（整理版）課題分式不等式高次不等式的解法

1、課 題：分式不等式 高次不等式的解法 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運算的符號法那么可知，假設(shè)原不等式成立，那么左邊兩個因式必須異號，原不等式的解集是下面兩個不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.書寫時可按以下格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.解三：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x從小到大排列分別為-4，1，這兩根將x軸分為三局部：-，-4-4，11，+；分析

2、這三局部中原不等式左邊各因式的符號-，-4-4，11，+x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式各項x的符號化“+，令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出

3、各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把實數(shù)數(shù)軸分成兩局部，n個分界點把數(shù)軸分成n+1局部；按各根把實數(shù)分成的n+1局部，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列；計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖形求解，稱之

4、為根軸法零點分段法將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點為什么？；假設(shè)不等式x的系數(shù)化“+后是“>0,那么找“線在x軸上方的區(qū)間；假設(shè)不等式是“<0,那么找“線在x軸下方的區(qū)間.注意：奇過偶不過例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3注意：2是二重根，3是三重根；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次自右上方開始奇過偶不過，如以下圖：原不等式的解集為：x|-1

5、<x<2或2<x<3.說明：3是三重根，在c處過三次，2是二重根，在b處過兩次，結(jié)果相當于沒過.由此看出，當左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數(shù)時，曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在x1點處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇過偶不過.練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應(yīng)方程的根為：-2二重，-1，3；在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說明：注意不等式假設(shè)帶“=號，點畫為實心，解集邊界處應(yīng)有等號；另外，線雖不穿過-2點，但x=-2滿足“=的

6、條件，不能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.錯解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ，原不等式的解集是說明：假設(shè)此題帶“=，即(x-3)(x+7)0，那么不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是x| -7<x3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負數(shù)，不等號方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個含x的式子，它的正負不知，不等號方向無法確定，無從解起，假設(shè)討論分母的正負，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項，通分，右邊

7、化為0，左邊化為的形式.例5 解不等式：.解法1：化為不等式組來解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.也可以直接用根軸法零點分段法求解：練習(xí)：1.課本p21練習(xí)：3.答案：1.x|-5<x<8；x|x<-4,或x>-1/2；2.x|-13<x<-5.2解不等式：.答：x|x0或1<x<2三、小結(jié)：1特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：左邊各因式中x的系數(shù)化為“+，假設(shè)有因式為二次的不能再分解了二次項系數(shù)也化為“+，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；注意邊界點數(shù)軸上

8、表示時是“0”還是“.2分式不等式，切忌去分母，一律移項通分化為>0(或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式 .也可以直接用根軸法零點分段法求解3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4注意必要的討論.5一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.四、布置作業(yè)五、思考題：1 解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：將二次項系數(shù)化“+為：(x2-x-12)(x+a)>0，相應(yīng)方程的根為：-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？討論：當-a>4，即a<-4時，各根在數(shù)軸上的分布及

9、穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<4或x>-a.當-3<-a<4，即-4<a<3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<-a或x>4.當-a<-3，即a>3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -a<x<-3或x>4.當-a=4，即a=-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| x>-3.當-a=-3，即a=3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| x>4.2假設(shè)不等式對于x取任何實數(shù)均成立，求k的取值范圍.(提示：4x2+6x+3恒正)答：1<k<3解： (4x2+6x+3恒正)，原不