大學(xué)文科數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)與微分

1、章 節(jié)第三章 變量變化速度與局部改變量的估值問題-導(dǎo)數(shù)與微分課 時(shí)6教學(xué)目的1.使學(xué)生準(zhǔn)確掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念.明確其物理、幾何意義， 2.熟悉導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算性質(zhì)和微分法則，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并熟練地進(jìn)行初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分運(yùn)算； 教 學(xué)重 點(diǎn)及突 出方 法1.教學(xué)重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其計(jì)算2.解決方法為在幾何意義的基礎(chǔ)上理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，熟記公式教 學(xué)難 點(diǎn)及突 破方 法1.教學(xué)難點(diǎn)是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.突破方法是讓學(xué)生首先記住什么是基本初等函數(shù)，然后將復(fù)合函數(shù)拆成基本初等函數(shù)相 關(guān)內(nèi) 容素 材教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)文藝復(fù)興的火炬驅(qū)散了歐洲中世紀(jì)的漫漫黑暗，

2、15世紀(jì)之后的歐洲，資本主義逐漸，出現(xiàn)的大量實(shí)際問題，給數(shù)學(xué)提出了前所未有的亟待解決的新課題，其中三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：（1）求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度（2）求曲線上一點(diǎn)的切線（3）求極大值和極小值1.1 抽象導(dǎo)數(shù)概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型原型I 求變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)開始做變速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過秒到達(dá)點(diǎn)，求該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度. 以為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向建立數(shù)軸-軸，用表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路程，顯然路程是時(shí)間的函數(shù)，記作，現(xiàn)求時(shí)刻的瞬時(shí)速度.如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么按照公式 ，便可以求出，但是現(xiàn)在要求質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度，則在整個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)不能應(yīng)用上邊的公式求時(shí)刻的速度，下面我們分三步

3、來解決這一問題.(1)給一個(gè)增量，時(shí)間從變到，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，路程有了增量(2)當(dāng)很小時(shí)，速度來不及有較大的變化，可以把質(zhì)點(diǎn)在間隔內(nèi)的運(yùn)動(dòng)看似勻速運(yùn)動(dòng)，這實(shí)質(zhì)上是把變速運(yùn)動(dòng)近似的轉(zhuǎn)化為勻速運(yùn)動(dòng)，下面求內(nèi)的平均速度(3)當(dāng)越來越小，平均速度就越來越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)原型II 求曲線切線的斜率在初等數(shù)學(xué)中，我們知道曲線上的兩點(diǎn)和的連線為曲線的割線，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限的趨近于時(shí)，其極限位置就是曲線在點(diǎn)處的切線，如何求曲線在處的切線的斜率呢？我們分三步來解決：(1)求增量 給一個(gè)增量，自變量由變到，曲線上縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量為=.(2)求增量比 曲線上的點(diǎn)從變到

4、時(shí)，當(dāng)很小時(shí)，此時(shí)曲線上的縱坐標(biāo)來不及有很大的變化，這時(shí)候割線的斜率近似的等于切線的斜率，此時(shí)割線的斜率為(3)取極限 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿著曲線無限的接近，割線的斜率的極限就是切線的斜率，即,其中，是切線與軸正向之間的夾角.1.2 導(dǎo)數(shù)概念定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量有一個(gè)增量時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值的增量為=，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為， 等.若上述極限不存在，則稱在點(diǎn)不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)=是函數(shù)在點(diǎn)處的變化速度，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化

5、率.導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義就是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線的切線斜率例1 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解：給一個(gè)增量，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)。此時(shí)對(duì)每一個(gè)，都有的一個(gè)導(dǎo)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記作， 等. 即     這就是說：函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的函數(shù)值教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)例2 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)解：例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解： 綜上面的例題，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例4 求常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 ： (1)求增量：因?yàn)?，即不?取什么值，的值總等于 ，所以；(2)算比值：；(3)取極限：.即常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.例5 求函數(shù)的導(dǎo)

