名師復(fù)習(xí)專題：總復(fù)習(xí)萬有引力理論的成就提高

1、萬有引力理論的成就編稿：周軍審稿：吳楠楠【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用. 2會用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量.3 理解并運(yùn)用萬有引力定律處理天體問題的思路、方法.【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、萬有引力與重力 要點(diǎn)詮釋：地球?qū)ξ矬w的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈?轉(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動，這就需要向心力.這個向心力的方向 是垂直指向地軸的，它的大小是 F向=mr 2，式中的r是物體與地軸的距離， 3是地球自轉(zhuǎn)的角速度.這 個向心力來自哪里？只能來自地球?qū)ξ矬w的引力 F,它是引力F的一個分力，如圖所示，引力F

2、的另一個分 力才是物體的重力 mg.在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運(yùn)動的角速度3相同，而圓周的半徑 r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最?。ǖ扔诹悖?緯度為a處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力F向二mR，2cos> （R為地球半方向相同，此時重力等于引力與向心力之差,-F向此時重力最小.向心力在一條直線上,圖中還可以看出重力徑）.由公式可見，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個分量，重力則隨緯度的升高而增 大，在兩極處r = Rcos90°= 0, F向=0 ,所以在兩極，弓I力等于重力.在赤道上，物體的重力、弓I力和mg 一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力

3、mg才指向地心.（1）重力是由萬有引力產(chǎn)生的，重力實(shí)際上是萬有引力的一個分力，物體的重力隨其緯度的增大而增 大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心.（2）物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計(jì)算中, 可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的萬有引力，即mg二G罌.R2要點(diǎn)二、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法要點(diǎn)詮釋：（或衛(wèi)星）的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，由恒星對其行星（或行星對其衛(wèi)星）的萬有引力提供向心力.運(yùn)用萬有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量.下面以地球質(zhì)量的計(jì)算 為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法.（1）若已知月球繞地球做勻速圓周

4、運(yùn)動的周期為T,半徑為r，根據(jù)萬有引力等于向心力，即2GM地口月=m月 r '，可求得地球的質(zhì)量rIT丿4 二2rGT2(2) 若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑 球做勻速圓周運(yùn)動的向心力，得2M地m月vG 2m月-rrr和月球運(yùn)行的線速度 v,由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠?可得地球的質(zhì)量為M地=rv / G (3) 若已知月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T,由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動的向心力，得=m月v2/r 以上兩式消去r，解得M 地二 v 17(2 G)(4) 若已知地球的半徑 R和地球表面的重力加速度 g,根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力, 得2mg =6也地

5、空，解得地球的質(zhì)量為 M地二 R2G要點(diǎn)三、天體密度的計(jì)算 要點(diǎn)詮釋：(1) 利用天體表面的重力加速度來求天體的自身密度.GMm門4 3由mg廠和MR ,R3得型.4兀GR其中g(shù)為天體表面的重力加速度，R為天體半徑.(2) 利用天體的衛(wèi)星來求天體的密度.設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動的軌道半徑為r，周期為T,天體半徑為 R,則可列出方程:2Mm4-G 一廠=m 廠r , rT4二 2r3/GT 24 二 R333二 r 3GT2R3當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動時，其軌道半徑r等于天體半徑 R,則天體密度為要點(diǎn)四、發(fā)現(xiàn)未知天體要點(diǎn)詮釋：發(fā)現(xiàn)海王星天王星的“出軌”現(xiàn)象，激發(fā)了法國青年天文學(xué)家勒維耶和英國劍橋大學(xué)

6、學(xué)生亞當(dāng)斯的濃厚興趣勒 維耶經(jīng)常到巴黎天文臺去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計(jì)算的結(jié)果對比亞當(dāng)斯也不斷 到劍橋大學(xué)天文臺去，他還得到一份英國皇家格林尼治天文臺的資料，這使他的理論計(jì)算能及時跟觀察資 料比較他們兩人根據(jù)自己的計(jì)算結(jié)果，各自獨(dú)立地得出結(jié)論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā) 現(xiàn)的行星” 這就是海王星.憑借著萬有引力定律，通過計(jì)算，在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新的天體，這充分地顯示了科學(xué)理論的威力.要點(diǎn)五、解決天體運(yùn)動問題的基本思路 要點(diǎn)詮釋：(1)將行星繞恒星的運(yùn)動、衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動均視為勻速

