE與CE有何位置關(guān)系？AC2 .BD【課后演練】1 (本小題滿分5分)已知：如圖，梯形 ABCD 中，AD /

20、 BC , AB=DC , Z BAD、/ CDA 的平分線 AE、DF分別交直線BC于點(diǎn)E、F.求證：CE=BF./1F tc e|如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BCCD, BDC 90° AD 3, BC 8 .求 AB 的長(zhǎng).3.如圖 6,在梯形 ABCD 中，AD / BC , A 90 , C 45 , DE=EC, AB=4,AD=2 , 求BE的長(zhǎng).4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,DEA ( 2/3 , 0), B ( 2靈,2).B把矩形OABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到矩形OA.B,®.(1 )求Bi點(diǎn)的坐標(biāo);備用圖(3 )設(shè)(2)中直線丨交y軸于點(diǎn)P,直

21、接寫(xiě)出PGO與 PBA的面積和的值及POA與PB.G的面積差的值(2)求過(guò)點(diǎn)(2, 0)且平分矩形OA.B.C,面積的直線l方程;5. 如圖，矩形紙片ABCD中, BC=4 AB=3點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B C重合）現(xiàn)將 PCD& PD翻折，得到 PC' D;作/BPC的角平分線，交 AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x,BE= y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是6. 已知：如圖，梯形ABCD中，DC / AB, AD=BC,對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn) O, / COD=60 若 CD=3,AB=8，求梯形 ABCD的高.7 .已知如圖，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄BC , AD=2 , BC=DC=5，點(diǎn)P在BC 上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取最小值