機(jī)械振動基礎(chǔ)要點(diǎn)

1、第4章機(jī)械振動基礎(chǔ)4-1 圖示兩個(gè)彈簧的剛性系數(shù)分別為ki = 5 kN/m , k2 = 3 kN/m。物塊重量m = 4 kg。求物體自由振動的周期。解：根據(jù)單自由度系統(tǒng)自由振動的固有頻率公式“ 22兀解出周期T' n圖（a）為兩彈簧串聯(lián)，其等效剛度keqkk2k1k2所以nk1k2'm(k1 k2)T ;在 2 畤1k2)''n代入數(shù)據(jù)得:kik2T =24(5000 3000)5000 3000圖（b）為兩彈簧串聯(lián)（情況同a）所以 T = 0.290 s圖（c）為兩彈簧并聯(lián)。等效剛度keq = ki + k2ki k2所以n =12T = =2 九nki

2、k20 0.290 s46A,剛夾住時(shí)，吊索處于平v = 0。代入數(shù)據(jù)得T = 0.140 sc)。圖（d）為兩彈簧并聯(lián)（情況實(shí)質(zhì)上同（所以 T = 0.140 s4-3如圖所示，質(zhì)量 m = 200 kg的重物在吊索上以等速度 v = 5 m/s下降。當(dāng)下降時(shí)，由于 吊索嵌入滑輪的夾子內(nèi)，吊索的上端突然被夾住，吊索的剛度系數(shù)k = 400 kN/m o如不計(jì)吊索的重量，求此后重物振動時(shí)吊索中的最大張力。解：依題意，吊索夾住后，重物作單自由度自由振動，設(shè)振幅為 衡位置，以平衡位置為零勢能點(diǎn)，當(dāng)重物達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)其速度根據(jù)機(jī)械能守恒，系統(tǒng)在平衡位置的動能與最低點(diǎn)的勢能相等。即苴中T =mv2 v

3、kA2八 丁1 max 2 v 5 v max ?a mA v k吊索中的最大張力 Fmax = mg kA = mg v mk代入數(shù)據(jù)得Fmax =200 9.8 5 , 200 400 103 =46.7 kN4-5質(zhì)量為m的小車在斜面上自高度 h處滑下，而與緩沖器相碰，如圖所示。緩沖彈簧的 剛性系數(shù)為k,斜面傾角為9。求小車碰著緩沖器后自由振動的周期與振幅。解：取小車為研究對象，假設(shè)斜面光滑，選靜平衡位置為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸的正向。當(dāng)彈簧壓縮量為 x時(shí)，小車受恢復(fù)力 F =k（x + 60）作用，而60為彈簧的靜壓縮量，顯然= mgne （受力分析如圖所示）k小車自由振動微分方程 m

4、x=mgsin? -k（x、30）rk -即x 一 x = 0m2 k令 n = 一二26（1）設(shè)微分方程（1）的解為x0 = -60 ,x = Acos（Jt + 邛） :mx0 2ghmAB借助與輪接觸點(diǎn)的摩f。如將桿的質(zhì)心C推（1）（2）（3）因此，證明了桿 AB質(zhì)心C作諧振動，其周期為解得振幅A二度耳h=J吸嗎逆 2h） k . k k4-7質(zhì)量為 m的桿水平地放在兩個(gè)半徑相同的輪上，兩輪的中心在同一水平線上，距離為 2a。兩輪以等值而反向的角速度各繞其中心軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。桿 擦力的牽帶而運(yùn)動，此摩擦力與桿對滑輪的壓力成正比，摩擦因數(shù)為 離其對稱位置點(diǎn) O,然后釋放。（1）證明質(zhì)心C

5、的運(yùn)動為諧振動，并求周期T; （2）若2 = 250 mm, T = 2 s時(shí)，求摩擦因數(shù) f。解：取AB桿為研究對象，其受力如圖所示。以AB桿質(zhì)心在靜平衡位置（即對稱位置O）為坐標(biāo)軸的原點(diǎn) O。1）桿作水平方向（x軸方向）平動，所以 yc = 0戶=0。根據(jù)平面運(yùn)動微分方程有F1 F2 = mxF1 F2 - mg = 0F2（a -x） -F1（a x） =0式中 F1 = fF1, F2 = fF2a -x由式（2）、（3）解得F1 =mg及2a把Fi ,及F2,代入式（1）得 mx=-即 x fgx = 0 a令 n2 =fg a則上式可寫為xj：）n2x=02Ja4 冗 a得 f =