7、圓周運(yùn)動，所需向心力是由萬有引力提供 的根據(jù)圓周運(yùn)動的知識和牛頓第二定律列式求解有關(guān)天體運(yùn)動的一些物理量，有如下關(guān)系：2 2Mmv24G 2ma向二 m mr m v = mr 2-rrT若已知環(huán)繞中心天體運(yùn)動的行星(或衛(wèi)星)繞恒星(或行星)做勻速圓周運(yùn)動的周期為 T,半徑為r,根據(jù)萬有引力提供向心力可知:_ Mm4二2G2mr -rT得恒星或行星的質(zhì)量.234二 rM2GT2此種方法只能求解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量.(2)若已知星球表面的重力加速度g'和星球的半徑， 忽略星球自轉(zhuǎn)的影響， 則星球?qū)ξ矬w的萬有引力等于物體的重力，有G詈=mg ,gR2其中G

8、M =g R2是在有關(guān)計(jì)算中常用到的一個替換關(guān)系，被稱為“黃金代換”【典型例題】類型一、萬有引力的計(jì)算例1、已知地球的質(zhì)量大約是 M = 6. 0 X 1024kg，地球的平均半徑為 R = 6370 km，地球表面的重力加 速度g取9. 8 m/s2 .求：(1) 地球表面一質(zhì)量為10 kg的物體受到的萬有引力；(2) 該物體受到的重力；(3) 比較說明為什么通常情況下重力可以認(rèn)為等于萬有引力.【思路點(diǎn)撥】明白重力與萬有引力的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵?！窘馕觥?1)由萬有引力定律得：F =G 廠，代入數(shù)據(jù)得：F= 98. 6 N.r(2) 該物體受到的重力為 mg = 98N .(3) 比較結(jié)果

9、萬有引力比重力大.原因是在地球表面上的物體所受萬有引力可分解為重力和隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力但計(jì)算結(jié)果表明物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力遠(yuǎn)小于它受到的萬有引力，所以通常情況下 可認(rèn)為重力等于萬有引力.【點(diǎn)評】舉一反三【變式】(2015山東學(xué)業(yè)水平檢測)要使可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物體間萬有引力減小到原來的1 一-,可采取的2重力是由萬有引力產(chǎn)生的，它與萬有引力能不能視為相等，關(guān)鍵要看題目的條件.方法是(A .兩物體間距離保持不變，兩物體的質(zhì)量均減為原來的B 兩物體間距離保持不變，僅一個物體的質(zhì)量減為原來的C .兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼腄 .兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?，則萬有引

10、力2【答案】B【解析】根據(jù)F =Gm1m2知，兩物體間距離保持不變，兩物體的質(zhì)量均減為原來的r1，則萬有引力減為減為原來的一，故A錯誤；兩物體間距離保持不變，僅一個物體的質(zhì)量減為原來的41 一 1原來的一，故B正確；兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼模瑒t萬有引力變?yōu)樵瓉淼?4倍,2 21故C錯誤；兩物體質(zhì)量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則則萬有引力減為原來的 一，故D錯4誤。類型二、補(bǔ)償法計(jì)算萬有引力例2、如圖所示，一個質(zhì)量為 M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為 R.如果從球上挖去一個直徑為 R的球，放在 相距為d的地方求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大？(1) 從球的正中心挖去；

11、(2) 從與球面相切處挖去；并指出在什么條件下，兩種計(jì)算結(jié)果相同？【思路點(diǎn)撥】所求萬有引力可由均質(zhì)實(shí)心球與m間的萬有引力減去所挖去的小球與m間萬有引力求得。【解析】根據(jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系M =4二r'T二r3，兩部分的質(zhì)量分別為37M(1)如圖甲所示，根據(jù)萬有引力定律，這時兩球之間的引力為F17 M2 韋G孑(2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計(jì)算.為此，可利用等效割補(bǔ)法， 先將M'轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)心球M,這時，兩者之間的引力為F =GMm64 (d-R/2)2由于填補(bǔ)空心球而增加的引力為mm(d -R/2)264G (d -

