向量的概念與運(yùn)算二

1、向量的概念與運(yùn)算 本周教學(xué)內(nèi)容： 1. 向量的概念； 2. 向量的運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）. 學(xué)習(xí)要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念; 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理 . 教學(xué)重難點(diǎn)： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對(duì)向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件 知識(shí)要點(diǎn)： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量 向量的二要素：大小、方向 . 有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，如位移、力等，有

2、些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，如速度等 叫做自由向量，數(shù)學(xué)中所談及向量如無(wú)特別說(shuō)明，均指自由向量 . 2. 向量的表示：（1）幾何表示法：用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，或者用英文小寫字 沖于十 母，并在字母上加箭頭表示，如 d ：人1 -等. 注意：手寫體均需要加箭頭 .打印字體中向量一般用黑體來(lái)表示 . 3. 向量的相關(guān)概念： 零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的 單位向量：模為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量 模：向量的大小

3、稱為模 ABJ 相等，則記為.-?，規(guī)定: 的模分別記為 零向量和零向量相等，即 - I . 相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, 的相反向量是零向量，即 -. 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若 由于數(shù)學(xué)中所研究向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平 行向量又叫做共線向量.規(guī)定：零向量和任意向量平行 注：（1）向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大??； 平行向量的定義中 非零”限制； 相等向量、相反向量、平行向量 （共線向量）的定義都有 規(guī)定” A、B、C、D四點(diǎn)是可以共線的，但 AB II CD成立時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)是不可以

4、共線的 、向量的加法與減法 加 法 定 義 ： Tp. = （三角形法 則） 注：需要明確一個(gè)向量的起點(diǎn)是另一個(gè)向量的終點(diǎn) 減法定義：- a+（-b） 說(shuō)明：1.加法、減法的結(jié)果依然是一個(gè)向量； 2.若乳祈共踐，則a+bfa-Hfi方向與焉彌同問(wèn)也+E剛+|E 若- - 兒匚一 - - 口 .! - A的相反向量記為-!.規(guī)定：零向量 平行，則記為 （4）向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同: AB/CD 時(shí), 若乳皈觥若申悅則a + fea同向，且|a+bHa|-|b|; 若同碩 則枝+狷洞咼fi|a+b|=|b|-|a| 3. 運(yùn)算律 + + 芾 加法交換律：-：

5、（由此可得岀平行四邊形法則 ） 結(jié)合律： 注：平行四邊形法則作圖求和時(shí)，兩個(gè)向量的起點(diǎn)應(yīng)該相同； P 片 申 常用結(jié)論 _ 一 特征是首尾相連. 4 十 減法：- - 三、實(shí)數(shù)與向量的乘積（數(shù)乘） 1. 定義I :從模、方向兩個(gè)方面理解。 模： （2）方向：當(dāng) 九丸吋.需與菊向；當(dāng)九4時(shí);與贏向；當(dāng)日吋，需 需要明 確的記?。簩?shí)數(shù)與向量的乘法結(jié)果是一個(gè)向量。 2. 運(yùn)算律 九（曲）二A（a + b）二加 + Xb;（丸+y）a = la + |ia. 3. 向量共線的充要條件 若非零決線 O 存在惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)入使得二加若T -I . -； 注：非零條件不可去掉；因?yàn)槿绻? .，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)

6、數(shù)滿足條件；若f I, 則不存在實(shí)數(shù)滿足條件；(2)書中的解釋沒(méi)有明確說(shuō)明實(shí)數(shù) 】的惟一性。 4. 平面向量基本定理 設(shè)是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量， 那么對(duì)于該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量 -有且只有一對(duì)實(shí) 不共線的向量一 一叫做表示這一平面向量的一組基底 說(shuō)明：， 切匕二奉F - m (2)表示一個(gè)平面的基底有無(wú)數(shù)組 例題： 例1.判斷真假 單位向量都相等； 向量的模都是正實(shí)數(shù)； 共線向量一定在同一條直線上;(3)在給定的基底的前提下，平面的向量與實(shí)數(shù)對(duì) 與-一廠二|曹 的向量有 24 個(gè), 若止一- _二二匚_F二； 若ABCD是平行四邊形，則 解析：錯(cuò)，向量相等應(yīng)該是大小和方向都相等；單位向量只是

7、規(guī)定了大小為 1,方向可以 不同； 錯(cuò)，向量的模是指向量的大小，零向量的模為 0，不是正實(shí)數(shù)； 錯(cuò)，共線向量是指可以平移到同一條直線上的向量，如平行四邊形 ABCD中， AB = DC 但屁 DC 不在同一條直線上； 對(duì)；錯(cuò)，丄的方向不相同. 例2.如圖是4X3的矩形（每個(gè)方格都是單位正方形 ），在起點(diǎn)與終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的 向量中，試問(wèn)：與-二二相等的向量有幾個(gè)（不含一-!： ） ?與 忑平行且模幷忑 的向量有幾個(gè)？與 廊向且模梆 有幾個(gè)? 錯(cuò)，如圖, AB = m 成立，但 AB II CD不成立; 與-一廠二|曹 的向量有 24 個(gè), 解析：與-相等的向量有5個(gè), 與！卜同向且模為

