考點(diǎn)20圓錐曲線的基本量問(wèn)題解析版

1、考點(diǎn)20圓錐曲線的基本量問(wèn)題19【知識(shí)框圖】考點(diǎn)20圓錐曲線的基本量問(wèn)題【自主熱身歸皺總結(jié)】【問(wèn)題探究f蚯C訓(xùn)練】題型一啊園的標(biāo)準(zhǔn)方程'、題里二國(guó)錐曲線的離心率問(wèn)題【自主熱身，歸納總結(jié) 】1、（2019無(wú)錫期末）以雙曲線x55的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是【答案】y2= 12xx2【解析】雙曲線；4y2= 1的右焦點(diǎn)為F（3, 0），設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= 2px（p>0），則p = 3,故p = 6,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= 12x.2、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知雙曲線2xC的方程為42y 1，則其離心率為【解析】因?yàn)閍24 ,b21，所以2 2.2cab5，故離

2、心率為ec2_5a 23、（2019泰州期末）若拋物線y2= 2px（p>0）的準(zhǔn)線與雙曲線x2 y2= 1的一條準(zhǔn)線重合，則 p=【答案】 2【解析】雙曲線中：c= 2，所以雙曲線的準(zhǔn)線為：x =±；=±22，因?yàn)閽佄锞€的開(kāi)口向右，準(zhǔn)線為x=p，所以p= 22，解得 p= 2.4、（2019南京、鹽城一模） 若雙曲線y 匚=1的離心率為2,則實(shí)數(shù)m的值為2 m【答案】6【解析】由題意，a2= 2, b2= m, e= c= 2, 即卩 c2= （2a）2= 4a2 = 8= a2+ b2= 2+ m，所以 m= 6. a5、（2019蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系 xO

3、y中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3, 1），則該雙曲線的離心率為 【答案】10【解析】思路分析由漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3, 1）,確定a, b的比值.y X設(shè)雙曲線方程為y2 ,2 = 1（a>0, b>0），則漸近線方程為 by±ax= 0.a b由點(diǎn)（3, 1）在一條漸近線上，得b= 3a,所以 a : b : c ： = 1 : 3 :錄 10,離心率 e= £=10.解后反思雙曲線號(hào)一y2= 1的兩條漸近線方程為a b2 2x2x2a2 b20.6、（2019常州期末）已知雙曲線C:x2 y2曠 y2= 1(a>0,b>0

4、）的離心率為2，直線x + y + 2=0經(jīng)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，則雙曲線 C的漸近線方程為【答案】y= 土 3x【解析】直線 x + y + 2= 0中，令y = 0，得x = 2，所以c= 2.因?yàn)閏= 2，所以a= 1.由a2 + b2= c2,得b=a3，所以漸近線方程為 y =± ax,即y = 土 3x.ax2 y27、（2017年南通一模）已知橢圓m +半=1（m>n>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2, P是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點(diǎn)，貝U PF1 PF2 =【答案】2n m 解法 1 PF1 PF2= (PO+ OF1) (PO + OF2) = (PO+

5、 OF1) (PO O? 1) = |PO|2|OF=n (m n)= 2n m.解法 2 設(shè) F1( c,0), F2(c,0), P(x, y)，則 x2 + y2= n, PF1 PF2= (x+ c)(x c) + y2= x2 + y2 c2= n (mn)= 2n m.8、 （2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線y2= 2px（p>0）的準(zhǔn)線為I，直線lx2與雙曲線 牛y2= 1的兩條漸近線分別交于A , B兩點(diǎn)，AB =礪，則p的值為.4【答案】2 6【解析】拋物線的準(zhǔn)線I方程為x=；，雙曲線的兩條漸近線為y= ±2x，令x =；，

