解三角形專題突破一

1、專題突破一 三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于公式較多且性質(zhì)靈活，解題時 稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié) 合例子談?wù)勗诮馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘.隱含條件1兩邊之和大于第三邊例1 已知鈍角三角形的三邊 a = k, b = k+ 2, c= k+ 4,求k的取值范圍.解 設(shè)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.t c>b>a,且厶ABC為鈍角三角形，C為鈍角.2 2 2 2 a2 + b2 c2 k2 4k 12由余弦定理得 cos C ='=<0.2ab2k(k+ 2)

2、k2 4k12<0，解得-2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k+ (k+ 2)>k+ 4, k>2,綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.反思感悟雖然是任意兩邊之和大于第三邊，但實際應(yīng)用時通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就可以.跟蹤訓(xùn)練 1 在厶ABC中，AB = 6, AC = 8,第三邊上的中線AD = x，貝U x的取值范圍是.答案(1,7)解析 以AB, AC為鄰邊作平行四邊形 ABEC，貝U BE = AC= 8.AE = 2x.2x+ 6 > 8,由 2x+ 8 > 6,解得 1 v xv 7.6 + 8> 2x,

3、 x的取值范圍是(1,7).隱含條件2三角形的內(nèi)角范圍例2已知 ABC中，B= 30° AB= 2 3, AC= 2,則厶ABC的面積是答案2 .3或 3解析由正弦定理，得sin C= AB：； B=.AC2 C= 60°或 C= 120°當(dāng) C= 60°時，A = 90°則S ABC = |ab AC sin A = 2®當(dāng) C= 120°時，A = 30°,則 Sabc = 2ab AC sin A = .3. ABC的面積是2 3或3.反思感悟利用正弦定理解決“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”問題時，由于三

4、角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確出錯.1跟蹤訓(xùn)練2 在厶ABC中，角A,B, C的對邊分別為 a, b, c.若asin Bcos C+ csin Bcos A = b,貝H B=.答案n或5 n6 61解析 由正弦定理，得 sin As in Bcos C + sin Cs in Bcos A= s in b./ 0 v B v n sin B 豐 0.1 sin A cos C+ cos Asi n C=夕1 1sin(A+ C) = 2，sin( n B)=夕1sin B= 2.又 B (0, n, B= 或 B= 5 n.2例3在厶ABC中，

5、角A, B, C的對邊分別為a, b, c.嚴(yán)A=書，試判斷三角形的形狀.tan B b2 2解由t黑=醫(yī)和正弦定理，得sOsASB=踹又a，Be(o, n,cos B sin A tCOS7=耐'即 sin Acos A=sin Bcos B， 即 sin 2A= sin 2B, /. 2A= 2B 或 2A+ 2B = n.n A= B 或 A + B= 2. ABC是等腰三角形或直角三角形.反思感悟 在厶ABC中，sin A= sin B? A = B是成立的，但 sin 2A= sin 2B? 2A= 2B或2A + 2B= 180 °跟蹤訓(xùn)練 3 ABC的內(nèi)角 A,

6、 B, C的對邊分別為 a, b, c.若 c-a = 2acos B,貝U B- 2A答案 0解析 由正弦定理，得 sin C sin A = 2sin Acos B.T A+ B + C= n - C= n (A+ B), sin C sin A= sin(A+ B) sin A=sin Acos B+ cos Asi n B sin A=2si n Acos B, sin Bcos A cos Bsin A= sin A, sin(B A)= sin A./ A, B (0, n . - B A= A 或 B A= n A(舍). B 2A= 0.例4在厶ABC中，角A, B, C的對邊

7、分別為a, b, c.B= 3A，求b的取值范圍.ab sin B sin 3A解由正弦定理得-= a sin A sin Asin A + 2A sin Acos 2A + cos As in 2Asin Asin A2 2=cos 2A+ 2cos A = 4cos A 1.A+ B + C= 180° B= 3A, A+ B = 4A<180° , 0°<A<45°，才<cos A<1 ,2b 1<4cos A 1<3 , 1<一<3.反思感悟 解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取

