直角三角形專項復習資料配套練習

1、專題43直角三角形聚焦考點溫習理解一、直角三角形1 .定義有一個角是直角的三角形叫作直角三角形2 .性質(zhì)(1)直角三角形兩銳角互余 .(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半3 .判定(1)兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形二、勾股定理及逆定理1 .勾股定理：直角三角形的兩條直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方，即：a2+b2=c2;2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊 a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個三角形是

2、直角三角形 .三、直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)四、互逆命題、互逆定理1 .互逆命題如果一個命題的題設和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和題設，我們把風這兩個命題叫做互逆命題.把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2 .互逆定理若一個定理的逆命題是正確的，那么它就是這個定理的逆定理，稱這兩個定理為互逆定理 名師點睛典例分類考點典例一、直角三角形的判定【例1】下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4,5,6B

3、. 1.5,2 , 2.5C. 2,3,4D. 1, 2 , 3【答案】B.【解析】試題分析:由勾股定理的逆定理，只要險證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可：4夕=41,小，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤，1,5-6.25-2.52,可以構(gòu)成直角三角形，故本選項正確jC、2。3?=13求4"不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤fD、尸+（0/=3H3二不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤.故選B.考點：勾股定理的逆定理.【舉一反三】（舟山一中期中）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A. 3、4、5 B . 2、3、4 C . 1、2、3 D . 4、5、6【答

4、案】A【解析】試題分析：選項A, 32+52=25=52;選項B,2 2+32=42;選項C,12+22w 32;選項 D,4 2+52W 62.根據(jù)勾股定理的逆定理可得只有選項 A能夠成直角三角形，故答案選 A.考點：勾股定理的逆定理.考點典例二、直角三角形的性質(zhì)【例2】如圖，在 RtABC中,D, E為斜邊 AB上的兩個點，且 BD=BC AE=AC則/ DCE的大小為 【答案】45試題分析:設NDCE二右 ZACD=7j 則ZECE=90° -/KE=90° -X-y.'AE=AC, /ME=NAEC=區(qū)燈.：BD=BC, /. ZE DC= ZBCD= Z

5、BCE+Z DCE=90 ° f 療90, -y.在ADCE 中，r Zdce+Zcde+Zdec=iso 0 ,F+（90* -y） + G=180,解得 x=45* .,ZDCE=45° .考點：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形內(nèi)角和定理；3.方程思想的應用.【舉一反三】在一個直角三角形中，有一個銳角等于60。，則另一個銳角的度數(shù)是 （）A. 120°B . 90° C . 60°D . 30°【答案】D.【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解：直角三角形中，一個銳角等于60° ,另一個銳角的度數(shù)=9

6、0° -60° =30° .故選D.考點：直角三角形兩銳角的關(guān)系.考點典例三、直角三角形斜邊上的中線5【例3】如圖，在RtABC中，/ACB=90，點 D是AB的中點，且 CD=5 ,如果RtABC的面積為1,則2a.返+1b.75+1c.75+2d.75+32【答案】D【解析】試題分析：如圖j 7在RtZUBC中,ZACB=90° ,點D是四的中點,且 一.'.AB=2CD=出.AC:+BC:=5又RtZkABC的面積為L, =則 KBC=2.,'.（AC+BC） :=AC:+EC+2AC-EC=9J,AC+BC=3 （舍去負值3.AC

7、+BC+AB=3+5 ,即 AABC 的周長是 3+75 .故選：D.考點：勾股定理；直角三角形斜邊上的中線.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.【舉一反三】（2015.山東棗莊，第15題,4分）如圖，4ABC中，CD! AB于D, E是AC的中點，若AD=q DE=5貝U CD=;3C【答案】【解析】【試題分析】因為 CDL AB,所以 ADC是直角三角形，E為AC的中點，所以 AC=2DE=10由勾股定理可得AD=8.考點：直角三角形的性質(zhì) 考點典例四、命題【例3】下列命題中，是真命題的是 （）A.等腰三角形都相似B .等邊三角形都相似C.銳

8、角三角形都相似D.直角三角.形都相似【答案】B.【解析】試題分析：根據(jù)相似三角形的判定，只有等邊三角形的內(nèi)角都相等，為 60。，從而都相似.故選B.考點：1.命題和定理；2.相似三角形的判定；3.等邊三角形的性質(zhì).【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解.【舉一反三】下列命題錯誤的是（）A.所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示B.等角的補角相等C.無理數(shù)包括正無理數(shù)， 0,負無理數(shù)D.兩點之間，線段最短【答案】【解析】試題分析：根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應對A進行判斷；根據(jù)補角的定義對 B進

9、行判斷；根據(jù)無理數(shù)的分類對 C進行判斷；根據(jù)線段公理對 D進行判斷.試題解析：以所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，所以A選項正確；目、等角的補角相等，所以B選項正確fC、無理數(shù)包括正無理數(shù)和負無理數(shù)j。是有理數(shù),所以C選I頁錯誤：D、兩點之間，線段最短，所以D選項正確.故選：C.考點：命題與定理.課時作業(yè)能力提升一、選擇題1. （2015.北京市，第6題，3分）如圖，公路AG BC互相垂直，公路 AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AM的長為1.2km,則M C兩點間的距離為（）A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】D.【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

