（整理版）函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應用2

1、2-8 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用1.(·湘潭調(diào)研)以下函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()答案c解析能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.a、b選項中不存在f(x)<0，d選項中零點兩側(cè)函數(shù)值同號，應選c.2(文)假設函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且f(x)在(2,2)內(nèi)有一個零點，那么f(2)·f(2)的值()a大于0 b小于0c等于0 d不能確定答案d解析假設函數(shù)f(x)在(2,2)內(nèi)有且僅有一個零點，且是變號零點，才有f(2)·f(2)<0，故

2、由條件不能確定f(2)·f(2)的值的符號(理)(·北京東城一模)函數(shù)f(x)()xx，在以下區(qū)間中，含有函數(shù)f(x)零點的是()a(0，) b(，)c(，1) d(1,2)答案b解析f(0)1>0，f()()()>0，f()()()<0，f()·f()<0，且函數(shù)f(x)的圖象為連續(xù)曲線，函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)有零點點評一個簡單的零點存在性判斷題涵蓋了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理，難度不大，但有一定的綜合性，要多加強這種小題訓練，做題不一定多，但卻能將應掌握的知識都訓練到3(文)(·杭州模擬)函數(shù)f(x)|x2|ln

3、x在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為()a0b1c2d3答案c解析在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y|x2|與ylnx的圖象，lne1，e<3，由圖象可見兩函數(shù)圖象有兩個交點，函數(shù)f(x)有兩個零點(理)(·吉林市質(zhì)檢)函數(shù)f(x)xsinx在區(qū)間0,2上的零點個數(shù)為()a1個 b2個 c3個 d4個答案b解析在同一坐標系中作出函數(shù)yx與ysinx的圖象，易知兩函數(shù)圖象在0,2內(nèi)有兩個交點4(·深圳一檢)函數(shù)f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零點分別為x1，x2，x3，那么x1，x2，x3的大小關(guān)系是()ax1<x2<x3 bx2<x1<x3cx1&l

4、t;x3<x2 dx3<x2<x1答案a解析令f(x)x2x0，因為2x恒大于零，所以要使得x2x0，x必須小于零，即x1小于零；令g(x)xlnx0，要使得lnx有意義，那么x必須大于零，又xlnx0，所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；令h(x)x10，得x1>1，即x3>1，從而可知x1<x2<x3.5(·山東濱州)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，a(a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，那么方程f(x)0在區(qū)間a，a內(nèi)根的個數(shù)是()a3b2c1d0答案b解析f(0)&#

5、183;f(a)<0，f(x)在0，a中至少有一個零點，又f(x)在0，a上是單調(diào)函數(shù)，f(x)在0，a上有且僅有一個零點又f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)在a,0)中也只有一個零點，故f(x)在a，a內(nèi)有兩個零點，即方程f(x)0在區(qū)間a，a內(nèi)根的個數(shù)為2個應選b.6(文)(·北京西城區(qū)抽檢)某航空公司經(jīng)營a、b、c、d這四個城市之間的客運業(yè)務它的局部機票價格如下：ab為元；ac為1600元；ad為2500元；bc為1200元；cd為900元假設這家公司規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，那么bd的機票價格為()(注：計算時視a、b、c、d四城市位于同一平

6、面內(nèi))a1000元 b1200元c1400元 d1500元答案d解析注意觀察各地價格可以發(fā)現(xiàn)：a、c、d三點共線，a、c、b構(gòu)成以c為頂點的直角三角形，如圖可知bd5×3001500.點評觀察、分析、聯(lián)想是重要的數(shù)學能力，要在學習過程中加強培養(yǎng)(理)(·濟南一中)如圖，a、b、c、d是四個采礦點，圖中的直線和線段均表示公路，四邊形abqp、bcrq、cdsr近似于正方形，a、b、c、d四個采礦點的采礦量之比為6：2：3：4，且運礦費用與路程和采礦量的乘積成正比現(xiàn)從p、q、r、s中選一個中轉(zhuǎn)站，要使中轉(zhuǎn)費用最少，那么應選()ap點 bq點cr點 ds點答案b解析設圖中每個小正