6、 -2fgT g把有關(guān)數(shù)據(jù)代入算得滑動摩擦系數(shù)4 冗20.2522 9.8= 0.254-9均質(zhì)桿AB = l,質(zhì)量m,其兩端銷子可分別在水平槽、鉛垂槽中滑動，0 =。為靜平衡位置。不計(jì)銷子質(zhì)量和摩擦，如水平槽內(nèi)兩彈簧剛度皆為k,求系統(tǒng)微幅振動的固有頻率。又問，彈簧剛度為多大，振動才可能發(fā)生。解：x=lsin8vC =3C 21l . 2 1 12 2 m 2 . 2T m（）mll12 22 126l2V = cos8 mg+2-（l sing）2 （以y = 0位置的重力勢能為 0）（6k 一馮二 一 0m 2l22= ml2；32= 2kl sin c cos - mgsin2 d /

7、FT、 N 八 代入()二0dt r ml即 一l2u (2kl2cos? - mg)sin 1-032二(6k cos1 - 3g) sin - 0m 2l微振動時(shí)，日«1,cos fc1,sin6也日，則6k 3gn=；m-/振動能發(fā)生的條件為如_鮑0 即k>3m 2l4l4-11如圖所示，已知均質(zhì)桿AB長2l,質(zhì)量為2m,在中點(diǎn)。與桿CD相較接，桿CD的角 速度為co ,質(zhì)量不計(jì)，CD = 2h,盤簧剛性系數(shù)為k,當(dāng)邛0 =0時(shí)，盤簧無變形。求：（1）當(dāng)切=0時(shí)桿AB微振動的固有頻率；（2）當(dāng)切=常數(shù)時(shí)，切與Q的關(guān)系；（3）當(dāng)0 = 常數(shù)時(shí)，C、D處的約束反力；（4）在切

8、=常數(shù)時(shí)，桿 AB微振動的頻率。解：1）以AB桿為研究對象。如 =0 ,則AB桿繞。軸轉(zhuǎn)動微分方程為 JO0. = k中C2, 22m 2 2mlq“用H-門由于 JO （2l）=123將上述方程改寫為k- =02ml2故3=/m2. 2ml2）以AB桿為研究對象，如 6 =常數(shù)時(shí)，由于 AB桿的慣性力矩為I m 2 個(gè) m ml o 小Mi =2 dr r sin 0 rcos 0sin2 00 l3由動靜法知AB桿的平衡條件為MI=k%故.=23k 0'ml sin 2 03)以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，如圖( a),由動靜法知系統(tǒng)的平衡方程為“ Fx =0,Fcx -Frd =0&qu

9、ot;Fy =QFcy -2mg =0"Mo =0M Frd FCxh=0.一M , k n解得FrdL = -0 （與原設(shè)反向）2h 2hkFcx=0（與原設(shè)反向）2hFey =2mg4）設(shè)桿AB偏離動平衡位置微小角度 中，如圖（b）所示。桿AB在圖示位置時(shí)的運(yùn)動微分 方程為JoW = Mi k即+50）（2）其中Mi可參照第2）部分推導(dǎo)方法得到M I = msin 2( 0 ' ) = m(sin 2 0 cos2'-cos2 0 sin 2 )33因中角微小，sin2中女2中，cos中x1于是得l2.2M I =(sin 2 0 2- cos2 03把上式代入式

10、(2)中，冽曠= mJL(sin 290 + 2f cos290)k"+中0)33再把式(1)代入，2m- =m-(sin2 0 2 cos2 0) 23k-0- - k1 -k 033ml2sin2 02mL - k -k1- (1 -2 :0cot2 %) 3，:.3k(1-2 %cot2 %).2ml23k,2ml2(1 -2%cot2 0)4-13大皮帶輪半徑為R,質(zhì)量為m,回轉(zhuǎn)半徑為 P,由剛性系數(shù)為k的彈性繩與半徑為 的小輪連在一起。設(shè)小輪受外力作用作受迫擺動，擺動的規(guī)律為 0 =00sinwt,且無論小輪 如何運(yùn)動都不會使彈性繩松馳或打滑。求大輪穩(wěn)態(tài)振動的振幅。解：如圖

