基于切爾諾夫界和中心極限定理的隨機(jī)變量和的尾部概率的估計(jì)

1、第49 第5期2009年S月Vol 49 No. 5 M3 20»電機(jī)& NTeiemmflBunkMian Enpneering文.號(hào)：IOO -893X(2009)05 - 0001 -04基切爾諾夫界和中心極限定理的隨機(jī)變量和的尾部概率的估計(jì)畢建叁，仰根帆（南京敘文“天大學(xué),要：£5龍了"立田命卒靖令的中?？焖腗棋及切爾送女界.然后宙這胃?jìng)€(gè)才金東體奸« 個(gè)M機(jī)工量粕種兒年在段*JLM阜分右下*機(jī)亶加種兒保收隼傳泉鰭暮裊/利用中。 M爪史&6M皿炙立個(gè)蠹月及第大時(shí)彳痔利岐發(fā)"的倒；第M加爾語(yǔ)文泉北解可以居山無(wú)邦總 “上界,

2、恒4 A實(shí)值之同冷左一定的候4,因此.關(guān)貪刖“爾諾夫不等良開(kāi)網(wǎng)一個(gè)欠加繁，立界. 饗MM爾諾夫軍件必金S修正.美鈍：敘字父；幾界帳承；十火偏上我爸，切爾修A界中圖分Uq,O2n.4文 1UMR碼：Adoh 10. 3969“ 2. 1001-眇3L2009.05.001Calculation of Tail Probability Based on Central UmitTheorem and ChernofT BoundRI Jian - xE. YANG F.ng - fan(Q4kgr of Infomadan Scietwr aid Tz*k3< . Niuijing Uiuv

3、<!nMr> ci AeroMuUc* and Astmnmxic.Nwjtnr 210016, Chtna)AbvtrKl ： Findy.thc central li»it theorm for i. i. d( independent and kfetttkally diMfibuted) nndim van- ahlct and Omw>(T bound are rettrwed, with wfurh the uu! pCMklxbilMy of 4 1.1, d. randocs vangles c«i cuhlcd Krwlts ci the

4、 tail probability obtained under two cxyhrioa probability diKribuOcvM wfjorY tha* cenii“ limit theorem een prcnxle reUtively precise values oo cunditxm tWt a ts tufBciendy 1a while thrrr ahrwyt <nirt ccham rrroo betwem the upper bound at the Mil probabihly arquired by Cbrmoff bnurvl and the exact

5、 value. CcmequecAi, . in ofdtt io Main lifter bound far the mil pmbobtMy -rth Chcmoff infx)uality. ilb nrerweary Io modify the Qirawfl bmind.Key wvrdt dipul comnumicaUon ； Ual prababdity ； cntral lumt thcomB j laq9r ddntione theory* ； ChernofT butml1 91 «平均偏柒槌隼是評(píng)估數(shù)字通信系姚怪徒的一個(gè) 要揩標(biāo),在計(jì)算平均橘謖錢(qián)率時(shí)往往施邂估

6、計(jì)加 的堂的艇雷橫率L即隨扒變量息率道度諉& （PDF）用部下闔的自幟,例如W十二迸符號(hào)檢 舞”,即發(fā)送發(fā)送物號(hào)?；騃.M鋒區(qū)概率已是點(diǎn)”施過(guò)門(mén)限值的幡率。為了計(jì)算生常襄分 利計(jì)算上用都晨奉（七21*410）加下尼蕉 *幾代們00將用匕和乙的 上界,從R依什2的上界.時(shí)于一敝的電機(jī)變.由于其概率常度褊散 （POF）的一般性,其率分布的尾都可以通過(guò)蛻分 求碑.但有婆情況下,瓊以精算得出牌機(jī)變收梅日期：X«9-02-08;修圓出$289-03-26童子目：東南大學(xué)“奇通信濫本金.#.東宜弁故修宛塔（*2«加）第49卷笫，期2009年5月Mil 49 Na. 52009*

7、“ k %Trlccomniuni<*iwi F.ninctfmg左方用機(jī)變之加大f it門(mén)*的尾即<1率，文， (I利用切比號(hào)火不等式處到了尾部概率的上界. «!&上界相當(dāng)何松;切爾諾夫不等式,是切比京夫 不寫(xiě)式的一個(gè)HL仲，HU*實(shí)砧果帕比場(chǎng)爾比夫 界比前，更依近食實(shí)伍 ESQ.可 以通過(guò)計(jì)算切爾塔大界對(duì)MJUMI率遇行限定,以必刎 定性研究同的目的.牝外中心H限定理也提供f 一沖近似墟計(jì)WRI機(jī)支和的尾8WR零的方法.本文的土姿工作必利用切爾諾夫界和中心極劇 定丹估算兩"雋兄分布的隨鬼交融之林附髭知息率 的上界及茂近似(并分析”比較所得結(jié)果的差異.