10、一半可得MC=1.2km故選D.考點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半2. （2015 湖北黃岡，6題，3分）如圖，在 ABC中，/ C=RtZ, / B=30° ,邊AB的垂直平分線 DE交AB于點E,交BC于點D, CI=3,則BC的長為（）A. 6 B . 6<3C . 9 D . 3<3A【答案】C.【解析】試題分析；是9 的垂直平分線，3&3a二/。.七二2爐3。1J組）為/的角平分線，1/0乳"，0WL以 ：.DE=CD=3, 二夕=30" , ：.SD2DE=6t 故選C.考點：1.含30度角的直角三角形；2.線段垂直平分線的

11、性質(zhì).AC=2 點 D 在 BC 上，/ ADC=2/ B, AD=<5 ,貝 U BC3. （2015 遼寧大連）如圖，在 ABC中，/ C=90° ,的長為（ABA. 3 3-1 B. ： 3+1 C. . 5-1 D. .5+1【答案】D【解析】試題分析：在 ADC中，/ C=90° , AC=2 所以 CD=vAD2 AC2 =%；Q52 22 =1 ,因為/ ADC=2/ B, / ADCh B+Z BAD 所以/ B=Z BAD 所以 BD=AD='5 ,所以 BC=',5 +1,故選 D.考點：解直角三角形.4. （2015資陽）如圖，透

12、明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10CR1在容器內(nèi)壁離容器底部 3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A. 13cmB. 2<6T cm C. 76Tcm D. 2*'34cm【答案】A【解析】試題分析：如圖：二高為 12cm,底面周長為10cm在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點 A處，. A' D=5cni BD=12 - 3+AE=12cni，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A',連接A&

13、#39; B,則A' B即為最短距離，A B= JA'D2+BD2 =552+122 =13(Cm.故選A.考點：平面展開-最短路徑問題.5. （2015眉山）如圖，在 RtABC中，/ B=90°, Z A=30°, DE垂直平分斜邊 AC交AB于D, E是垂足，連接CD若BD=l ,則AC的長是（）A. 273 B . 2 C . 4<3 D . 4【答案】A【解析】試題分析：在 RtABC中，.一/ B=90° , / A=30° ,/ ACB=60 , / DE垂直平分斜邊 AC AD=C（D /ACB/A=30 , ./D

14、CB60 - 30 =30 ,在 RtDBC中，/ B=90 , / DCB30 , BD=1, . CD=2BB=2, 由勾股定理得：BG，22 -12 =石,在 RtAABC, Z B=90° , ZA=30° , BC= J3 ,，AC=2BC=2石，故選 A.考點：1.含30度角的直角三角形；2.線段垂直平分線的性 質(zhì)；3.勾股定理.6. （2015樂山）如圖，已知 ABC的三個頂點均在格點上，則 cosA的值為（）C八、3。A.Bf C - 2f D - 2f【解析】試題分析：過B點作BD1AC,如圖，由勾股定理得,，故選D.:C8. （2015 內(nèi)江）在 ABC

15、43, / B=30° , AB=12,AC=6,則 BC=考點：1.銳角三角函數(shù)的定義；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理； 4.網(wǎng)格型.二、填空題7. （2015成都）如圖，在平行四邊形 ABC珅，A年 底,A34,將平行四邊形 ABC期AE翻折后，點B恰好與點C重合，則折痕 AE的長為B【解析】試題分析：點 B恰好與點C重合，且四邊形 ABC國平行四邊形，根據(jù)翻折的性質(zhì),則 AE!BC, BE=CE=2,在RtAABE,由勾股定理得 AE =，AB2 - BE2 =413 4=3.故答案為:3.考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理;3.平行四邊形的性質(zhì).【解析】試題分析

16、：是直角三角形，-Zab： TC：=而、6：二6七, 故答案為：6后.考點：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理.9 .如圖，在 RtABC中，/ABC=90 , AB=3, AC=5點E在BC上，將 ABCgAE折疊，使點 B落在 AC邊2【解析】試題分析：.在 RtABC中，/ABC=90 , AB=3 AC=5BC = AC2 -AB2 =4.由折疊的性質(zhì)得：BE=BE , AB=AB ,設 BE=x,貝U B' E=x, CE=4 x, B' C=AC- AB' =AC- AB=2在 RtAB? EC 中，B' E 2+B' C 2=eC,即

17、 x2+22= (4x) 2,解得：x=-.2BE的長為3 .2考點：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應用.10 . （2015 黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）BD為等月ABCMAC上的高，BD=1,tan/AB摩J3,則CD的長為3【解析】, BD=1, tan / ABaT3 ,，AD=T3 ,試題分析：分三種情況：如圖1, / A為鈍角，AB=AC在FiAABD,AB=2,AG2,CD：2 、,3 ,如圖2,/A 為銳角，AB=AC 在 R4ABD43, BD=1 ,tan / ABD： J3 ,，AD= J3 ,AB=2, . AC=2, . CD=2 J3 ,如圖

