第二章 力學(xué)中的守恒定律

1、第二章 力學(xué)中的守恒定律2.1 在下面兩種情況中，合外力對物體作的功是否相同?(1)使物體勻速鉛直地升高 h 。(2) 使物體勻速地在水平面上移動h。如果物體是在人的作用下運(yùn)動的，問在兩種情況中對物體作的功是否相同?答：合外力對物體做功不同。2.2 A和B是兩個質(zhì)量相同的小球，以相同的初速度分別沿著摩擦系數(shù)不同的平面滾動。其中A球先停止下來，B球再過了一些時間才停止下來，并且走過的路程也較長，問摩擦力對這兩個球所作的功是否相同? 答：摩檫力對兩球做功相同。2.3 有兩個大小形狀相同的彈簧：一個是鐵做成的，另一個是銅做成的，已知鐵制彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)比銅大。(1) 把它們拉長同樣的距離，拉哪一個做功

2、較大？(2) 用同樣的力來拉，拉哪一個做功較大？答：（1）拉鐵的所做功較大； （2）拉銅的做功較大。2.4 當(dāng)你用雙手去接住對方猛擲過來的球時，你用什么方法緩和球的沖力。答：手往回收，延長接球時間。2.5 要把釘子釘在木板上，用手揮動鐵錘對釘打擊，釘就容易打進(jìn)去。如果用鐵錘緊壓著釘，釘就很難被壓進(jìn)去，這現(xiàn)象如何解釋?答：前者動量變化大，從而沖量大，平均沖力也大。2.6 "有兩個球相向運(yùn)動，碰撞后兩球變?yōu)殪o止，在碰撞前兩球各以一定的速度運(yùn)動，即各具有一定的動量。由此可知，由這兩個球組成的系統(tǒng)，在碰撞前的總動量不為零，但在碰撞后，兩球的動量都為零，整個系統(tǒng)的總動量也為零。這樣的結(jié)果不是和

3、動量守恒相矛盾嗎?"指出上述討論中的錯誤。答：上述說法是錯誤的，動能守恒是成立的。雖然碰前各自以一定的速度不為零，相應(yīng)的動量也不為零，但動量是矢量，系統(tǒng)的總動量在碰前為0，滿足動量守恒定律。2.7 試問：(1) 一個質(zhì)點(diǎn)的動量等于零，其角動量是否一定等于零?一個質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零，其動量是否一定等于零?(2) 一個系統(tǒng)對某慣性系來說動量守恒，這是否意味著其角動量也守恒?答：（1）一個質(zhì)點(diǎn)的動量等于零，其角動量也一定為零；一個質(zhì)點(diǎn)的角動量等于零，其動量不一定為零。（2）一個系統(tǒng)對某慣性系來說動量守恒，這并不意味其角動量也守恒。* * * * * *2.8 一蓄水池，面積為，所蓄的水面比

4、地面低5.0m，水深d=1.5m。用抽水機(jī)把這池里的水全部抽到地面上，問至少要作多少功？解：池中水的重力為將水全部抽到地面，其發(fā)生的平均位移為 抽水機(jī)所做的功即克服重力所做的功，所以2.9 以45牛頓的力作用在一質(zhì)量為15千克的物體上，物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)。試計算在第一與第三秒內(nèi)所作的功，以及第三秒末的瞬時功率。解：已知據(jù)牛頓第二定律得物體的加速度 （1秒內(nèi)的位移） （3秒內(nèi)的位移）3秒末速率第1秒內(nèi)所做功為第3秒內(nèi)所做功為 3秒末的功率 2.10 一質(zhì)量為的小石塊從點(diǎn)自靜止開始下滑，到達(dá)點(diǎn)時速率為，再沿滑行后停止。已知滑行軌道是圓周的1/4，圓周半徑為， 為水平面(如圖2.20所示)。試求：

5、(1) 在AB段，摩擦力所作的功；(2) 水平軌道BC與石塊間的摩擦系數(shù)。解：已知，（1）從A到B機(jī)械能的減少量為此即摩檫力在AB段所做的功。（2）在BC段，摩檫力對物體做負(fù)功，其量值等于小石塊在B點(diǎn)的功能，則摩檫力摩察系數(shù) 2.11 一質(zhì)量為的子彈，在槍筒中前進(jìn)時所受到的合力為， 以N為單位，x以m為單位。子彈出槍口速度為。試計算槍筒的長度。解：設(shè)槍筒的長度為L，則子彈飛出槍口時合外力所做的功為據(jù)功能原理得 即 整理得： 解之得，即槍筒的長度為0.45m2.12 用50米秒的初速度豎直向上拋出一物體。(1) 在什么高度它的動能和勢能相等？(2) 在什么高度勢能等于動能的一半？(3) 在什么高