8、值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.跟蹤訓(xùn)練4 若在銳角厶ABC中，B= 2A,則A的取值范圍是 .解析答案由厶ABC為銳角三角形,0< A v 2,Ov C= n A B= n- 3A < ?,例5 設(shè)銳角 ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且a = 2bsin A.(1)求B的大?。磺骳os A+ sin C的取值范圍.解 由正弦定理及a= 2bsin A得，壬;=生=2b, sin B =1,sin A sin B2又 b o, n,n n6 2'(2)由厶ABC為銳角三角形，得0< B=2<7o

9、< c=6a < 2,解得n< a < ncos A+ sin C= cos A+ sin < sin A+-2 v 3sin A + 3n 33 V 2. cos A+ sin C的取值范圍為反思感悟事實上，銳角三角形三個內(nèi)角均為銳角對角A的范圍都有影響，故C = n A B2 由此得A 3, 2 .跟蹤訓(xùn)練5 銳角 ABC中，B = 60° b = 2<sin 2A ，求 ABC面積S的取值范圍.解由正弦定理,b近a= sin A= r sin A= 2si n A.sin B_J2同理 c= 2sin C,G 11 - S= jacsin B

10、 = ?2sin A 2sin C sin 60罕訟 1， ¥<¥sinA即S的取值范圍為=J3s in As in C,A+ B + C= n C= n A B= 3 A.3又 A, C為銳角,2 n n n n °<2TA<n 6<A<n S= 3s in As in 手-A2 n2 n=,3si n Asin cos A coss in332=jsin Acos A+ ysin A3 3 1 cos 2A=sin 2A+ 丁 2fsin 2A .n n n n 5'6<A<2， ' 6<2A 6

11、<6 n,達(dá)標(biāo)檢測1 .在 ABC中，必有()A . sin A+ sin B v 0B. sin A + cos B v 0C. sin A+ cos B> 0D. cos A + cos B> 0答案 D解析 在厶 ABC 中，A+ B V n, 0v Av n- B V n. cos A> cos( n B) = cos B. cos A+ cos B> 0.352 .在 ABC 中，已知 sin A = 5, cos B =石，貝卩 cos C=答案1665解析 若A為鈍角，由sin A= gv申，知A >今52351又由 cos B = 13v 2

12、.知B>n從而A+ B> n.與A+ B + C = n矛盾. A為銳角，cos A= 45'亠5/口12由 cos B= 13,得 sin B=石. cos C= cos(A + B) =(cos Acos B sin Asi n B)h'45 3x 入 入.513 51316=65.3. 在 ABC中，C = 120 ° c=Q2a，貝U a與b的大小關(guān)系是 ab.答案 >，整理得a2= b2a+ ab>b , a>b. + b2 c2a2 + b2 (J2a解析 方法一由余弦定理cos C =，得cos 120 =2ab2ab方法/

13、 C= 120° A+ B = 60° A> 30° Bv 30° / a> b.4 .在 ABC中，若b2= ac,則b的取值范圍是.a答案呼解析 設(shè)=q,則由b2= ac,得-=c = q.aa b2 b = aq, c= aq ._ 2a + b> c,a + aq> aq ,由 a + c> b, 得 a + aq2> aq ,.b + c> a,. aq+ aq > a,c5 .在鈍角厶ABC中，2B= A+ C, C為鈍角，-=m,貝V m的取值范圍是 a答案 (2,+R )c sin C又c&