6、則y =斗，所以AB=2 = 6，所以p= 2 6，故答案為2 6.x2y2、，9、 （2017南京三模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線22 3m = 1的焦距為6,則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合是.【答案】©【解析】由題意可得：m 0又因?yàn)殡p曲線的焦距為 6,所以2m2 3m 933解得m 3 （舍）或m ，故實(shí)數(shù)m取值集合為一.222 2 2 210、（2018蘇州期末）已知雙曲線 C: a b = 1（a>0, b>0）與橢圓磊+器=1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)Fi,F2分別為雙曲線C的左、pf2右焦點(diǎn)，p為右支上任意一點(diǎn)，則的最小值為【答案】8【解析】：

7、設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為印，短半軸長(zhǎng)為bi,半焦距為c,則c= a2 b?= 16 12 = 2，故橢圓的離心率e1= c = 1，從而雙曲線的離心率e= c= 1 = 2，可得a= 1，根據(jù)雙曲線的定義有PF1 PF2= 2a,即a1 2a e1'PF1= PF2 + 2，故ppF1= （ PFPF 2） =卩円+詈卩2* 4 =卩卩2+ pF + 4,由雙曲線的范圍可得 PF2> c a= 1,根 據(jù)基本不等式可得 pf2 + pF + 4> 2 PF2X pF + 4= 8,當(dāng)且僅當(dāng)pf2= pF，即pf2= 2時(shí)取“=”，所以pf2的最小值為8.PF2【問(wèn)題探究，變式訓(xùn)練

8、】題型一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)點(diǎn)撥：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本質(zhì)就是要求a, b的值，為此，要找到兩個(gè)關(guān)于a, b的方程組，題目中往往涉及到離心率或者點(diǎn)在圓上。x2 v2例1、（2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:孑+缶=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B且與AB垂直的直線與直線 0P交于點(diǎn)Q.1已知橢圓C的離心率為夕點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為 6.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；求出a, c的值，進(jìn)而確定b的值，得到橢圓的準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m, n），用m n表示xo,然后再減元轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元函數(shù)求求其值

9、域.也可以設(shè)出直線 AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到點(diǎn)B和P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BQ和PQ的方程，由兩直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)xo,根據(jù)函數(shù)的值域求得 xo的取值范圍.規(guī)范解答（1）由題意得c= £a +a=6，解得a=2,c=1，所以b=a2 c2=3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程a 2 c2 2為；十；=1.（4分）2 2(2)解法1設(shè)B(m , n)，則 牛十y = 1.因?yàn)锳（ 2, 0）, AB丄BQ，所以直線BQ的方程為y = （x m） + n,因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以m 2P( 22),所以直線OP的方程為y= m 2x,聯(lián)立直線BQ , OP的方

10、程得一n(x m)十n= m 2x,(82m 2nm 2解得(m 2)( m2+ 2m + n2)Xo=22m2 4+ n2（m2 4），代入上式化簡(jiǎn)得xo= m + 6, （14分）因?yàn)橐?<m<2，所以4<xo<8.(16 分)解法2 設(shè)直線AB的方程為y = k(x + 2), k豐0.將 y= k(x十 2)代入橢圓方程 %：十十:=1 得(4k2+ 3)x2+ 16k2x+ 16k2 12= 0,438k2+ 6 8k2 + 612k解得xb=k_，所以yB=k喬訂2 =晟, 則直線BQ的方程為y -2% =- 1(x 8"十64k2 + 34k2

11、+ 34k2+ 3 )，xa 十 xb因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，貝U xp= xA:8k2 十 62 十 4k2+ 3 _ 8k22= 4k2+ 3,1yP= 2yB = 4k2+ 3,6k4k2+ 36k3所以直線OP的斜率為2 = ,3，則直線8k24k4k2+ 33OP的方程為y = 4x, (8分)16k2+ 24聯(lián)立直O(jiān)P, BQ的方程得xo= 4k2+ 3 = 4 +124k2+3 (14 分)1212因?yàn)?4k2+ 3>3，所以 0<2 ,<4, 4<4 +2 , _<8，即 4<X0<8.(16 分)4k十34k十3解后反思 直線和橢圓相交求

