隨機變量及其分布函數(shù)

1、1一、隨機變量二、分布函數(shù)2例例1 拋一枚硬幣拋一枚硬幣,觀察正面觀察正面 1,反面反面 2出出現(xiàn)的情況現(xiàn)的情況:樣本空間樣本空間 = 1, 2 引入一個定義在引入一個定義在 上的函數(shù)上的函數(shù) X : 由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)是隨機的由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)是隨機的,因此因此X( )的取值也是隨機的的取值也是隨機的 21 , 0 , 1)( XX3例例2 從包含兩件次品從包含兩件次品(a1,a2)和三件正品和三件正品(b1,b2,b3)的五件產(chǎn)品中任意取出兩件的五件產(chǎn)品中任意取出兩件: 以以X表示抽取的兩件產(chǎn)品中包含的表示抽取的兩件產(chǎn)品中包含的次品個數(shù)次品個數(shù),則則X是定義在是定義在 上的一個函數(shù)上的一個

2、函數(shù)樣本空間為樣本空間為:即即 X=X( ), =a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b34具體寫出這個函數(shù)如下具體寫出這個函數(shù)如下: X取什么值依賴于試驗結(jié)果取什么值依賴于試驗結(jié)果,即即X的的取值帶有隨機性取值帶有隨機性 ),( , 2),(),(),( ),(),(),( , 1),(),(),( , 0)(21322212312111323121aabababababababbbbbbXX 5 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念量來表示

3、，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.6 1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）就是一個數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份鄭州的最高溫度；七月份鄭州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；7R 設(shè)設(shè)E是隨機試驗是隨機試驗, 是其樣本空間是其樣本空間,如果對每個如果對每個 ,總有唯一的一個實數(shù)總有唯一的一個實數(shù)X( )與之對應(yīng)與之對應(yīng), 則稱則稱X( )為定義在為定義在 上上的一個的一個隨機變量隨機變量 定義定義:隨機變量隨機變量常用常用X、Y 或或 、 等表示等表示

4、 X( )8隨機變量的特點隨機變量的特點:1. X的全部可能取值是互斥且完備的的全部可能取值是互斥且完備的2. X的部分可能取值描述隨機事件的部分可能取值描述隨機事件9函數(shù)變量函數(shù)變量:隨機變量隨機變量: :樣本空間樣本空間R f x XXRR實數(shù)集實數(shù)集這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？10 定義了隨機變量后定義了隨機變量后,就可以用隨機就可以用隨機變量的取值情況來變量的取值情況來刻劃隨機事件刻劃隨機事件在例在例2中中,事件事件“取出的兩件產(chǎn)品中沒取出的兩件產(chǎn)品中沒有有 次品次品” 用用X=0表示表示 且概率為且概率為: PX

5、=0=0.3 事件事件“取出的兩件產(chǎn)品中至少有一件取出的兩件產(chǎn)品中至少有一件次次 品品” 用用X1表示表示且概率為且概率為: PX1=0.7 11 例如，從某一學(xué)校隨機選一例如，從某一學(xué)校隨機選一學(xué)生，測量他的身高學(xué)生，測量他的身高. 我們可以把可能的我們可以把可能的身高看作隨機變量身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?12例例3 3 在約會問題中，樣本空間為在約會問題中，樣本空間為( , )|0,0 x yxTyT 設(shè)設(shè)X表示甲到達約定地點的時刻，則表示甲到達約定地點的時刻，則

6、X為隨機變量。試求：對于給定的實為隨機變量。試求：對于給定的實數(shù)數(shù)a,事件事件 的概率的概率 。XaP Xa1300()01aaP XaaTTaT則：則：14 有了隨機變量有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來. 引入隨機變量的意義引入隨機變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 15 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展隨

7、機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件史上的重大事件. 引入隨機變量后，對引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究其取值規(guī)律的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機變量及其隨機變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律16對隨機變量的概率分布情況進行刻畫對隨機變量的概率分布情況進行刻畫 定義定義: 設(shè)設(shè)X是一隨機變量是一隨機變量,稱函數(shù)稱函數(shù) F(x)=P(Xx), x+ 為為X的的分布函數(shù)分布函數(shù) xX顯然顯然,有有: 0F(x)1 17X且且Xx1 Xx2故故: P(x1Xx

8、2)=PXx2 PXx1xx1 x2 o另另, P(x1Xx2)=F(x2) F(x1) (x1x2) x1Xx2=Xx2 Xx1=F(x2) F(x1)18(1)F(x)是是x的不減函數(shù)的不減函數(shù) 即若即若x1x2 ,則則F(x1)F(x2)(2) 理解理解:當(dāng)當(dāng)x+ 時時,Xx越接近于必然事件越接近于必然事件性質(zhì)性質(zhì):0)(lim)( xFFx1)(lim)( xFFx19(3)右連續(xù)性右連續(xù)性: 對任意實數(shù)對任意實數(shù)x ,)()(lim) 0(000 xFxFxFxx 具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)必是某具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)必是某隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù).該三個性質(zhì)是分布該三個

9、性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)函數(shù)的充分必要性質(zhì)20例4 設(shè)一個箱子中有依次標有-1，2，2，3數(shù)字的4個乒乓球，從中任取一個乒乓球記隨機變量X為取得的乒乓球上標有的數(shù)字,求X的分布函數(shù)，并分別求解 可能取的值為-1，2，3，由古典概率的計算公式，可知取這些值的概率依次為0.25,0.5,0.25 . .當(dāng)x -1時 X x是不可能事件，因此 F(x)= 0當(dāng)-1 x 2時 X x等同于X= -1，因此 F(x)= 0.250 51 52 523. , . ,P XPXPX21當(dāng)2 x 3時 X x 等同于X = -1或X = 2， 因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75當(dāng)3 x時 X x是必然事件，因此 F(x)= 1。綜合起來， F(x)的表達式為：010 25120 752313,.,( ).,.xxF xxx 22分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的圖像如下：的圖像如下：23 1.概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在