11、（a）,設(shè)彈簧原來處于靜平衡，當(dāng)小輪轉(zhuǎn) 日角，大輪轉(zhuǎn)中角時(shí)，上邊彈性繩縮短R中-日，F(xiàn)1=k（R中一r8）（圖 b）下邊彈性繩伸長R中-日，F(xiàn)2 =k（Rcp -r）（圖 b）微分方程 m：2qv = -2R（R1-ru）k即 m：2 ； 2kR2 ： =2Rrki0sin t2：,：. n.2kRm：22Rr k0m：2sin t2kR2R 2kn = ： m：2 = ： m2 Rrk %h )2m P(1)穩(wěn)態(tài)振幅:2Rrki0m：2_22kR2 rm：2 Rm2kR2mP22CO二入即 =R = r "0 1 m' '2_' '21-(一) Ri

12、-(-)''' n'''' n2kR2m：22 CO(2)4-15如圖半徑為r的半圓柱體，在水平面上只滾動不滑動，已知該柱體對通過質(zhì)心行于半圓柱母線的軸的回轉(zhuǎn)半徑為P,又OC = a。求半圓柱體作微小擺動的頻率。C且平解：設(shè)半圓柱微擺動規(guī)律為 中=sin(ont十P),其最大角速度為0max = n ,因半圓柱純滾，點(diǎn)A為半圓柱的速度瞬心(圖T -Jj ：21 max 4 2 A max2a),故半圓柱最大動能為=；(m：2 m AC2)2 n2；mP2 +m(r2 +a2 2racos中)2(on2因在 =0max時(shí)，弦呈水平，平=0,

13、故12222Tmax = -m ：, (r - a) n2以半圓柱靜平衡位置為其零勢能位置，則半圓柱的最大勢能為、，-、c.2 Vmax =mga(1 -cosC) =2mgasin 一2因很微小,sin 22、，1=2Vmax =：mga 2由機(jī)械能守恒T max = V maxag.：2 (r -a)2故擺動頻率ag2九 ；2 (r - a)2審q -r河4-17用下法測定流體的阻尼系數(shù)：在彈簧上懸一薄板A,如圖所示。測定它在空氣中的自由振動周期Ti,然后將薄板放在欲測阻尼系數(shù)的液體中，令其振動，測定周期丁2。液體與薄板間的阻力等于 2scv,其中2s是薄板的表面積，v為其速度，而c為阻尼

14、系數(shù)。如薄板 質(zhì)量為m,試根據(jù)實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)Ti與丁2,求阻尼數(shù)co薄板與空氣間的阻力略去不計(jì)。解：以薄板為研究對象，取薄板A上一點(diǎn)的靜平衡位置為坐標(biāo)軸Ox的原點(diǎn)，如圖（a）所示。由此，列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程2sc k即 x x x = 0 m m入 sc令 n =一m sc則阻尼比, = n = m = sc T1 n 幺 2 Ttm了mx = -kx _ 2scx由公式Td = Tn 知,當(dāng)Tn = Tl,2Td = T2 時(shí) 1 - 1 =T2,. sc _將，=Ti代入上式解得2 Ttm2 冗 m -22c =T2 -TisTiT24-19車廂載有貨物，其車架彈簧的靜壓縮為6st =50

15、mm,每根鐵軌的長度 l = 12m,每當(dāng)車將發(fā)生激烈顛簸，這一輪行駛到軌道接頭處都受到?jīng)_擊，因而當(dāng)車廂速度達(dá)到某一數(shù)值時(shí),速度稱為臨界速度。求此臨界速度。解：車廂作受迫振動，干擾力是軌道接頭對車輪的沖擊力，而 車廂固有頻率-nv = 26.7 m/s沖擊力圓頻率 =2兀一 l當(dāng)切=60時(shí)發(fā)生共振，車廂激烈顛簸，此時(shí)速度為臨界速度 將l = 12m,為=0,05 m代入，得車廂臨界速度 4-21電動機(jī)質(zhì)量 m1 = 250kg ,由四個(gè)剛性系數(shù) k = 30kN/m的彈簧支持，如圖所示。在電動 機(jī)轉(zhuǎn)子上裝有一質(zhì)量 m2 = 0.2kg的物體，距轉(zhuǎn)軸 e = 10mm 。已知電動機(jī)被限制在鉛直方