6、數(shù).解 （1）求增量：，由和差化積公式有：教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)（2）算比值：.（3）取極限： 即，用類似的方法，可求得我們同樣可以利用導(dǎo)數(shù)定義去證明對(duì)數(shù)函數(shù)，特別地1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系定理2 若函數(shù)在處可導(dǎo)，則函數(shù)在處連續(xù).1.6 高階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的變化率是用它的導(dǎo)數(shù)來表示的，而導(dǎo)數(shù)也是的函數(shù)，那么函數(shù)的變化率也應(yīng)該用它的導(dǎo)數(shù)來表示，我們把它稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義就是運(yùn)動(dòng)物體的加速度設(shè)函數(shù)存在階導(dǎo)數(shù)，并且階導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，那么的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)記為 , ,教學(xué)過程第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率-導(dǎo)數(shù)例 設(shè)，設(shè)，課堂練習(xí)：

7、3.（1）10.(3)總結(jié)：1、學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義2、掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法作業(yè)： 3.（2）教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式2.1 求導(dǎo)法則1.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(1)設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),則函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo),且有以下法則:例1 已知解：(2) 設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),則函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo),且有以下法則:證明：令 ,(1)求函數(shù)的增量:給 以增量 ,相應(yīng)地函數(shù) ,各有增量與,從而有增量(2)算比值: ,(3)取極限:由于與均在x處可導(dǎo),所以 .又,函數(shù)在處可導(dǎo),就必在處連續(xù),因此,從而根據(jù)和與乘積的極限運(yùn)算法則有教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式這就是說，也在x

8、處可導(dǎo)且有.特別的，當(dāng)例2 已知解：(3) 設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)處可導(dǎo),則函數(shù)也在點(diǎn)處可導(dǎo),且有以下法則: 特別的，當(dāng)例3 已知，求解：即 同理可得例4 已知,求教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式解：=同理可得 2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)是由函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，并且設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，則有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：也可表示為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)于中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)于自變量的導(dǎo)數(shù).例5 求的導(dǎo)數(shù)解： 函數(shù)可以看作由函數(shù)與復(fù)合而成因此例6 ，求解：函數(shù)是由復(fù)合而成，則 例7 ，求教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是由復(fù)合而成3.用復(fù)合函數(shù)求

9、導(dǎo)法則求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果方程確定了是的函數(shù)，那么這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù).例8 方程確定了是的函數(shù)，求.解：方程左右對(duì)求導(dǎo)， 例9 求圓上一點(diǎn)處的切線方程.解：將方程左右關(guān)于求導(dǎo)，則，從而切線方程為2.2 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式1.任意指數(shù)的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：左右取以為底的對(duì)數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式2.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：左右取以為底的對(duì)數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，特別的當(dāng)時(shí)，3.反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：設(shè)，則存在反函數(shù)，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，例10 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1），求解：，（2），求,教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式例11 質(zhì)量為的放射性物質(zhì)，經(jīng)過時(shí)間后，所剩的質(zhì)量與

10、時(shí)間的關(guān)系為（為正數(shù)，是該物質(zhì)的衰減系數(shù)），求該物質(zhì)的衰減率.解：例12 求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）解：（1），顯然（2），（3），所以課堂練習(xí)： 4.（1、2、5、6、9、10、3）5.(1、3、5、7、9)8.（1、3）小結(jié)：1、掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2、掌握復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法及高階導(dǎo)數(shù)作業(yè)： 4（7、16） 5.（2、4、6、8、10） 8.（2、4）教學(xué)過程第三節(jié) 局部該變量的估值問題-微分及其運(yùn)算3.1 微分1.微分的概念定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有增量，相應(yīng)地函數(shù)值有改變量可以表示為，其中與無關(guān)，為的線性主部，為比高階的無窮小量，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱其線性主部 為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為或，即且有，這樣一般來說一元函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微等價(jià)2.微分的幾何意義MT P N教學(xué)過程第二節(jié) 求導(dǎo)數(shù)的方法-法則和公式見上圖，當(dāng)是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí),就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量.當(dāng)很小時(shí),在點(diǎn)的附近,切線段可近似代替曲線段.3.2 微分公式和法則1.導(dǎo)數(shù)公式和微分公式（1） （2）