18、.,.33, BA=BCBDLAC AD=CD 在 RAABD43, . BD=1, tan Z AB&V3，1- AD=,3CD:- ,333.勾股定理.考點：1.解直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì);綜上所述；CD的長為：2 + 73或2-J3或立，故答案為:3B圖311.如圖，在 RtABC中，Z B=90° , AB=3 BC=4,將 ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B'重合,AE為折痕，則EB'=【答案】1.5.試題分析；首先根據(jù)折羲可得BE=E.皿'然后設BE=E =K.,則EC=4-幣在RtZkABC中,由勾 股定理求得靛的值，再在

19、RtAB' EC中，由勾股定理可得方程4+2 J C4-x） 再解方程即可算出答案.試題解析：根據(jù)折就可得BE二EE，ABy =AB=3,設 BE=EB' r,則 EC=4r,'ZB=90c j AE=3j EC=4,二在RtAABC中,由勾股定理得，35,丁C5-3=2 ,在RtZkB'此中，由勾股定理得，+2：二C4-x）解得XL 5,故答案為；1*5.考點：翻折變換（折疊問題）.12 .如圖，直線 m/ n, RtABC的頂點 A在直線 n 上，/ C=90 ,若/ 1=25o, /2=70o.則/ B=【答案】45.【解析】試題分析：-.1 m/ n,

20、Z 2=70o, . . / BAn=70 . / 1=25o, . BAC=45 ./ C=90 ,/ B=45° .考點：1.平行線的性質(zhì)；2.直角三角形兩銳角的關(guān)系.13 . （2015 湖北黃岡，14題，3分）在 ABC中，AB=13cg AG=20cm, BC邊上的高為12cm 則 ABC的2面積為 cm .【答案】126或66.【解析】試題分析：當/ B為銳角時（如圖 1）,在 RtAABD, BD= JAB2 AD2 =，132 122 =5cm 在 RtAADO, cd= Jac2 ad2 = J202 122 =i6cm . . bg=2i, . &ab（=

21、-bc- ad：1 *21x12=126cm2；22當/B 為鈍角時（如圖 2）,在 RtABD中，BD= JAB2 AD2 = Jl32 122 =5cm,在 RtADC中，CD： Jac2二AD2 = . 202-122 =16cmBC=CD- BD=16-5=1lcmSaabu-BC A®1 x 11X12=66 cm2,22故答案為：126或66.考點：1.勾股定理；2.分類討論.三、解答題14.如圖，將 ABC放在每個小正方形的邊長為 1的網(wǎng)格中，點 A、曰C均落在格點上.(1)計算AB2 +BC2的值等于 ；(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊

22、的矩形，使矩形的面積等于 AB2+BC2,并簡要說明畫圖方法(不要求證明)【答案】(1) 11; (2)作圖如下，分別以 AC BG AB為一邊作正方形 ACED正方形BCNM正方形ABHF延長DE交MNT點Q連接QC平移QC至AG BP位置，直線 GP分別交AF, BH于點T, S,則四邊形 ABST即為所求.2試題分析：(1)直接利用勾股定理計算：AC2+BC2=(T2) +32 =11.(2)首先分別以 AC BG AB為一邊作正方形 ACED正方形BCNM正方形ABHF進而得出答案.考點：1.作圖(應用與設計作圖)；2.網(wǎng)格問題；3.勾股定理.15. (1)問題發(fā)現(xiàn)填空：/ AEB的度

23、數(shù)為 (3)解決問題如圖3,在正方形 ABCD , CD=J2.若點P滿足PD=1,且/ BPD=900,請直接寫出點 A到BP的距離.如圖1, 4ACB和4DCE均為等邊三角形，點 A D、E在同一直線上，連接BE.線段AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系是(2)拓展探究如圖2, 4ACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ ACBW DCE=90 0, .點A、D、E在同一直線上， CM為 DCE中DE邊上的高，連接 BE.請判斷/ AEB的度數(shù)及線段 CM AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】(1)60;AD=BE ( 2) /AEB= 90° AE=2CM+BE理由見解析;4 ILL

24、.上*. 4 事 |B «# V V I-9V VV IMdl.J:iGLN，"：；尸【解析】. 3 -1.3 1.22【解析】試題分析：(1):ZiACB和ADC無均為等邊三角形,ZACB=ZDCE= 603 /. AC=BC, CD=CE, ZACB=ZDCB=ZDCE ZDC'B,即/ACD=/BCE- /.AACDABCE (SAS).，AD = BE, ZBEOZADC-1205./. ZAEB=ZBEC- ZCE0=120 - 60=60°.:ACDZkBCE,，AD=BE.(2)同(1)可證 AC國ABCIE再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論/ AEB=90° AE=2CM+BE.(3)PD =1, /BPD=9C°,二.BP是以點D為圓心、以1為半徑的OD的切線，點P為切點.第一種情況：如圖，過點 A作AP的垂線，交BP于點P，可證4APDAAP/B, PD=