16、向 運(yùn)動，求：（1）發(fā)生共振時(shí)的轉(zhuǎn)速；（2）當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000 r/min時(shí)，穩(wěn)定振動的振幅。解：用動靜法解，以電動機(jī)為研究對象，取靜平衡位置為x軸原點(diǎn)，受力與運(yùn)動分析如圖,則電機(jī)在x軸方向的平衡方程為2 mix + mig 4k（x+d0） m20 esin8t=0（1）系統(tǒng)靜平衡時(shí)4k60=m1g式（1）改寫成x+4kx =m20 2esin 6t故系統(tǒng)的固有頻率（1）系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速由于故= 21.9 rad/s轉(zhuǎn)速 n =30 =209 r/min花(2)強(qiáng)迫振動的振幅根據(jù)強(qiáng)迫振動振幅公式有m22em1220。0將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式得4-23圖示彈簧的剛性系數(shù)0.2 10b=321.92k =

17、 20N/m ,21000 /、I1 30)= 0.0084mm21000 冗、.其上懸一質(zhì)量 m = 0.1kg的磁棒。磁棒下端穿過一線圈，線圈內(nèi)通過i = 20sin8 7tt的電流。式中i以A (安培)計(jì)。電流自時(shí)間 t = 0開始流通， 并吸引磁棒；在此以前，磁棒在彈簧上保持不動。已知磁棒和線圈間的吸引力為F = 160 Tti,式中F以10-6N計(jì)。求磁棒的受迫振動。解：以磁棒為研究對象，如圖(a),磁棒懸掛的靜平衡位置為原點(diǎn)動微分方程mx - -kx - F把有關(guān)數(shù)據(jù)代入,設(shè) x軸向下，得磁棒運(yùn) - 6 一mx - -kx 160 冗 10 20sin8冗 t整理得 xk 3200

18、 7t 10設(shè)其解其中x 二 mx = bsin8h22'n -'£sin8 冗 t由于3200 7th2 0n -mTtt10上-632007t 1062=0.032 冗 m/s0.120 =200 rad/s0.10.032 幾2200 (8 九)2=0.000233m = 0.233mm故磁棒受迫振動規(guī)律x = 0.233sin8 ：rt mm4-27圖示加速度計(jì)安裝在蒸汽機(jī)的十字頭上，十字頭沿鉛直方向作諧振動。記錄在卷筒上的振幅等于7mm。設(shè)彈簧剛性系數(shù) k = 1.2kN/m ,其上懸掛的重物質(zhì)量 m = 0.1 kg。求十字 頭的加速度。(提示：加速度計(jì)的

19、固有頻率 6 n通常都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于被測物體振動頻率© ,即0«1)-n解：十字頭的在鉛垂方向作簡諧運(yùn)動，設(shè)其運(yùn)動方程為(1)x 二 asint以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛垂向下，則重物的運(yùn)動微分方程為mx - -k(x - x1)kasin tk即x -x m其穩(wěn)定的受迫振動方程為2一0sin t其中因?yàn)榫硗采嫌涗浀恼穹?，是重物和卷筒的相對運(yùn)動振幅，而卷筒的運(yùn)動就是十字頭的運(yùn)動。 所以Xr = X - X1sin tsin t欲使測得振幅精確，須使則有Xr =2 'nsin t由題意知Xr的振幅=7 mm即 a，26 .2由式（1）對t二次求導(dǎo)得2X1 = -a si

20、 n tX1 maX即令一 1-i-jk nr k - 1.2 IO , 2=7- =7 = 84000 mm/sm 0.1一 ,2=84 m/sHlIJ '* *4-29 已知圖示結(jié)構(gòu)，其杠桿可繞點(diǎn) O轉(zhuǎn)動，重量忽略不計(jì)。質(zhì)點(diǎn) A質(zhì)量為m,在杠桿的 點(diǎn)C加一彈簧CD垂直于OC,剛性系數(shù)為ko在點(diǎn)D加一鉛直方向干擾位移 y = bsinco t。求結(jié)構(gòu)的受迫振動規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)自靜平衡位置轉(zhuǎn)過微小角度邛，如圖（a）。設(shè)y坐標(biāo)以向下為正，此時(shí)彈性力F =k（dq -y）根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程有ml2 - -k(d : - y)d mgl :*電一9>=緣由磯1ml2 l J m

