72線性變換的運算ppt課件

1、第1頁共24頁第2頁共24頁設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們,A B事實上，事實上，()()( ()( ( )( ) ABA BA BB的的乘積乘積 為：為： ,V ABA BAB 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.AB( ( )( ( )()( )()( ), A BA BABAB()()( ()( )( ( )()( )kkkkk ABA BABA BAB第3頁共24頁（1）滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律： AB CA BC（2），E為單位變換為單位變換 EE AAA（3）交換律一般不成立，即一般地，交換律一般不成立，即一般地，. ABBA第4頁共24

2、頁例例1. 線性空間中，線性變換線性空間中，線性變換 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx 00 xJDfxJfxft dtfxf 而，而， .DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE 第5頁共24頁(),XAX A例例2. 設(shè)設(shè)A、B為兩個取定的矩陣，定義變換為兩個取定的矩陣，定義變換n nP 則皆為的線性變換，且對有則皆為的線性變換，且對有,A Bn nP ,n nXP ()()( ()()(),XXXBA XBAXB ABA BA()()( ()()().XXAXAX BAXB BAB AB(),XXB Bn nXP .ABBA第6頁共24頁則則 也是也是V的線

3、性變換的線性變換. AB設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們,A B ,V ABAB的的和和 為：為： AB事實上，事實上，()()()() ABAB( )( )( )( )()( )()( ), AABBABAB()()()()( )( )kkkkk ABABAB( )( )()( ).kk ABAB第7頁共24頁（3） 0為零變換為零變換.00, AAA（4）乘法對加法滿足左、右分配律：乘法對加法滿足左、右分配律： A BCABAC BC ABACA（1）滿足交換律：）滿足交換律： ABBA（2）滿足結(jié)合律：）滿足結(jié)合律： ABCAB+C第8頁共24頁

4、 ,V AA設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義變換為：的線性變換，定義變換為：A A則則 也為也為V的線性變換，稱之為的的線性變換，稱之為的負變換負變換. AA注：注：()0AA第9頁共24頁 ,kkV AA的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積 為：為：kA則則 也是也是V的線性變換的線性變換.kA設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義的線性變換，定義 k 與與A,kP A第10頁共24頁(1) ()()klk l AA(2) ()klklAAA(3)()kkk ABAB(4) 1 AA2基本性質(zhì)基本性質(zhì)注：注：線性空間線性空間V上的全體線性變換所成集合對于上的全體線性變換所成集合對于線性變換的加

5、法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性上的一個線性空間，記作空間，記作( ).L V第11頁共24頁EABBA則稱則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作為可逆變換，稱為的逆變換，記作AAB1. A設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，若有的線性變換，若有V的變換使的變換使AB(1) 可逆變換的逆變換也是可逆變換的逆變換也是V的線性變換的線性變換.A1 A第12頁共24頁 1111 AAAAAA 111AA AA 11 AA證：對證：對 ,VkP 111 AAAA 11111kkk AAAAAA A 1111kkk AAAAA是是V的線性變換的線性變換.1 A第13頁共2

6、4頁(2) 線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng)線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng).AA證：證：設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V上可逆線性變換上可逆線性變換.A任取任取 若若 則有則有( )( ), AA,V 111()( )( ( )( () AAAAAA1()( ). AA A為單射為單射.其次，對令則且其次，對令則且,V 1( ), A,V 11( )( )( ). AA AAA A為滿射為滿射.故為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng).A第14頁共24頁若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為VAAB的線性變換，且的線性變換，且.E ABBA故可逆，故可逆，.A1 BA線性變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性

7、變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng)A12(),(),()n AAA(3) 設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間V的一組基，為的一組基，為V的的A12,n 線性無關(guān)線性無關(guān).證：證： 設(shè)設(shè)1122()()()0.nnkkk AAA于是于是1 122()0nnkkk A因為可逆，由因為可逆，由(2)，為單射，又，為單射，又A(0)0, AA第15頁共24頁1 1220nnkkk 而線性無關(guān)，所以而線性無關(guān)，所以12,n 0,1,2, .ikin 故線性無關(guān)故線性無關(guān).12(),(),()n AAA若線性無關(guān)，則它若線性無關(guān)，則它12(),(),()n AAA也為也為V的一組基的一組基.1122()()(),nnkkk AA

8、A因而，對有因而，對有,V 即有即有1122().nnkkk A A為滿射為滿射.第16頁共24頁12(),(),()n AAA線性無關(guān)線性無關(guān),1,2, ,iiabin 若若 則有則有( )( ), AA其次，任取其次，任取 設(shè)設(shè),V 11,nniiiiiiab 11()(),nniiiiiiab AA即即. 由由(2)， 為可逆變換為可逆變換.A故為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng).A從而，為單射從而，為單射.A第17頁共24頁(4) 可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組的向量組.線性無關(guān)線性無關(guān).若若 11220.rrkkk AAA證：設(shè)為線性

9、空間證：設(shè)為線性空間V的可逆變換，的可逆變換，A12,rV 則有，則有，1122()0rrkkk A又可逆，于是是一一對應(yīng)，且又可逆，于是是一一對應(yīng)，且 (0)0 AAA11220rrkkk 故故 線性無關(guān)線性無關(guān).12(),(),()r AAA由由 線性無關(guān)，有線性無關(guān)，有120.rkkk 12,r 第18頁共24頁,nn AAA當(dāng)時，規(guī)定（單位變換）當(dāng)時，規(guī)定（單位變換）.0n 0E A設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，的線性變換，n為自然數(shù)，定義為自然數(shù)，定義A稱之為的稱之為的n次冪次冪. A第19頁共24頁 易證易證 ,0nm nmnmmnm n AA AAA 1nn AA 當(dāng)為可

10、逆變換時，定義的負整數(shù)冪為當(dāng)為可逆變換時，定義的負整數(shù)冪為AA 一般地，一般地， .nnn ABA B第20頁共24頁設(shè)設(shè) 10 ,mmfxa xa xaP x A為為V的一個線性變換，則的一個線性變換，則10()mmfaaa EAAA多項式多項式.也是也是V的一個線性變換，稱的一個線性變換，稱 為線性變換的為線性變換的A()f A第21頁共24頁 ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 P x則有，則有， ,hfg AAA fggf AAAA即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律. pfg AAA 對有對有( ), ( ) ,f xg xP x fggf AAAA第22頁共24頁證明：證明：1,1.kkkkk A BBAA設(shè)為線性變換，若設(shè)為線性變換，若,A B,E ABBA證：對證：對k作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)當(dāng)k=2時，若時，若,E ABBA對對兩端左乘，得兩端左乘，得A2, A BABAA對對兩端右乘，得兩端右乘，得A2,ABABAA上兩式相加，即得上兩式相加，即得222 122. A BBAAA第23頁共24頁112(1).kkkk ABBAA對對兩端左乘，得兩端左乘，得A對對兩端右乘兩端右乘 得得1,k A11(1),kkkk A BABAA11,kkk ABABAA，得，得1.k