6、度動能等于勢能的一半？解（1）若動能等于勢能，據(jù)機(jī)械能守恒便得由此得 （2）若勢能等于動能的一半，則由機(jī)械能守恒便得（3）若動能等于勢能的一半，據(jù)機(jī)械能守恒得2.13 一個質(zhì)量為m的物體，從一光滑斜面上自高h(yuǎn)由靜止滑下，沖入一靜止的裝著砂子的小車，問小車將以多大速度運(yùn)動?小車和砂子的總質(zhì)量為M，不計小車與地面的摩擦。解：先由機(jī)械能守恒得由此得物體沖入裝著砂子的小車前瞬間的速度再用動量守恒得 從而得小車運(yùn)動速度2.14 質(zhì)量為m的小物體可沿翻圈裝置無摩擦地滑行，如圖2.21所示，該物體從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，A點(diǎn)比圈底高H=3R。(1) 當(dāng)物體到達(dá)該翻圈的水平直徑的末端B點(diǎn)時，求其切向加速度和法向

7、加速度以及對軌道的正壓力；(2) 求該物體在任一位置時對軌道的正壓力，此位置用圖中所示的q角表示。在所得的結(jié)果中，令，對B點(diǎn)的正壓力進(jìn)行驗(yàn)算。(3) 為什么使物體完成翻圈運(yùn)動，要求H有足夠的值解已知 m，H=3R（1）據(jù)能量守恒得由此得則法向加速度向心力 ，它是靠軌道對物體的壓力來提供的，據(jù)牛頓第三定律便知物體對軌道的壓力大小為4mg，方向向左。物體在B點(diǎn)的切向加速度 而 為此先確定在任一點(diǎn)（極角為）速率隨的變化關(guān)系，同時據(jù)能量守恒得由此得 ，B點(diǎn)處，則（2）在任一位置（用標(biāo)記），由（1）已得則向心力 向心力由軌道對物體的壓力（f）及物體重力的分力共同來充當(dāng)，因此有 則物體對軌道的正壓力大小等

8、于，方向與軌道對物體的壓力相反（牛三）指離圓心。在B點(diǎn)， 與（1）中結(jié)果相同。（3）因?yàn)橹挥挟?dāng)H有足夠的值，才能保證在圈頂時，物體具有一定的速度（動能），使得所需向心力大于物體的重力，而不致使物體掉下來。2.15 如圖2.22所示，一質(zhì)量為的小球，系在繩的一端，放在傾角的光滑斜面上，繩的另一端固定在斜面上的O點(diǎn)，繩長0.2m，當(dāng)小球在最低點(diǎn)A處，若在垂直于繩的方向給小球初速度(即與斜面的水平底邊平行)，使小球可以完成圓周運(yùn)動。(1) 至少等于多大?(2) 在最高點(diǎn)B處，小球的速度和加速度多大?(3) 如何求出小球在任一位置C時繩子的張力?(小球位置用表示)(4) 如將一根同樣長度的細(xì)棒(不計重

9、量)替代繩子，其它條件都仍如上述，至少多大方能使小球剛好完成圓周運(yùn)動？解：1）據(jù)機(jī)械能守恒得 （1）球在最高點(diǎn)不掉下來，應(yīng)用 （2）而 則由（1），（2）可得的最小值為2）由式（2）中得 法向加速度 由于B點(diǎn)處合力方向?yàn)樨Q直方向，在B點(diǎn) 3） 在任一位置C，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得由此得向心力 它由重力分力和繩子的張力共同提供=4）若將繩換成細(xì)棒，此時，B處向心力小于重力也不會使小球掉下，只需則可按1）中（1）式得的最小值。2.16 如圖2.23所示，設(shè)。一個質(zhì)量的物體從山頂上由靜止滑下，撞擊到彈簧一端的擋板上。彈簧的另一端固定在墻上，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為 ，設(shè)所有表面是光滑的，彈簧和擋板A的質(zhì)量可略

