二次函數y=ax^2的圖像和性質

1、 2 2246448212yx22yx2yx二次函數y=ax2的圖象和性質 (1) 一次函數的圖象是一條一次函數的圖象是一條_。(2) 通常怎樣畫一個函數的圖象？通常怎樣畫一個函數的圖象？(3) 二次函數的圖象是什么形狀呢？二次函數的圖象是什么形狀呢？ 一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c為常數為常數,a0),a0)的函數叫做二次函數的函數叫做二次函數.其中其中,x是自變量是自變量,a,b,c分別是函分別是函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項.二次函數二次函數: : 直線直線列表列表描點描點連線

2、連線 結合結合圖象圖象討論討論性質性質是是數形結合數形結合的研究函數的重要方法我們得從最簡的研究函數的重要方法我們得從最簡單的二次函數開始逐步深入地討論一般二次函數的圖象和性質單的二次函數開始逐步深入地討論一般二次函數的圖象和性質當當b=c=0時，二次函數時，二次函數y=ax2(a0)是最簡單的二次函數是最簡單的二次函數。x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2畫二次函數畫二次函數y=xy=x2 2的圖象的圖象解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描點描點(3) (3) 連線連線1 2 3 4

3、5x12345678910yo-1-2-3-4-5根據表中根據表中x,yx,y的數值在坐的數值在坐標平面中描點標平面中描點( (x,yx,y), ),再用再用平滑曲線平滑曲線從左至右從左至右順次順次連接各點連接各點, ,就得到就得到y(tǒng)=xy=x2 2的的圖象圖象. .y=xy=x2 2X的取值應注意什么？的取值應注意什么？x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=-xy=-x2 2請畫出函數請畫出函數y=y=x x2 2的圖象的圖象解解:(1) :(1) 列表列表 -9-9-4-4-1 -10 0-1 -1-4-4-9-9 (2) (2) 描點描點(3) (3) 連

4、線連線 根據表中根據表中x,yx,y的數值在坐的數值在坐標平面中描點標平面中描點(x,y),(x,y),再用再用平滑曲線平滑曲線從左至右從左至右順次順次連接各點連接各點, ,就得到就得到y(tǒng)=-xy=-x2 2的的圖象圖象. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 從圖象可以看出從圖象可以看出, ,二次函數二次函數y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的圖象都是一條曲線的圖象都是一條曲線, ,這條這條曲線叫做曲線叫做拋物線拋物線。 還可以看出還可以看出, ,二次函數二次函數y=xy=x2 2和和y=y=x x

5、2 2的圖象都是的圖象都是 圖形圖形, ,它們它們的對稱軸是的對稱軸是 . .拋物線拋物線與與對稱軸對稱軸的的交點交點叫做拋物線的叫做拋物線的頂點頂點. .y=xy=x2 2y=y=x x2 2y y軸（或直線軸（或直線x=0 x=0）軸對稱軸對稱a0時，時，開口向上，開口向上，拋物線有拋物線有最低點最低點a0a02yxy開口開口 ，并且向下，并且向下無限伸展無限伸展; 對稱軸是對稱軸是 . 頂點坐標是頂點坐標是 . 拋物線有拋物線有最高點（為頂點）最高點（為頂點），即當即當x= 時時,函數函數 y的值最的值最 ，最大值是最大值是 .（a0 x0), ), 圖象從左至右圖象從左至右 ，y y隨

6、著隨著x x的的增大而增大而 。1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-102yx（a0在在對稱軸的對稱軸的左側左側( (x0 x0), ),圖象從左至右圖象從左至右 ，y y隨著隨著x x的的增大而增大而 ；1.1.在在對稱軸的對稱軸的左側左側( (x0 x0 x0), ), 圖象從左至右圖象從左至右 ，y y隨著隨著x x的的增大而增大而 。下降下降減小減小上升上升增大增大上升上升下降下降減小減小增大增大增減性增減性當當x0 x0時時, ,y y隨著隨著x x的的增大而增大而 。1

7、 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-102yx（a0當當x0 x0時，時，y y隨著隨著x x的的增大而增大而 ；當當x0 x0 x0y y隨著隨著x x的的增大而增大而 。減小減小增大增大減小減小增大增大增減性增減性探究探究 在同一平面直角坐標系中畫出二次函數在同一平面直角坐標系中畫出二次函數 和和 的圖象的圖象, ,你會有什么發(fā)現(xiàn)？你會有什么發(fā)現(xiàn)？22xy221xy 在同一平面直角坐標系中畫出二次函數在同一平面直角坐標系中畫出二次函數 和和 的圖象，你會有什么發(fā)現(xiàn)的圖象，你會有什

8、么發(fā)現(xiàn)? 221xy 22xy 請請14小組合作探究小組合作探究(a0)：請請58小組合作探究小組合作探究(a0增減性相同增減性相同拋物線都有最低點拋物線都有最低點頂點坐標都是（頂點坐標都是（0，0）對稱軸都是對稱軸都是y軸軸開口都向上開口都向上f1x( ) = -2xxg1x( ) = -12xx 觀察函數觀察函數 的圖象，并比較：的圖象，并比較：y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2221xy探究探究均有均有a0a0圖圖象象開口方向開口方向頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸增增減減性性最值最值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y軸y軸（在對稱軸的左側）當（在對稱軸的左

9、側）當x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。（在對稱軸的左側）當（在對稱軸的左側）當x0時，時，y y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大。（在對稱軸的右側）（在對稱軸的右側）當當x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。1 1、函數、函數y=3xy=3x2 2的圖象的開口向的圖象的開口向 , ,對稱軸是對稱軸是 , ,頂點坐標是頂點坐標是 ；在對稱軸的左側，；在對稱軸的左側，函數值函數值y y隨隨x x的增大而的增大而 , ,在對稱軸的右側，函數值在對稱軸的右側，函數值y y隨隨x x的增大而的增大而 ；當；當x=x= 時，時，函數值函數值y y有有 （填（填“最大

10、最大”或或“最小最小”）值，為）值，為 . .上上y軸軸(0,0)2 2、已知、已知 y =(m+1)x y =(m+1)x 是二次函數且其圖象開口向下是二次函數且其圖象開口向下. .（1 1）求）求mm的值和函數的解析式；的值和函數的解析式；（2 2）x x在何范圍內，函數值在何范圍內，函數值y y隨隨x x的增大而增大？的增大而增大？x x在何范圍內，函數值在何范圍內，函數值y y隨隨x x的增大而減?。康脑龃蠖鴾p??？mm2 2+3m-2+3m-2解解: : （1 1）由題意得由題意得: :m+10 m+10 mm2 2+3m-2=2 +3m-2=2 解得解得:m:m1 1=4, m4, m2 2=1 =1 解得解得:m:m1 1 ； m=-4m=-4此時此時, ,二次函數解析式為二次函數解析式為: y=-3x: y=-3x2 2減小減小0最小最小0 （2）-30，開口向下，開口向下 增大增大當當x0時，函數值時，函數值y隨隨x的增大而減小的增大而減小.1.1.必做題必做題（1 1）教材第）教材第7 7頁練習第頁練習第3、4題。題。（2 2）已知函數）已知函數 是二次函數，且其圖象的開口向下。是二次函數，且其圖象的開口向下。求求 的值及函數的關系式，并回答的值及函數的關系式，并回答y