12、范圍（最值）問(wèn)題，第 問(wèn)解法1設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)B的坐標(biāo)（m, n），建立關(guān)于2通常設(shè)出直線的方程，并與橢點(diǎn)中參數(shù)m, n的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)法或不等式法來(lái)解決；解法 圓方程聯(lián)立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化關(guān)于 x或y的一元二次方程，通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用設(shè)而不求的思想，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于線中參數(shù)m的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)法或不等式法來(lái)解決這兩種解法都較常見(jiàn)解法1參量多一點(diǎn)，但運(yùn)用得當(dāng)，也很方便，這里解法1在建立目標(biāo)函數(shù)后就顯得很簡(jiǎn)單，解法2參量少目標(biāo)集中.【變式1】(2019蘇州期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2的橢圓e的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為 6.(1) 求

13、橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；3(2) 過(guò)點(diǎn)A且斜率為2的直線與橢圓E交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B與右焦點(diǎn)F的直線交橢圓E于M點(diǎn)，求M點(diǎn) 的坐標(biāo).*、八-X2 V2解：設(shè)橢圓方程為孑+洽=1(a>b>0)，半焦距為c,1 c 1因?yàn)闄E圓的離心率為1，所以C = 1，即a= 2c,2 a 2a2又因?yàn)锳到右準(zhǔn)線的距離為6，所以a +直=3a= 6, (2分)C解得 a= 2, c= 1, (4 分)x2 y2所以b2= a2-c2= 3，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；+ y3 = 1.(6分)3(2)直線AB的方程為y= 2(x + 2),3y = 2（x + 2）, y2= 1,43得 x2+ 3x + 2=

14、0，解得 x=- 2 或 x=- 1.3則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 一1, 2 .(9分)3由題意，右焦點(diǎn)F(1 , 0)，所以直線BF方程為y = (x- 1), (11分)3y = 2（x + 2）, 由 22X+ y = 14十3,所以，點(diǎn)M坐標(biāo)為139 八7 , 14 .（14 分）13得 7x2 6x 13= 0,解得 x= 1 或 X = 7 , （13 分）務(wù)b?=3【變式21(2016徐州、連云港、宿遷三檢)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)P 1,號(hào)在橢圓C:1(a>b>0)上，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓C的方程;求點(diǎn) M , N的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)M ,

15、 N是橢圓C上的兩點(diǎn)，且四邊形 POMN是平行四邊形,1 9.規(guī)范解答 由題意知，a2+ 4b2= 1,2a= 4. (2分)2 2解得a2=M(X1, y1), N(X2, y2)，因?yàn)樗倪呅蜳OMN是平行四邊形，所以 ON = OP+ OM , , b2=.（14 分）,所以橢圓的方程為:十;=1. (4分) 解法1設(shè)M(X1 , y1) , N(X2 , y2),則ON的中點(diǎn)坐標(biāo)為X2,2PM的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 + xi3+y12因?yàn)樗倪呅蜳OMN是平行四邊形,所以由點(diǎn)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn),1 + X1 X223+ y1y22.X1 = X2 1 ,3 y1= y22.）（6 分）3x2

16、+ 4y2= 12,所以3 X2 13 2y2 2 2= 12.）（8 分）解得X2= 2,y2= 0X2= 1 ,3y2= 2.（12 分）由 X2= 2,y2= 0,)得X1= 1 ,3y1= 2X2= 1,3y2= 2,)得X1 = 2,y1 = 0.所以點(diǎn)M1, 2，點(diǎn) N（2,0）;或點(diǎn) M（ 2,0）,解法2設(shè)X2= 1 + XI,3所以(x2, y2)= 1 , 2 + (Xi, yi),即 3(6 分)2 y2=2 + yi,由點(diǎn)M , N是橢圓C上的兩點(diǎn)，嚴(yán)MA 口.所以（8分）用一得 xi + 2yi+ 2 = 0，即 xi= 2 2yi,代入(i)中得3( 2 2yi)2