7、方形的邊長均為1，a、b、c、d四個采礦點的采礦量分別為6a,2a,3a,4a(a>0)，設si(i1,2,3,4)表示運礦費用的總和，那么只需比擬中轉(zhuǎn)站在不同位置時si(i1,2,3,4)的大小如果選在p點，s16a2a×23a×34a×435a，如果選在q點，s26a×22a3a×24a×332a，如果選在r處，s36a×42a×33a4a×233a，如果選在s處，s46a×42a×33a×24a40a，顯然，中轉(zhuǎn)站選在q點時，中轉(zhuǎn)費用最少7定義在r上的偶函數(shù)yf(

8、x)，當x0時，yf(x)單調(diào)遞增，f(1)·fyf(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)是_答案2解析由可知，在0，)上存在惟一x0(1,2)，使f(x0)0，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以存在x0(2，1)，使f(x0)0，且x0x0.故函數(shù)的圖象與x軸有2個交點8.(·浙江金華十校聯(lián)考)有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如下圖)，那么圍成場地的最大面積為_(圍墻的厚度不計)答案2500m2解析設所圍場地的長為x，那么寬為，其中0<x<200，場地的面積為x×22500m2

9、，等號當且僅當x100時成立9(文)(·揭陽市模擬)某農(nóng)場，可以全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等農(nóng)作物，且產(chǎn)品全部供給距農(nóng)場d(km)(d<200km)的中心城市，其產(chǎn)銷資料如表：當距離d到達n(km)以上時，四種農(nóng)作物中以全部種植稻米的經(jīng)濟效益最高(經(jīng)濟效益市場銷售價值生產(chǎn)本錢運輸本錢)，那么n的值為_.作物工程水果蔬菜稻米甘蔗市場價格(元/kg)8321生產(chǎn)本錢(元/kg)321運輸本錢(元/kg·km)面積相對產(chǎn)量(kg)10154030答案50解析設面積全部種植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的經(jīng)濟效益分別為y1、y2、y3、y4，那么y1d，y2d，y3d，y4d，由

10、50d<200，故n50.(理)定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，假設方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，那么x1x2x3x4_.答案8解析解法1：由，定義在r上的奇函數(shù)f(x)圖象一定過原點，又f(x)在區(qū)間0,2上為增函數(shù)，所以方程f(x)m(m>0)在區(qū)間0,2上有且只有一個根，不妨設為x1；f(x1)f(x1)f(x14)f(x14)，x142,4也是一個根，記為x2，x1x24.又f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，f(x)是周期為8的周期函數(shù)，f(x18)f(x1)m，不妨將此根

11、記為x3，且x3x188，6；同理可知x4x286，4，x1x2x3x4x1x2x18x288.解法2：f(x)為奇函數(shù)，且f(x4)f(x)，f(x4)f(x)，以2x代入x得：f(2x)f(2x)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，又f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于直線x2也對稱又f(x8)f(x4)4)f(x4)f(x)，f(x)的周期為8.又在r上的奇函數(shù)f(x)有f(0)0，f(x)在0,2上為增函數(shù)，方程f(x)m，在8,8上有四個不同的根x1、x2、x3、x4.必在2,2上有一實根，不妨設為x1，m>0，0x12，四根中一對關(guān)于直線x2對稱一對關(guān)于直線x6對稱，故x1x2x

12、3x42×22×(6)8.10當前環(huán)境問題已成為問題關(guān)注的焦點，的哥本哈根世界氣候大會召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說非常小請根據(jù)以下數(shù)據(jù)：當前汽油價格為2.8元/升，市內(nèi)出租車耗油情況是一升汽油大約能跑12千米；當前液化氣價格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑1516千米；一輛出租車日平均行程為200千米(1)從經(jīng)濟角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟(即省錢)；(2)假設出租車改裝液化氣設備需花費5000元，請問多長時間省出的錢等于

13、改裝設備花費的錢解析(1)設出租車行駛的時間為t天，所消耗的汽油費為w元，消耗的液化氣費為p元，由題意可知，w×2.8(t0且tn)×3p×3(t0且tn)，tp40t.又>40t，即w>p，所以使用液化氣比使用汽油省錢(2)t5000，解得t545.5，又t0，tn，t546.設40t5000，解得t750.所以，假設改裝液化氣設備，那么當行駛天數(shù)t546,750時，省出的錢等于改裝設備的錢.11.某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，那么以下函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市