21、l2_ kd2 g _ kd2 - mgln ml2 l ml2設(shè)結(jié)構(gòu)的受迫振動規(guī)律為=b1 sin t事工hbdk由于b二22=222- -n ml (.、-.) bdk .故=222 sin tml ( n - ')2 kd2 g式中 22 -ml l4-31機(jī)械系統(tǒng)與無阻尼動力減振器連接，其簡化模型如圖所示。已知主體質(zhì)量為mn,主彈簧剛度為 口；減振器的質(zhì)量為 ma,彈簧剛性系數(shù)為ka, R m_ 1 ,3 = 1。試求系統(tǒng)的 mn 5' kn 5固有頻率和振型。解：選取兩物塊的平衡位置 Oi、。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩物塊的位移分別為 xi、X2,受力如圖（a）,分別建立兩物塊

22、的運(yùn)動微分方程。mnXimaX2即mnXimaX2-kn X1 ka (x2 - X1 )-ka(X2 - X1)(kn ka)Xi -kaX2 =0-kaXi kaX2 -0人kka令 a =-一a,bmn則方程（1）改寫成kaka, c =mnmax1 ax1 -bx2x2 一cx cx2就用設(shè)方程（2）的解為x1 = Asin( t二0)x2 = B sin( t ：)(3)其中A、B是振幅,為圓頻率，P為初相位，將方程（3）代入方程（2）中，得2_(4)(a - )A -bB =0.，2、- 一-cA (c - ' )B =0若A、B有非零解，則得頻率方程為切4 一（a+c）c

23、o2+c（a - b） = 0加日2a + c 工 /a - c ) 1.解得812= +bc(5)2 V< 2 J將a = kn *ka ,b =&-,c =旦和已知條件 N =ma=1,'=1代入式(5),得mnmnmamn 5 kn 5, ；2 =0.642%,=1.558%mama6kaka2- -0.642 故B1 =" = .aS_L =_5mma =2.79A1bk5ma2員=2 =a = -1.79Ab或 =工=0.358，='=-0.556 12振型如圖（b）、（c）所示。4-33 圖示一均質(zhì)圓軸，左端固定，在中部和另一端各裝有一均質(zhì)圓

24、盤。每一圓盤對軸的轉(zhuǎn) 動慣量均為J,兩段軸的扭轉(zhuǎn)剛性系數(shù)均為 kn,不計(jì)軸的質(zhì)量。試求系統(tǒng)自由扭轉(zhuǎn)振動的頻 率。解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，取兩盤各自繞平衡位置的轉(zhuǎn)角為匕、52為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的動能為T J 12 1J ：2221 o 1oo1 o系統(tǒng)的勢能 Vkn I2- kn (二2- 1)2=kn An ：1 2 T kn ：2222拉氏函數(shù)L = T -V = -J(<P-12 +S2) _ kn啊22代入拉氏方程()dtJJ()一dt ：212kn T2 ,kn：22.：L 八二 0.:L 八二 0得到系統(tǒng)振動微分方程組J 1 2kn 13 2 =0設(shè)方程若振幅1 = Asin(t1)(1)的解為1')2 = Bsin(t)代入式(1)并整理得(-J -2 2kn)A-knB =02_-knA (-J kn)B -0A、B有非零解，得頻率方程J2 4 -3Jkn 2 kn2 =0(3)解得. 1122 二3Jkn - .9J2kn2 -4J2k22J2= 0.618生，。2=1.6181“,J. J3 二.52kn J4-35剛桿AB長1,質(zhì)量不計(jì)，其一端 B錢支，另一端固連一質(zhì)量為 m的物體A,其下連接一剛性系數(shù)為k的彈簧，并掛有質(zhì)量也為 m的物體D。桿AB中點(diǎn)用剛性系數(shù)也為 k的彈簧 拉住，使桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)振動的固有頻率。解：以整個(gè)系統(tǒng)為研