10、去不計。問彈簧最多可壓縮多少?解：已知 把物體和彈簧作為一系統(tǒng)，則外力對系統(tǒng)不做功，那么系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮最大時（設(shè)為x），物體的動能為零，所以據(jù)機(jī)械能守恒可得 由此得2.17 一質(zhì)量為的彈性球，速率，與光滑水平桌面碰撞后跳回。假設(shè)跳回時球的速率不變，碰撞前后方向與桌面的法向所夾角度均為a。如圖2.24所示，若，球與桌面間碰撞時間，問球和桌面的平均相互作用力有多大?解：應(yīng)用動能定律得2.18 水力采煤用高壓水槍噴出的強(qiáng)力水柱沖擊煤層，設(shè)水柱直徑D=0.03m，水速，水柱垂直射在煤層表面，沖擊煤層后速度為零。求水柱對煤層的平均作用力。解：考慮，在這段時間內(nèi)與煤相撞的水的質(zhì)量為據(jù)動能定律得

11、 2.19 一人質(zhì)量為M，手中拿著質(zhì)量為m的物體自地面以傾角q，初速度斜向前跳起，跳至最高點(diǎn)時以相對于人的速率u將物體水平向后拋出去。忽略空氣阻力，證明此人向前的距離比不拋出物體情況下向前的距離增加了證明：在最高點(diǎn)水平拋出物體不影響豎直方向的運(yùn)動，則不改變從最高位置到落地的時間，只改變后半段的水平速度。未拋出物體前，物和人的水平速度為。在最高點(diǎn)時，以相對人以速率u向后拋出物體，設(shè)拋出后人的速率為，則物體相對地面的速度為，在水平方向上物和人構(gòu)成的系統(tǒng)不受外力，則在水平方向動量守恒，即 由此解得 從最高點(diǎn)到落地的時間為 2.20 石墨原子核的質(zhì)量，在核反應(yīng)中作為快中子的減速劑，中子質(zhì)量為，若中子以

12、的初速度與靜止的石墨原子作彈性碰撞后減速，問經(jīng)過幾次碰撞后中子的速度減為。解：已知， ，；，由動量守恒得 （1）動能守恒得 （2）由（1）解出代入（2）得 解之得（取速率） （舍去）以作為中子的初速，用上計算又可得碰撞二次后中子的速率=依次類推可得碰撞N次后中子的速率為若要， 則可得 從而可解得碰撞次數(shù)： 2.21 砂擺是用來測量子彈速度的一種裝置，如圖2.25所示，將一個質(zhì)量M很大的砂箱用繩鉛直地掛起來，一顆質(zhì)量為m的子彈水平射入砂箱，使砂箱擺動，測得砂擺最大擺角為q，求子彈射擊砂箱時的速度u，設(shè)擺長為l。解：子彈對懸掛點(diǎn)的角動量為，據(jù)角動量守恒得（也可用動量守恒） （1）由此得沙擺與子彈的

13、共同初速為： （2）再由機(jī)械能守恒得3 （3）將（2）代入（3）得 2.22 質(zhì)量為的物塊用倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上，如圖2.26所示，最初彈簧處于自由狀態(tài)。一質(zhì)量為的子彈以速度沿水平方向射入內(nèi)，問彈簧壓縮的最大量為多少?解：設(shè)子彈射入瞬間（彈簧還未壓縮）和的共同速度為，據(jù)動量守恒則有 （1）由（1）得 （2）在以后的過程中，動量和機(jī)械能都守恒，則有 （3） （4）當(dāng)彈簧壓縮最大時， （5）解（3）、（4）、（5）構(gòu)成的方程組便可得最大壓縮量2.23 一質(zhì)量為的木塊，靜止在光滑的水平桌面上，一質(zhì)量，速度的子彈水平射入木塊，子彈進(jìn)入木塊后，就和木塊一起平動。試求：(1) 子彈克服阻力所作的功；(2) 子彈作用于木塊的力對木塊所作的機(jī)械功；(3) 失去的機(jī)械能。解：已知 ， （1）由動量守恒得 由此得共同速度 對子彈應(yīng)用動能定理得阻力對子彈所做的功這便是子彈克服阻力所做的功。（2）子彈對木塊所做的機(jī)械功等于木塊的動能增量（對木塊應(yīng)用動能定理）即（3）失去的