14、場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()ay100x by50x250x100cy50×2x dy100log2x100答案c解析觀察前四個月的數(shù)據(jù)規(guī)律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變化規(guī)律符合指數(shù)型函數(shù)模型的增長規(guī)律，應選c.點評也可以將x1,2,3,4，依次代入四個選項中，通過比照差異大小來作判斷，但計算量比擬大12(文)(·舟山月考)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是()a0b1c2d3答案d解析令x(x1)0得x0或1，滿足x0；當x>0時，lnx與2x6都是增函數(shù)，f(x)lnx2x6(x>0)為增函數(shù)，

15、f(1)4<0，f(3)ln3>0，f(x)在(0，)上有且僅有一個零點，故f(x)共有3個零點f(x)在2,2內(nèi)的圖象如下圖，假設函數(shù)f(x)的導函數(shù)f (x)的圖象也是連續(xù)不間斷的，那么導函數(shù)f (x)在(2,2)內(nèi)有零點()a0個 b1個c2個 d至少3個答案d解析f (x)的零點，即f(x)的極值點，由圖可知f(x)在(2,2)內(nèi)，有一個極大值和兩個極小值，故f(x)在(2，2)內(nèi)有三個零點，應選d.13(·安徽江南十校聯(lián)考)某流程圖如下圖，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，那么可以輸出的函數(shù)是()af(x) bf(x)cf(x) df(x)lgsinx答案c解析根據(jù)程序框圖知

16、輸出的函數(shù)為奇函數(shù)，并且此函數(shù)存在零點經(jīng)驗證：f(x)不存在零點；f(x)不存在零點；f(x)的定義域為全體實數(shù)，且f(x)f(x)，故此函數(shù)為奇函數(shù)，且令f(x)0，得x0，函數(shù)f(x)存在零點；f(x)lgsinx不具有奇偶性14(文)(·山東濟寧一模)a是函數(shù)f(x)2xx的零點，假設0<x0<a，那么f(x0)的值滿足()af(x0)0 bf(x0)<0cf(x0)>0 df(x0)的符號不確定答案b解析分別作出y2x與yx的圖象如圖，當0<x0<a時，y2x的圖象在yx圖象的下方，所以，f(x0)<0.(理)(·安徽合肥質(zhì)

17、檢)函數(shù)f(x)，把函數(shù)g(x)f(x)x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，那么該數(shù)列的通項公式為()aan(nn*)bann(n1)(nn*)cann1(nn*)dan2n2(nn*)答案c解析當x0時，f(x)2x1；當0<x1時，f(x)f(x1)12x1112x1；當1<x2時，f(x)f(x1)1f(x2)22x2122x21；當x0時，g(x)的零點為x0；當0<x1時，g(x)的零點為x1；當1<x2時，g(x)的零點為x2；當n1<xn(nn*)時，g(x)的零點為n，故a10，a21，a32，ann1.15(文)某加工廠需定期購置原材料，每公

18、斤原材料的價格為1.5元，每次購置原材料需支付運費600元每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需消耗原材料400公斤，每次購置的原材料當天即開始使用(即有400公斤不需要保管) (1)設該廠每x天購置一次原材料，試寫出每次購置的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該廠多少天購置一次原材料才能使平均每天支付的總費用y(元)最少，并求出這個最小值解析(1)每次購置原材料后，當天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天(也就是下次購置原材料的

19、前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x1天每次購置的原材料在x天內(nèi)的保管費用為y1400×0.03123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，購置一次原材料的總的費用為6x26x6001.5×400x6x2594x600(元)，購置一次原材料平均每天支付的總費用為y6x5942594714.當且僅當6x，即x10時，取得等號該廠10天購置一次原材料可以使平均每天支付的總費用最少，最少費用為714元(理)(·日照模擬)張林在李明的農(nóng)場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產(chǎn)須占用農(nóng)場的局部資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入工廠在不賠付農(nóng)場的

20、情況下，工廠的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x，假設工廠每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付農(nóng)場s元(以下稱s為賠付價格)(1)將工廠的年利潤w(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出工廠獲得最大利潤的年產(chǎn)量；(2)假設農(nóng)場每年受工廠生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額yt2(元)，在工廠按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，農(nóng)場要在索賠中獲得最大凈收入，應向張林的工廠要求賠付價格s是多少？解析(1)工廠的實際年利潤為：wst(t0)wsts()2，當t()2時，w取得最大值所以工廠取得最大年利潤的年產(chǎn)量t()2(噸)(2)設農(nóng)場凈收入為v元，那么vstt2.將t()2代入上式，得v.又v，令v0，得s20

