浙江省紹興市高三數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)教案：不等式恒成立問題分類討論在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用新人教版

1、分類討論在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1知識目標(biāo)；通過利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間等問題對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論的能力。3情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識。教學(xué)重點、難點重點：分類討論思想難點：如何分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)過程：一、引入2010 年紹興市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測第22（ 3）題得分率不高，主要原因有兩個，一是看不懂題意，二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題解決問題

2、的能力。引起分類討論的主要原因歸納一下主要由以下五種：1、由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；2、由數(shù)學(xué)運算引起的分類討論；3、由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；4、由圖形的不確定性引起的分類討論；5、由參數(shù)的變化引起的分類討論。含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要用不同的求解或證明方法。而對參數(shù)的分類按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論是我們的難點。二、例題例：若函數(shù) f ( x)x2ln x ，求函數(shù)f (x) 的極值點。x解：因為 f ( x)x2ln x(x0) ，所以 f ( x)121x2x 2( x 0)xx 2xx2令 f (x) 0 得 x2 （舍）或

3、x 1列表如下：x（0， 1）1（ 1，+）f ( x)0+f ( x)極小值由上表知： x1是函數(shù) f ( x) 的極小值點。變式 1：若函數(shù) f ( x)xaln x ，試討論函數(shù)f ( x) 的極值存在情況。x解： f ( x) 1a1x 2x a ( x0)x 2xx 2法一：令 g (x)x2xa ，因為 g (x) 對稱軸 x10 ，所以只需考慮g (0) 的正負(fù)，2當(dāng) g( 0)0 即 a0時，在（ 0， +）上 g( x)0 ，即 f ( x) 在（ 0， +）單調(diào)遞增，無極值當(dāng) g( 0)0 即 a0 時， g (x)0 在（ 0， +）是有解，所以函數(shù)f (x) 存在極值。

4、綜上所述：當(dāng) a0 時，函數(shù)f ( x) 存在極值；當(dāng)a 0 時，函數(shù) f ( x) 不存在極值。法二：令 f ( x)0 即 x2xa 0 ，1 4a當(dāng)0 即 a1時， f (x)0 ， f ( x) 在（ 0， +）單調(diào)遞增，無極值4當(dāng)0 即 a1時，解 x2x a0 得： x11 1 4a0 或 x21 1 4a422若 a0 則 x2 0列表如下：x（ 0， x2 ）x2（ x2 ， +）f ( x)0+f ( x)極小值由上表知： xx2 時函數(shù) f ( x) 取到極小值，即a0函數(shù) f (x) 存在極小值。若1a 0 ，則 x1x20 ，所以 f (x) 在（ 0， +）單調(diào)遞減，

5、函數(shù)不存在極值。4綜上所述，當(dāng) a0 時，函數(shù) f ( x) 存在極值，當(dāng)a0 時。函數(shù) f ( x) 不存在極值變式 2：若函數(shù)f ( x)ax2ln x ，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x解： f ( x) a21 ax 2x 2 (x0)x 2xx2設(shè) h( x)ax 2x2,18a10 時，因為x10,h(0)20，°當(dāng) a2a若0即 a1) 上 h( x)0 即f( x)0，所以 f ( x) 在（ 0， +）單調(diào)遞減。時，在 (0,81a0 時， 令h( x) 0得：x1118a118a若0即2a或 x22a8列表如下：x（ 0， x1）x1（x1，x2）x2（x2 ，+）f ( x

6、)0+0f ( x)極小值極大值由上表知：f (x) 的減區(qū)間為 (0, 118a ) ， (1 18a ,)22增區(qū)間為： (118a , 118a ) 。2220 時，x(0,2), h( x)0即f(x)0，所以f (x)02°當(dāng) a在（ ， ）單調(diào)遞減x(2,), h( x)0 即 f (x)0 ，所以 f ( x) 在（ 2，+）單調(diào)遞增30 時，因為 x10, h(0)2 0，4所以h( x) 0有一正一負(fù)兩根，解得：°當(dāng) a2a118a0或 x2118ax1220列表如下：x（ 0， x2 ）x2（ x2 ， +）f ( x)0+f ( x)極小值由上表知：f

7、 (x) 的減區(qū)間為 (0, 1 18a ) ，增區(qū)間為： (118a ,) 。22綜上所述： a0時， f ( x) 的減區(qū)間為 (0,118a ) ， ( 118a ,)22增區(qū)間為： (118a , 118a ) 。22a 0 時， f (x) 遞減區(qū)間為（ 0， 2），遞增區(qū)間為（ 2， +）a0 時， f (x) 的遞減區(qū)間為 (0, 118a ) ，增區(qū)間為： ( 1 1 8a , )22變式 3：若函數(shù)f ( x)ax11) ln x，求 f (x ) 在區(qū)間 2， 3上的最小值。(ax解： f ( x) a1a 1 ax 2(a 1)x 1(x0)x 2xx2設(shè) p(x)ax

8、2(a1) x1，解 p( x)0 得： x1或 x1 (a 0)a1°當(dāng) a0 時， x(0,1), p( x)0即 f(x)0 ，所以 f ( x) 在（ 0， 1）單調(diào)遞增x(1,), p( x)0 即 f(x)0 ，所以 f ( x) 在（ 1， +）單調(diào)遞減所以 f (x) 在2 ，3上單調(diào)遞減，所以f min ( x)f (3)1(a1) ln 3 。3a11320 時，若02即ax 2,3p( x) 0f ( x)0f (x)時，即，所以遞增，°當(dāng) aa12所以 f min (x)f (2)2a(a1) ln 22若 213 即 1a1時， x(2,1) ，p

9、(x)0即 f( x) 0 ，所以 f ( x) 遞a32a減； x( 1 ,3) ， p(x)0 即 f(x)0，所以 f ( x) 遞增，a所以 f min (x)f ( 1 )1a(a1) ln a1a13即 0a時， x 2,3 ，p( x)0 即 f( x)0 ，所以 f (x) 遞減，所以若3a1fmin ( x)f (3)3a(a1) ln 333a1(a1) ln 3(a13)3綜上所述： f min ( x)1a(a1) ln a( 1a1 )322a1(a 1) ln 2 (a1 )22三、小結(jié)：在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、 最值及單調(diào)區(qū)間等問題時， 若函數(shù)中含有參數(shù)， 我們需對參數(shù)進(jìn)行討論。1）若導(dǎo)函數(shù)的二次項系數(shù)為參數(shù)，需對二次項系數(shù)為正、負(fù)或零進(jìn)行分類討論；2）若需考慮判別式，需對>0、=0、<0 進(jìn)行分類討論；3）在求最值或單調(diào)區(qū)間時，由 f (x)=0解出的根，需與給定區(qū)間的兩個端點比較大小，進(jìn)行分類討論。分類討論的