8、2大偏差理論與切爾諾夫界我陽(yáng)n光闔我同履中心故限定理。謂定理徹石 1”形式,下面蛤出題口同分布條件下依中心極不 定理.即列堆-稼力格(if - Imad 定理： 2.1城立同分布條件下的中心程限定理定理KLen-Undeberg) 設(shè)|苒 為相互獨(dú) 立網(wǎng)分布的碣機(jī)變*.£! £(J.) 三-。(凡)，J (0</< )作婦一化融帆安匕工J £(西-G,剜對(duì)任危女敷有：limPir. <«! -”曲-0(>) (1)注定理亶?袤義在于.它指出了、Q克分大駕.a，亡X(兒)近蟻(從wo.”分布,工3 ，3y近似融從曲”/分從而在： 也

9、*F*卜暇若) (3) 這就事決了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之總的H*近 似計(jì)算，盡管中心幔限定對(duì)反映的圮制時(shí) 相互依正的隨機(jī)1Ht序川的和的鍬限分布是正態(tài)分 布,軻在放陽(yáng)定厝X次實(shí)際同0N.只要先分大 (一儂劃為)就可以利用定理作近似計(jì)算.本文 將我立同分布轍況變?cè)Ｖ徒鲭娏φ冯S快變 安.從而怙，微率.2.2切爾塔夫先大偏差(以 DiwuHsa理論是率論的吸 2- 戲及槍中極富或果的一個(gè)分支，它處殼和中心極濃 定理不同的%突授網(wǎng)問(wèn)16 ,是大敗定律的情身化. 大修短程訛必關(guān)于一個(gè)微年分&嫌腓清點(diǎn)為0間的 表觀.設(shè)工為拽分布的修機(jī)費(fèi). 令及£«,大偏差理論的出r如下極奴

10、bm -IglS. > n<| a>/(*)(4) n式中."Gifiei稱(chēng)為Gamer福敷“微朋上式町以B 出當(dāng)足”大時(shí)的燃睪>a| .如下P|5a > m| > eip ( - o/(«)(5)如果已知凡的口率分布.剜訕救，)可迸一 步去示力/(>) 大口力-(8)】(6)式中稱(chēng)為累粗母擊數(shù),可我小為= lg£.eip«DU卜我們玲出大偏差埋槍的一個(gè)只體應(yīng)用 切爾諾夫界.當(dāng)時(shí)大倒控之網(wǎng)分布網(wǎng)機(jī)變&(£ 1.2")求平均時(shí)，其結(jié)果收斂于均值.假對(duì) 于年 而宮均倍本。電星一個(gè)隔機(jī)變量.

11、當(dāng)求 fc中的I#員蟄置收增大時(shí)康均(R的尾茄星率分冬 將金掰很小.定a 2(CJm4TB*md) ” OS.為顯個(gè)81 立同分布的隨機(jī)變量 Ld1.2/)的和.即， 士為維個(gè)陽(yáng)機(jī)變的微率分布為，/“月均做 *i(x>.對(duì)于任大于£(A)的南改，表PlS.rl *。«吟")(8)式中,5家武人指數(shù)6,")為A；(r) -lri£f(eMP(>X)l (»)WM式(8)和式(9)町以估算5.尾部一率的上 界.除此之外在證明Slumron %好信道金研定 HT”我打也利用了慟爾譚矢不等式.該定變 誄明的思踣玄裝始修于聯(lián)合4兵S

12、1序列的思JB。K 設(shè)發(fā)送的對(duì)字為q切爾諾夫不答式合訴衽們：當(dāng)碼 長(zhǎng)由f無(wú)力時(shí),發(fā)送的碼7.應(yīng)的相儀序列 ，必定構(gòu)成取介,翼不序列.從而使?jié)频恼d息隼 上于零.3月部概事的估算與分析方ufldn分別然丸均勻分e”正左分布的隨機(jī) 長(zhǎng)u之時(shí),利用中心槌取*短和切爾詔夫r估算它 門(mén)的尾部假也，“丁均”分布,我n還與我夜城依第8卷第5期2009年5月Vd.49 No. 5May 2009TelccxuntMumcMion Enginemnf進(jìn)行了比較于正態(tài)分布,中心極限建得給出的始 果本身就是準(zhǔn)31均勻分花的情況&甚,西工為曲宜帆序列,均為K從 < -I/2J/2)上均為分布的防帆變.其

13、概率密度 效(哂)為: _S (io)廂機(jī)變苒的均值和力要為£(Xt) = 0,例西)* 1/12 (II)令及二宮西以下f鬣中心槌定理和切爾詔 AWftif r=0.1時(shí)均句分布微機(jī)變和的尾稱(chēng)假 率的近似值上界同時(shí)依據(jù)均勻分布的變 Ml的概率分布嫉敷定其籍呻I率的懵值.3 11方澹1(中心1定)由中心懾限定理可皿,當(dāng)充分大時(shí).5.近敘 (從正亳分出M0,V12) ,故，F(xiàn)jSa>»r| *1» I - ( /lS/K)/MI2(I2)3.12 方法2(切爾ig關(guān)界)由式(9)可播切爾諾夫IS收r.(ai).國(guó)皿巧幺半出±上?2(B)目標(biāo)福航為y