14、gt; nsina = sin A = sin A).12Si n A + "cos Asin A解析 由A + B+ C= 3B= n,知B =才 m (2 , + g).Ln6. 在 ABC中，若c=.2 , C= 4,求a- b的取值范圍.解C = :, A + B = 3 n外接圓直徑2R= sinea =2Rsin A 2Rs in B=2si n A 2s in B=2sin A 2sin 3T 0 V A V 3n,即 a( 1,2).針對訓(xùn)練一、選擇題1 .已知三角形三邊之比為5 : 7 : 8,則最大角與最小角的和為 （）A. 90 ° B. 120 &#

15、176; C. 135 ° D. 150 °答案 B0,則由余解析 設(shè)最小邊為5,則三角形的三邊分別為5,7,8,設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為1弦定理可得 49= 25 + 64 80cos0,解得 cos 0= -, / 灰（0 °, 180°）, 0= 60°則最大角與最小角的和為180° 60° = 120°2 .在 ABC 中,A = n，BC = 3,AB= .6，則C等于（n 、. 3 nA4或4n nc.4 D.6答案 CBC解析由 AABC,得 sin C=¥sin A sin C2n BC

16、= 3, AB = 6, A>C，貝U C 為銳角，故 C= n.3.在 ABC 中，a= 15, b= 20, A= 30° 貝U cos B 等于()A. ±3 Bl C. 才 D.答案 A2解析由正弦定理得sin B = 2,如圖所示.3過 C 作 CD 丄 AH, D 為垂足，在 Rt ACD 中，得 CD = AC in 30 =20X sin 30 = 10,10<15<20, 以C為圓心，以15為半經(jīng)作弧，該弧與 AH交于兩點，即 B有兩解. cos B=4. 已知 ABC 中，sin A : sin B : sin C = k : (k+

17、1) : 2k,則 k的取值范圍是()A . (2,+s ) B . i, 0) C. -2, 0 D. 2 , +m 答案 Da+ b>c,a+ c>b,解析由正弦定理得 a= mk, b= m(k+ 1), c= 2mk(m>0),m 2k+ 1 >2mk, 即3mk>m k+ 1 ,k>|.J35. 在 ABC中，三邊長分別為 a 2, a, a+ 2，最大角的正弦值為 石，則這個三角形的面積為（)15A.15.321.335.3B.C.D._444答案B解析-三邊不等，最大角大于60 .設(shè)最大角為a,故a所對的邊長為a + 2, - sin a= 2

18、 , - a= 120°由余弦定理得(a + 2)2= (a 2)2+ a2+ a(a 2)，即 a2= 5a,故 a = 5，故三邊長為 3,5,7, Sabc =2 X 3X 5X sin 120 ° 寧.則厶ABC的形狀是（）B .等腰三角形D .直角三角形/ B B=n4'.asin Acsin C sin C= 2sin A = 2sin C = 2-cosC+sin C , cos C = 0,6 . ABC 中，若 lg a Ig c= Ig sin B= lg 2且 B 0,A .等邊三角形C .等腰直角三角形答案 C 解析 / lg a lg c=

19、 lg sin B = lg 2,.a2=sin B, sin B =c2=0.n C (0, n) C=-.n A= n B C = 4仏ABC是等腰直角三角形.故選 C.7. (2017 全國 I ) ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a, b, c.已知 sin B + sin A(sin C cos C)=0, a= 2, c= 2,貝U C 等于()nnnnA.正B.6 C4 d3答案 B解析因為a = 2, c= 2,所以由正弦定理可知，急=sdC，故 sin A = . 2sin C.又 B= n (A + C), 故 sin B + sin A(sin C cos C

20、) =sin (A + C) + sin Asin C sinAcos C =sin A cos C+ cos Asin C+ sin Asin C sin Acos C =(sin A + cos A)sin C又C ABC的內(nèi)角,故 sin Cm 0, 則 sin A + cos A= 0, 即卩 tan A = 1.3 n 又 A (0, n,所以 A =.從而 sin C=-sin A=當(dāng)=1.y/2222由a=3n知，c為銳角，故c=n46故選B.二、填空題1 n8. 設(shè) ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a = . 3, sin B= 2，C = 則b=答案 11解析