12、R/2)2所以，這時M '與m之間的引力為1 - 1 1F2 二 F - FGM2 28|d2 8(d - R/2)2當(dāng)d遠(yuǎn)大于R時，M '可以視為質(zhì)點(diǎn)這時，引力變?yōu)?F2 二 F - F GM8117 G M2 _ 二G2d8d64dMm mg =G-r ,所以M亙，可解得GM 星：M 地=1:80.即這時兩種計(jì)算結(jié)杲相同.【點(diǎn)評】萬有引力定律表達(dá)式F GMm只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間變力，在高中階段常見的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量r分布均勻的球體，因而利用“割補(bǔ)法”構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識可求“缺失” 球間的引力.類型三、天體表面重力加速度問題例3、宇航員在地球表面以一定

13、初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處.(取地球表面重力加速度 g= 10m/s2,空氣阻力不計(jì))(1) 求該星球表面附近的重力加速度g(2)已知該星球的半徑與地球半徑之比R星：R地 = 1： 4,求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星：M地.【思路點(diǎn)撥】本題是平拋運(yùn)動與萬有引力知識的綜合題目。【解析】(1)依據(jù)豎直上拋運(yùn)動規(guī)律可知，地面上豎直上拋物體落回原地經(jīng)歷的時間為：t二 紐,g在該星球表面上豎直上拋的物體落回原地所用時間為：5t = ，所以 g =1 g = 2m / s2.g5(2) 星球表面物體所受的重力等

14、于其所受星球的萬有引力，則有【點(diǎn)評】本題主要考查學(xué)生的類比遷移能力、對物理過程的分析能力以及運(yùn)用所學(xué)知識處理問題的實(shí) 踐應(yīng)用能力.把豎直上拋運(yùn)動的規(guī)律遷移到星球上運(yùn)用.舉一反三【變式1】如果地球表面的重力加速度為g,物體在距地面 3倍的地球半徑時的重力加速度為g'。則二者加速度之比是A 1 : 91B、9: 1 C 1 : 16 D、16: 1【答案】D【解析】 距地面的高度為3R,則距地心為4R,根據(jù)萬有引力公式有:MmmG-R2-mg=GMm(4R)2解上述方程得g =1-gf 1類型四、天體質(zhì)量、密度的計(jì)算例5. 1976年10月，劍橋大學(xué)研究生貝爾偶然發(fā)現(xiàn)一個奇怪的放射電源，它

15、每隔1.337s發(fā)出一個脈沖訊號貝爾和他的導(dǎo)師曾認(rèn)為他們和外星人接上了頭，后來大家認(rèn)識到，事情沒有這么浪漫，這類天體 被定名為“脈沖星”，“脈沖星”的特點(diǎn)是脈沖周期短，且周期高度穩(wěn)定，這意味著脈沖星一定進(jìn)行準(zhǔn)確的 周期運(yùn)動，自轉(zhuǎn)就是一種很準(zhǔn)確的周期運(yùn)動.(1) 已知蟹狀星云的中心星 PSO53I是一顆脈沖星，其周期為 0. 331 s, PSO531的脈沖現(xiàn)象來自自轉(zhuǎn)， 設(shè)阻止該星離心瓦解的力是萬有引力，試估算PSO531的最小密度.(2) 如果PSO531的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量， 該星的可能半徑最大是多少 ?(太陽的質(zhì)量是 M = 2X 1030 kg) 【思路點(diǎn)撥】本題中，脈沖星脈沖周期即為

16、其自轉(zhuǎn)周期，星體上質(zhì)點(diǎn)隨其高速自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力，星體不離散的條件是萬有引力大于或等于向心力，這是關(guān)鍵信息.在此基礎(chǔ)上可取星體表面一物體為 研究對象，建立勻速圓周運(yùn)動模型，列出方程，再與一些輔助方程聯(lián)立即可求解.【解析】脈沖星周期即為自轉(zhuǎn)周期.脈沖星高速自轉(zhuǎn)不瓦解的臨界條件為：該星球表面的某物體 m所受星體的萬有引力恰等于向心力.(1)設(shè)PSO531脈沖星的質(zhì)量為 M，半徑為R,最小密度為p，體積為V,Mm4二2 fG 2 m 亍 R,R2T2又P =而V -解得P =1 1 .(2)由V 二MV43?：R，3 :_2 _3 3. 1 4GT26. 6 7 1010. 32331/1233

