高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)ppt課件

1、精選ppt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 第四節(jié)精選pptn 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為( )( )( )yp x yq x yf x)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.0)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（一）（一）n 階線性微分方程階線性微分方程的概念 一個(gè)n階微分方程，如果其中的未知函數(shù)及其個(gè)階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則叫它為n階線性微分方程階線性微分方程，簡稱，簡稱n階線性方程階線性方程我們重點(diǎn)研究二階線性微分

2、方程時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.0)(xf精選ppt )(11yCxP )(11yCxQ0證畢（二）、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)（二）、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.思考：一般的n階線性微分方程是否也有疊加原理精選ppt說明說明:不一定是所給二階

3、方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122x

4、x故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān)線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè)10 )k )(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)注注:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性 相關(guān)相關(guān)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

5、 下頁 返回 結(jié)束 例例:1122()12xxxeee當(dāng)時(shí)，常數(shù)12,ee,故線性無關(guān)對(duì)于對(duì)于n個(gè)函數(shù)如何確定它們的線性相關(guān)性，有行列式個(gè)函數(shù)如何確定它們的線性相關(guān)性，有行列式wronsky理論理論精選ppt定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解, 則)()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21nyyy,21若定理定理2. 是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(

6、11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC注注：n階齊次線性方程的解構(gòu)成階齊次線性方程的解構(gòu)成n維向量空間維向量空間精選ppt二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt)(

7、*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt定理定理 3.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機(jī)動(dòng) 目錄

8、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt例例4. 已知微分方程)()()(xfyxqyxp

9、y 個(gè)解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為有三 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 注:定理

10、4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 例例22211562xxyxx eyyyxe 是的一個(gè)特解215626xxyeyyye是的一個(gè)特解2221156226xxxxyxx eeyyyxee 是的一個(gè)特解則則精選ppt定理定理 5.*12( )( )( )yxyxiyx設(shè)是方程的特解,則1212( )( )( )( )yP x yP x yQ xiQ x的特解. 1( )yx是是121( )( )( )yP x yP x yQ x的特解. 2( )yx是是122( )( )( )yP x yP x yQ x其中1212( ),( ),( ),( )P x P x Q x Q x是實(shí)值函數(shù)是實(shí)值

11、函數(shù)例例*11( )sin3cos333yxxxixx是方程92cos32 sin3yyxix的特解,則1sin33xx是方程92cos3yyx的特解。1cos33xx是方程92sin3yyx的特解。精選ppt*三、常數(shù)變易法三、常數(shù)變易法復(fù)習(xí): 常數(shù)變易法: )()(xfyxpy對(duì)應(yīng)齊次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1)(設(shè)非齊次方程的解為 )(1xyy 代入原方程確定 ).(xu對(duì)二階非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解: )()(2211xyCxyCy設(shè)的解為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvx

12、v由于有兩個(gè)待定函數(shù), 所以要建立兩個(gè)方程:)(xu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含為使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 將以上結(jié)果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系數(shù)行列式02121yyyyW21, yy是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,21線性無關(guān)因yyP10 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xfyxQyxPy 精選pptfyWvfyWv12211,1積分得: )(),(222111xgCvxgCv代入 即得非

13、齊次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 說明說明: 將的解設(shè)為 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一個(gè)必須滿足的條件即方程, 因此必需再附加一 個(gè)條件, 方程的引入是為了簡化計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt例例5.0) 1( yyxyx的通解為,21xeCxCY 的通解.解解: 將所給方程化為:1111 xyxyxxy已知齊次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程組: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得積分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解為) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt情形情形2.).(1xy僅知的齊次方程的一個(gè)非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化簡得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111設(shè)其通解為 )()(2xzxZCz積分得)()(21xuxUCCu(一階線性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精選ppt例例6.42)(