21、因為sin B=且B (0, n, 所以B=n或?qū)? 6又因為c=n,6n_2 n所以 B=；, A= n B C=y.63又因為a=3,由正弦定理得asin Absin B,2 nSin亍nsin解得b = 1.1又 sin Bsin C > 0， sin A = 7由余弦定理得2 2 2 b + c a cos A =84門2bc_ bc> ， cOs A專,bc= cosA=誓, Sbc = 2bcsin A= 2 x 誓 x 1=2.33 .10 .若 ABC的面積為£2,-24 '(a2 + c2 b2)，且C為鈍角，則B=；a的取值范圍是答案 n(2,

22、+)解析由余弦定理得a2 + c2 b2= 2accos B.3 22.2-S= Y(a + c b ),13 acsin B= 丁 x 2accos B, tan B = 3,又 B (0, n,nB= 3'又TC為鈍角,2 nn C= 3- A> 2，c由正弦定理得-a2bc.312cos A + 2sin A131=_+ sin A22 tan A0 < tan A<h，盤 > 3, a>2+于x 3=2,c即 C> 2.ac蔦的取值范圍是(2,+s).a 三、解答題2 n11.在 ABC中，設(shè)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知C

23、 = , c= 3，求 ABC周3長的取值范圍.解由正弦定理得 聶=snB=sn丁2, / a = 2sin A, b = 2sin B,sin A+ sin則厶ABC 的周長為 L = a + b + c= 2(sin A + sin B) + ,3= 2 =2 sin A + _23cos A *sin A + . 3=2 *sin A+cos A + 3=2si na+n+ 3.n“n八八兀nn 2 n-°<B=亍a<3 , °<a<3 3<A+3<亍, ABC周長的取值范圍是(2 3, 2 + 3.b, c已知 bsin A =

24、acos *12 .在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為 a, (1)求角B的大小;設(shè) a= 2, c= 3,求 b 和 sin(2A B)的值.解心ABC中，由正弦定理 黑=壯,可得 bsin A = as in B.又由 bsin A= acos B f ,得 as in B= acos B f , 即 sin B = cos® 所以 tan B =電.又因為B (0 , n,所以B= 3.n(2)在厶ABC中，由余弦定理及 a= 2 , c= 3 , B = 3 , 得 b2= a2 + c2 2accos B = 7 ,故 b = 7.由 bsin A= acos

25、B f，可得 sin A = 因為av c,所以cos A =纟嚴(yán) 因止匕 sin 2A= 2sin Acos A= 41-3 cos 2A= 2cos2A 1 = 1.所以 sin(2A B) = sin 2Acos B cos 2Asin B =亜 1 1 慮=727214 .n13. （2018河北省衡水中學(xué)調(diào)研）如圖，在 ABC中，B= 3，D為邊BC上的點，E為AD上 的點，且 AE= 8, AC = 4 10,/ CED =才.(1)求CE的長；若CD = 5,求cos/ DAB的值.解(1)由題意可得/ AEC = n = 3nt,44在厶AEC中，由余弦定理得2 2 2AC =

26、 AE + CE 2AE CEcos/ AEC ,所以 160= 64 + CE2 + 8 2CE,整理得 CE2 + 8 2CE 96= 0,解得 CE = 4 ,2.故CE的長為4 2.CECD在 CDE中，由正弦定理得sDi=爲(wèi)/DED， 即=：sin / CDE . nsin ,44所以 sin/CDE = 4.5n因為點D在邊BC上，所以/ CDE>B = 3,所以/ CDE只能為鈍角,3所以 cos/ CDE=5,所以 cos/ DAB = cos / CDE 扌=cos/ CDEcos sin/ CDE sin=3x打4x仝=仁口52 T 5210Q探究與拓展14. (2018福建省三明市第一中學(xué)月考)在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且b2= a2+ be,