17、X 10 kg/m .3,3得“圧廠E廠mY4 皿 5=7. 16X 10 m.【點(diǎn)評】對于信息題，不少學(xué)生解題時往往大致看一下題目后，覺得這種題從沒見過就喪失信心，自動放棄，不愿仔細(xì)閱讀、認(rèn)真分析，或者在沒有明確題意的情況下，草率完成題目.其實(shí)這類題完全是“大原理，善于提取題中的有用信息.舉一反三【高清課程：萬有引力定律的應(yīng)用例1】【變式1】一宇航員為了估測一星球的質(zhì)量，他在該星球的表面做自由落體實(shí)驗(yàn)：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經(jīng)時間 t小球落地，又已知該星球的半徑為R,試估算該星球的質(zhì)量?！敬鸢浮縢R22hR2Gt【變式2】設(shè)地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，半徑為R,速率為v,則太陽的

18、質(zhì)量可用 v、R和引力常量G表示為太陽圍繞銀河系中心的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動速率約為地球公轉(zhuǎn)速率的7倍，軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的2X 109倍.為了粗略估算銀河系中恒星的數(shù)目，可認(rèn)為銀河系中所有恒星的質(zhì)量都集中在銀河系中心，且銀河系中恒星的平均質(zhì)量約等于太陽的質(zhì)量，則銀河系中恒星的數(shù)目約為v2Rn【答案】10G【解析】地球圍繞太陽運(yùn)動， 而兩者間的萬有引力是其做勻速圓廚運(yùn)動的向心力,則由2GMm vR2可得Mv2R設(shè)太陽的運(yùn)動速率為9GnM2 ulv',貝y v '= 7v.軌道半徑 r = 2X 10 R，貝y 949v，所2"09R2 49 109R

19、v2GM，又因?yàn)镸v2R11故 n =10 個.類型五、雙星問題例6、天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中 很普遍禾U用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它 們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動，周期均為T,兩顆恒星之間的距離為r,試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量.（引力常量為G）【思路點(diǎn)撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬有引力，要做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動，只有依靠萬有 引力提供向心力，又因以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，所以半徑之和不變，故運(yùn)動過程中角速度不變，再由萬 有引力定律可以解得?！窘馕觥吭O(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為

20、m2,做勻速圓周運(yùn)動的半徑分別為口、耳，角速度分別為3 1、3 2 根據(jù)題意有3 1 =3 2 +2= r根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有m1m222G 2m? 打 22r聯(lián)立式解得r1 =m2rmim2根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知2兀；.-；”=2 聯(lián)立式解得mim2T2G【點(diǎn)評】由于雙星做勻速圓周運(yùn)動的角速度相等，其軌道半徑和線速度均與雙星的質(zhì)量成反比.舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng) 的運(yùn)動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星 A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響

21、，A、B圍繞兩者連線上的 0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G由觀測能夠得到可見星 A的速率V和運(yùn)行周期T。(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于 0點(diǎn)處質(zhì)量為 m，的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對它的引力，設(shè)A 和B的質(zhì)量分別為 mt、m2，試求m (用m、m2表示)(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率V、運(yùn)行周期T、和質(zhì)量mi之間的關(guān)系式?！窘馕觥?1 )設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速度相同,設(shè)其為°由牛頓運(yùn)動定律，有 FA = mf，2： , FB = mt, FA = Fb設(shè)A、B之間的距離為r,又r =

22、r2，由上述各式得r =也一匹rfm2由萬有引力定律，有faG r_ G2 2(m mJ ri人mm"令Fa =G才ri比較可得m2(m m2)* 2(2 )由牛頓第二定律，有=m,又可見星A的軌道半徑nvT綜上可得33-.-m2v2"=(m m2)2G【高清課程：萬有引力的應(yīng)用例8】【變式2】所謂“雙星”，就是太空中有兩顆質(zhì)量分別為M和M2的恒星，保持它們之間的距離不變,以它們連線上的某一位置為圓心，各自作勻速圓周運(yùn)動 ()A. 它們運(yùn)行的周期之比 Ti：T2 = M:MiB. 它們的回轉(zhuǎn)半徑之比 ri：2=M:MiC. 它們的線速度大小之比 vi：V2=M:Mi如圖所示不計(jì)其它星球?qū)λ鼈兊淖饔昧?。則D.它們的向心加速度大小之比ai：a2=MMi/ft【答案】BCD類型六、三星問題例7、(20i5安徽高考)由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，