8、拓有2個(gè)或 例 3.化簡(jiǎn) FT 1| 解：法一- 上:- 1 訃 1 =(AC-ABH(DB-DC)=BC+CB=6. 法 二 (AC+DB)-(AB+DQ = (AO+OC+DO+OB)-(AO+OB + DO+OC) = 6. 注意：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的最后結(jié)果都是向量，因此不可寫作 0. 例4.如圖，已知 ABC三邊中點(diǎn)為 D、E、F,求證： AD + BE+CF = O 證明：因?yàn)镈、E、F為中點(diǎn)， 所以:一 - I - _ 一 _ 一一丨 - 二(AB+BC + CA)+(BD+CE+AF) 十 I j 1 * 二 O+JBC+CA+AB) = O 發(fā)展：G ABC重心 GA+G

9、B+GC = O. + 斗 例5.如圖，在 AOB中，丄一 :. _ , BE: EA=1 : 2, F是OA中點(diǎn)，線段 0E與 BF交于點(diǎn)G,試用基底表示：(1) it； (2) _;(3)】J . 一. . . 1. 1 . 一. 9- 1 一. 1+ 2 - 解 (!) - - h Hk -I- 2. C 提示： 1L 一 - -1 - - k 1 - - 3. A提示：顯然kO,所以1 k 4. D 提示：A , B , C 共線則匕一1 一 - _ I 一- ： - _ 所以-一 I - -匚，貝0 m=1-k , n=k. 5. 丄 i-r.- : r . -W -. 十- 6.

10、二 二 8. 1提示：2x-y=5 , 4=x-2y，得x=2 , y=-1.向量的概念與運(yùn)算 本周教學(xué)內(nèi)容： 1. 向量的概念； 相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, I的相反向量記為 -!.規(guī)定：零向量 2. 向量的運(yùn)算（加法、減法、數(shù)乘）. 學(xué)習(xí)要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念; 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理 . 教學(xué)重難點(diǎn)： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對(duì)向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向

11、量共線的充要條件 知識(shí)要點(diǎn)： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量 向量的二要素：大小、方向 . 有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，如位移、力等，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，如速度等 .與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量 叫做自由向量，數(shù)學(xué)中所談及向量如無(wú)特別說(shuō)明，均指自由向量 2. 向量的表示：（1）幾何表示法：用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，或者用英文小寫字 母，并在字母上加箭頭表示，如 二卜 等. 注意：手寫體均需要加箭頭 .打印字體中向量一般用黑體來(lái)表示 . 3. 向量的相關(guān)概念： 模：向量的大小稱為模

12、零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的 單位向量：模為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若 丁 + 零向量和零向量相等，即 一 I. 一、相等，則記為-，規(guī)定: 的模分別記為 的相反向量是零向量，即 -口 0 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若 J平行，則記為 一:.由于數(shù)學(xué)中所研究向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平 行向量又叫做共線向量.規(guī)定：零向量和任意向量平行 注：(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大??； (2) 平行向量的定義中 非零”限制； (3) 相等向量

13、、相反向量、平行向量 (共線向量)的定義都有 規(guī)定” (4) 向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同： 九三CZ1時(shí), A、B、C、D四點(diǎn)是可以共線的，但 AB II CD成立時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)是不可以共線的。 二、向量的加法與減法 加 法 定 義 ： 丁八|-喬訂 三角形法 則) 注：需要明確一個(gè)向量的起點(diǎn)是另一個(gè)向量的終點(diǎn) 減法定義：- -b-a+(-b) 說(shuō)明：1.加法、減法的結(jié)果依然是一個(gè)向量； 2.若直祈共線，則a+bfa-HKl方冋與雪彌同問(wèn),|a+b|a|+|b 若- - L ?7 - -I 口. 若:皈向,若訥環(huán)貝iJa + fea同向，且|a+bH

14、a|-|b|; S|aj 記創(chuàng)=(X1, yi) , OB =(x 2, y2) 1 則 OAOB =(x 1+X2, yi+y2) OB-OA=( (X 2-x i, y2-y i) llr 4 他+屈=0B 實(shí)數(shù)與向量 的乘積 A討 = Xa 毗R T 記。=(x, y) 則iy) 兩個(gè)向量的 數(shù)量積 4 記迄二（知刃3=（勺”） 則 b =xiX2+yiy2 2. 運(yùn)算律亦 加法： - 一.（交換律）；A - （結(jié)合律） 實(shí)數(shù)與向量的乘積： f + 峠 + f f ! f f . - - J ； .J.-.1.； d,”r 兩個(gè)向量的數(shù)量積： TTTT 彳 TT T TT TTTT :

15、. ；（！-.）: =一. （）=（_. * 即若A（x，y），則丄=（x，y）;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量 丄坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo) 減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即 若 A(xi，yi)， B(X2，y2)，則人=(x 2-x 1，y2-y 1) （2）兩個(gè)向量平行的充要條件 符號(hào)語(yǔ)言: allba = 或 xiy2-X2yi=0. （3）兩個(gè)向量垂直的充要條件 今 T 符號(hào)語(yǔ)言:嚶 1 i dt- i = 0 坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量 ll.!，則一 （4）兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì): - :11 （垂直的判斷）； 四、規(guī)律方法指導(dǎo) 1. 向量的線性運(yùn)算 （1） 在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形 有機(jī)結(jié)坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量 :則 _./； (xi, yi)= (X2, y2), （求角度）. b -I 即 合，并能 利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明； （2） 向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法 的三角形法則應(yīng) 記住：連接兩端（兩向量的終點(diǎn)），指向被減（箭頭指向被減數(shù)）記清法則是靈活運(yùn)用 的前提 2. 共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題蠢 向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的線上或兩直線