21、.當0<s<20時，v>0；當s>20時，v<0.所以當s20時，v取得最大值因此李明向張林要求賠付價格s為20元/噸時，獲得最大凈收入1(·江蘇南通九校)假設a>1，設函數(shù)f(x)axx4的零點為m，g(x)logaxx4的零點為n，那么的取值范圍是()a(3.5，) b(1，)c(4，) d(4.5，)答案b分析欲求的取值范圍，很容易聯(lián)想到根本不等式，于是需探討m、n之間的關(guān)系，觀察f(x)與g(x)的表達式，根據(jù)函數(shù)零點的意義，可以把題目中兩個函數(shù)的零點和轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)yax和對數(shù)函數(shù)ylogax與直線yx4的交點的橫坐標，因為指數(shù)函數(shù)yax

22、和對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，故其圖象關(guān)于直線yx對稱，又因直線yx4垂直于直線yx，指數(shù)函數(shù)yax和對數(shù)函數(shù)ylogax與直線yx4的交點的橫坐標之和是直線yx與yx4的交點的橫坐標的2倍，這樣即可建立起m，n的數(shù)量關(guān)系式，進而利用根本不等式求解即可解析令axx40得axx4，令logaxx40得logaxx4，在同一坐標系中畫出函數(shù)yax，ylogax，yx4的圖象，結(jié)合圖形可知，nm為直線yx與yx4的交點的橫坐標的2倍，由，解得x2，所以nm4，因為(nm)114，又nm，故(nm)>4，那么>1.2(·溫州十校模擬)函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x

23、)mx，假設對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是()a(0,2) b(0,8)c(2,8) d(，0)答案b解析當m0時，顯然不合題意；當m>0時，f(0)1>0，假設對稱軸0即0<m4，結(jié)論顯然成立；假設對稱軸<0，即m>4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)<0即可，即4<m<8.綜上0<m<8，選b.3(·江南十校聯(lián)考)定義域為d的函數(shù)f(x)同時滿足條件：常數(shù)a，b滿足a<b，區(qū)間a，bd，使f(x)在a，b上的值域為ka，kb(kn*)，那么我們把f(x)叫做a，

24、b上的“k級矩形函數(shù)函數(shù)f(x)x3是a，b上的“1級矩形函數(shù)，那么滿足條件的常數(shù)對(a，b)共有()a1對 b2對c3對 d4對答案c分析由“k級矩形函數(shù)的定義可知，f(x)x3的定義區(qū)間為a，b時，值域為a，b，可考慮應用f(x)的單調(diào)性解決解析f(x)x3在a，b上單調(diào)遞增，f(x)的值域為a3，b3又f(x)x3在a，b上為“1級矩形函數(shù)，解得或或，故滿足條件的常數(shù)對共有3對4.如圖，有四個平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓垂直于x軸的直線l：xt(0ta)經(jīng)過原點o向右平行移動，l在移動過程中掃過平面圖形的面積為y(圖中陰影局部)，假設函數(shù)yf(t)的大致圖象如圖，那么平

25、面圖形的形狀不可能是()答案c解析a、b、d的面積都是隨著t的增大而增長的速度越來越快，到t時，增長的速度又減慢，而c圖那么從t開始勻速增大與f(t)不符5(·天津市南開區(qū)模考)函數(shù)f(x)axxa(a>0，a1)，那么函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是()a0個 b1個c2個 d至少1個答案d解析在同一坐標系中作出函數(shù)yax與yxa的圖象，a>1時，如圖(1)，0<a<1時，如圖(2)，應選d.點評解決這類問題的有效方法是數(shù)形結(jié)合法6設a1,2,3,4，b2,4,8,12，那么函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,2上有零點的概率為()a. b.c. d.答案c解析因為f(x)x3axb，所以f (x)3x2a.因為a1,2,3,4，因此f (x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為增函數(shù)假設存在零點，那么，解得a1b82a.因此能使函數(shù)在區(qū)間1,2上有零點的有：a1,2b10，故b2，b4，b8.a2,3b12，故b4，b8，b12.a3,4b14，故b4，b8，b12.a4,5b16，故b8，b.7設函數(shù)yx3與y()x2的圖象的交點為(x0，y0)，那么x0所在的區(qū)間是()a(0,1) b(