14、a, r 0.1 )0.帖 “至皿譽(yù)今 以下求,(人0 ”的 大假C卜”(S) y Cl. 44a ' exp(f/2) - exp( - «/2)>(M)由計(jì)算euaia可將曹在區(qū)間(。內(nèi)的疑蛾. 如圖1所示.mi (o.jixwjatt以下我力刈用一元JI線性力程的-二分法”,通 過(guò)計(jì)算機(jī)收戢來(lái)求導(dǎo)函數(shù)普在區(qū)間(0A)上的椒. 其緒果為L(zhǎng)229 9.岡比晦y(，.T0> I) I2299.r-a I) .aO6O7w 由式 (B)可flh 當(dāng)， 01時(shí)的切爾諾夫界如下： PIS.才 E I-I $中-4”)(15)3.13 方法乂均勻分布總機(jī)更物的分布福) 令

15、從均勾分<11/房的秀個(gè)獨(dú)立越機(jī)1:之*1的分布承為0。< “一八 jrAnX(- -h* -)r.r(y) (4-r時(shí)氣 riMS -«) *no <y <(A 1乂6 一) .no hy(16) 式中 上=0.1.2e -1.令-1/2.S .】可博暨從均勻分布 V( 1/21/2)的*2«機(jī)變景之和的分布由數(shù)入(八. 剜髭部口率的充硝值為”向-I -Fjar) (17) 由式(12人(15).( 17)可用.M于任意的機(jī)堂 個(gè)數(shù)跖尾瓢率P|S.»”I的近但值、上界及塞一 值,模2結(jié)果如圖2所示.6印B2局部/學(xué)附近他值上鼻以及班累81

16、承，當(dāng)啟足第大MC>20) .基于中心松 定理所押到的儲(chǔ)果巳經(jīng)昨余近準(zhǔn)確值切爾 諾夫界與準(zhǔn)豌俱有一定的差距?；谝陨暇w果,我們?cè)?。更大筋他用?nèi),博切爾 洋關(guān)界與近似施比較,結(jié)累加照3所示.所得站累 發(fā)示兩者蛤弊存在一定的差異。第49卷第5期2009年5月Vol. 49 No. 5Ma, 20094U4L ZTelxcamMimc4rtg EnfinerfinfiC)基于中4強(qiáng)定藥的近©值與<0家詔大W3.2正有分布的a況設(shè),工為我立網(wǎng)序列.均為91從 陽(yáng)0,1)的用機(jī)費(fèi),其微卑密度函數(shù)為<>(，)-JL EtXJ «0.D(Xt)1令 3.£

17、;為.則&同樣*從正套分布,即s.-MOm). W 立.昆明tt率的圈椅他很容易求幫.令0.1 >£(*3剜：CIS. >«rl = l-em/隔=l-4K/»)(B) 然后,計(jì)算切爾諾夫界由式(9)稱(chēng)切爾諾夫指 畋如下,“6 11 *m(Q. b -？/2)(19)目標(biāo)函數(shù)力,Ck Q. 1) -0.陽(yáng)當(dāng),0.l時(shí),?！?. I)可麻將大值(1005“ 曲式C)»IW r-0. I3的坨爾諾夫界如卜， PIS. I,. <«P(-n£.(r» -匕爾-(1小)(20)由成(18)*式(20)可網(wǎng).

18、對(duì)于仟意同機(jī)變個(gè) 數(shù)號(hào)正名分布隨機(jī)變的尾非R*P|S.#“ 的符央值加上界,侵旭站累如圖4所示.所博果 區(qū)示兩也同怦存在一定的短斤.ffl< 4r值/切爾謁大男堂會(huì)以上網(wǎng)腫情況.我的可以發(fā)現(xiàn).由切爾諾夫 界所求樹(shù)的硼交貴和的足部橫掌的上界冥做 或基于中心翻眼定耳所種的近似ffl相比小淀的空 第,但它卻是一個(gè)在任何條件下均可以應(yīng)用筋上界：4結(jié)論家用切爾謊夫界.負(fù)然可以求出此部概率的上 畀.祖，食女位之時(shí)存在一定的諛舞,而何用中。0 限定值時(shí)q足夠大方可煙剜較松磅的0L因 此，若叟用切爾諾夫不等式將劌一個(gè)更1案漆的界. 演時(shí)切爾諾夫界迸行必要的修正.8 ,可以為虔馀 切爾諾夫界m單收成d時(shí)凡作假數(shù)履開(kāi)等.這息