矩陣可交換性的應用

1、 2015屆學士學位畢業(yè)論文矩陣可交換性的應用學 號：11404111姓 名：郭冬冬班 級：數(shù)學1101指導教師：閆慧凰專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學系 別：數(shù) 學 系完成時間：2014年4月5學生誠信承諾書 本人鄭重聲明：所呈交的論文矩陣可交換性的應用是我個人在導師閆慧凰指導下進行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得長治學院或其他教育機構(gòu)的學位或證書所使用過的材料。所有合作者對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名： 日期： 論文使用授權說明本人完全了解長治學院有關保留、使用學位

2、論文的規(guī)定，即：學校有權保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；學?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文。簽名： 日期： 指導教師聲明書本人聲明：該學位論文是本人指導學生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過論文的全部內(nèi)容，并能夠保證題目、關鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準確性。 指導教師簽名： 時間 摘 要矩陣在高等數(shù)學中是一個極重要且應用廣泛的概念，是線性代數(shù)的核心。而且在一些重要領域也用到了矩陣的計算，像應用數(shù)學、計算數(shù)學、經(jīng)濟學、數(shù)學物理、衛(wèi)星通信等等，許多工作人員在大量計算這些矩陣時發(fā)現(xiàn)了一些對于特殊矩陣成立的公式和規(guī)律，本文將用這些規(guī)律來敘述一些特殊矩

3、陣（可交換矩陣）的應用。關鍵詞： 矩陣；可交換目錄1.緒論12.基礎知識12.1 矩陣相關概念12.2 線性變換相關概念23.矩陣可交換的應用33.1線性變換與矩陣（可交換）之間的聯(lián)系33.2上三角矩陣可交換的應用4長治學院學士學位論文矩陣可交換性的應用11404111 郭冬冬 數(shù)學與應用數(shù)學指導教師 閆慧凰1.緒論隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，數(shù)學顯得格外重要，在生產(chǎn)、生活中都或多或少的涉及到了數(shù)學，所以數(shù)學是每個人必須學會的，而對于一些技術分子則不僅僅是掌握基本的數(shù)學知識，而且要對數(shù)學中的一些比較高深的內(nèi)容進行進一步的了解，之后對其進行應用，像從事計算科學、無線電技術和衛(wèi)星通信領域工作的人都涉及到了

4、矩陣的可交換方面的知識。通常情況下，若，像是不成立的，但如果已知可交換，那么上述這個公式就是成立的。像這樣的公式還有很多在可交換矩陣的條件下是成立的，如等等，當然，有時候在解決一些問題的時候會將線性變換與矩陣結(jié)合起來，這樣兩者之間就可以轉(zhuǎn)化，將問題簡單化。文獻9就主要介紹了線性變換和矩陣之間的轉(zhuǎn)化問題，文獻3和文獻4主要是對矩陣可交換的性質(zhì)進行了探究。本文第一部分主要介紹了矩陣可交換性的相關概念，第二部分講了矩陣可交換在一些方面的應用，主要有線性變換與矩陣的轉(zhuǎn)化、上三角矩陣可交換的計算等。2.基礎知識2.1 矩陣相關概念定義2.1.1 設矩陣，如果有，則稱矩陣可交換。定義2.1.2 在階方陣中

5、，倘若其中的元素，則稱為階對角矩陣，記為定義2.1.3 如果一個矩陣其主對角線上的元素全是1，其余的元素全是0，即，則稱其為級單位矩陣，記為或簡寫為。顯然有定義2.1.4 矩陣稱為矩陣與數(shù)的數(shù)量乘積，記為，換句話說，即用數(shù)乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上。定義2.1.5 設，所謂的轉(zhuǎn)置就是指矩陣，顯然矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣。定義2.1.6 級方陣稱為可逆的，若有級方陣，使得，這里是級單位矩陣。定義2.1.7 設是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣。2.2 線性變換相關概念定義2.2.1 設是線性空間，和是上的線性變換，若成立，則稱線性變換和是可交換的。定義2.2.2 設是數(shù)域上的維線性空間，

6、是上的所有線性變換的集合，是的一組基，即，記為， 在式所設下，令，且= , ,則的同構(gòu)映射，因此3.矩陣可交換的應用3.1線性變換與矩陣（可交換）之間的聯(lián)系 設是數(shù)域上的維線性空間，由定義2.2.2我們得到了，如此便建立了數(shù)域上的維線性空間的線性變換與數(shù)域上的矩陣的關系，它們是相互唯一確定的。解決上述中線性變換的問題就可以借助矩陣，這樣有限維空間上的線性變換問題就可以轉(zhuǎn)化為中矩陣的問題了，反過來，中矩陣的問題就可以轉(zhuǎn)化為有限維空間上的線性變換問題。 在同構(gòu)的前提下，中的線性變換的很多性質(zhì)轉(zhuǎn)化為矩陣語言同樣成立，反之，也成立。 定理3.1.1 設是復數(shù)域上的維線性空間， 是的線性變換，且，（1）

7、 的每一個特征子空間都是的不變子空間；（2） 與至少有一個公共的特征向量。證明：（1）設是的特種子空間，其中是的特征值，則對于，有，從而，故，即的每一特征子空間都是的不變子空間。（2）是的不變子空間，則在復數(shù)域上，必有特征值，并存在非零向量，所以，是與的公共特征向量。接下來，我們利用這個定理來證明兩個題。例1：設是階復矩陣，且的個特征值兩兩互異，。證明：是個對角矩陣。證明：設和是維復空間的線性變換和在某組基下的矩陣，由已知可得是個兩兩互異的特征值，從而存在使得，其中線性無關，所以是的一組基，則是的一維不變子空間的直和.又因為，所以，根據(jù)定理得是的不變子空間，其中，則有，即有個線性無關的特征向量

8、，則可以對角化，所以可以對角化，因此是個對角矩陣。例2：和是維:線性空間的線性變換，證明：若的個特征值兩兩互異，則的充要條件是的特征向量也是的特征向量。證明：設是的全部特征值，且，屬于的特征向量為。因為屬于不同特征值的特征向量是線性無關的，所以是的一個基。必要性：設，且和在基下的矩陣分別為，則，其中。因為，所以，由于與對角元素彼此不同的對角矩陣可交換的矩陣只能是對角矩陣，所以，這時從得到。充分性：若的特征向量也是的特征向量，則，。于是，與在基下的矩陣與可交換，即，因此。3.2上三角矩陣可交換的應用 首先，給出幾個簡單的定理，然后由這幾個簡單定理來推出一個比較復雜的性質(zhì)，最后利用結(jié)論來解決矩陣方面的習題。定理3.2.1 型如的二階上三角矩陣的可交換矩陣仍然是二階上三角陣其中為任意實數(shù)。定理3.2.2 型如的三階上三角矩陣的可交換矩陣仍然是三階上三角矩陣（且）其中為任意實數(shù)。定理3.2.3 型如的三階方陣的可交換矩陣仍然是三階方陣其中為任意實數(shù)。下面給出矩陣的上三角矩陣，再給出一個引理：引理：與階方陣的可交換矩陣型如上述矩