17、+ 4y2= i2,整理得、32yi + 3yi= 0，所以 yi= 0或 yi = ?xi = 2,yi = 0Xi= i,3yi= 2，(i2 分)Xi =2,X2= i,Xi = i,由得3由yi=0,y2 = 2yi =32,X2= 2,得)y2= 0.所以點(diǎn)M i,32，點(diǎn) N(2,0);或點(diǎn) M( 2,0),點(diǎn) N i, 2 .(i4 分)解法3因?yàn)樗倪呅蜳OMN是平行四邊形，所以O(shè)P= MN ,因?yàn)辄c(diǎn)P i, 3，所以 |MN| = |OP|=十4二計(jì)3，且 kMN = kop= 2 (6 分)設(shè)直線MN方程為3y= 2X + m(m豐 0),3)得 3x2 + 3mx + m2

18、 3= 0, (*)y= 2x + m, 聯(lián)立"亠 2 2x2 y24十3，所以= (3m)2 4X 3(m2 3)>0 , 即 卩 m2 i2<0，從而 m ( 2 3, 0) U (0,2 3),、nm2 3 八、設(shè) M(xi, yi), N(x2, y2)，貝U xi + X2= m, xix2= 3 , (8 分)且 |MN| = i 十 k2|xi X2= xi + X2 2 4xix2=L2i32 4 m2 3 寸3m 一 3= 24- A2,又知|MN| = 于,所以計(jì)4詁2 =于,整理得m2 9= 0,所以m= 3或m = 3.(i2分)當(dāng) m= 3 時(shí)，

19、(*)可化為 3x2 + 9x + 6= 0, 即卩 x2+ 3x+ 2= 0,故 x = i 或 x= 2,3 3代入直線MN : y= 2x+ 3得兩交點(diǎn)M( 2,0), N 1, 2 ；當(dāng) m = 3 時(shí)，(*)可化為 3x2 9x + 6= 0,即卩 x2 3x + 2= 0,故 x= 1 或 x= 2,33代入直線MN : y= ；x 3得兩交點(diǎn)M 1, 2 , N(2,0),3所以點(diǎn) M 1, 3，點(diǎn) N(2,0);或點(diǎn) M( 2,0),3點(diǎn) N 1, 2 .(14 分)【變式3】(2016常州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,2 2設(shè)橢圓篤+書=1(a>b>0)的離心

20、率是a be,定義直線y=±b為橢圓的“類準(zhǔn)線” 已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為 y=±2 3,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.e(1) 求橢圓C的方程；過(guò)點(diǎn)O且垂直(2) 點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上(但不在y軸上),過(guò)點(diǎn)P作圓O: x2 + y2= 3的切線I, 于OP的直線與I交于點(diǎn)A,問(wèn)點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論.ab= 3,廠規(guī)范解答(1)由題意得 c又a2= b2+ c2,解得b= 3, c= 1, (4分)a = 2,所以橢圓C的方程為x += 1.(5分)4 3(2)點(diǎn)A在橢圓C上.證明如下:設(shè)切點(diǎn)為Q(X0,y0), X0M 0,貝U x2 + y0= 3,切線 I 的方程

21、為 x0x+ y0y 3 = 0,當(dāng)yP= 2飛：3時(shí),XP= 1,即X0X0,2 3,2x03 2y0, (7 分)r ,2寸3則koP=廠3 2、3y0X0所以 kOA= 2y020 3直線OA的方程為2x02y0 3由 y=x,2x0解得6x0X= 6 3y0X0x+ y0y 3= 0y= 6 3y0 ,6x06 '3y06 ；3y0,(11 分)6x023 2yo 3 2因?yàn)? 3y0 + 6 3y04 3_ 9 3 y0 + 3 4y0 4屈o+ 33y2 123yo+ 363yo 12冷 3yo + 363y2 123yo+ 36所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足橢圓 C的方程.(14分)

22、當(dāng)yp= 2 3時(shí)，同理可得點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足橢圓 C的方程，所以點(diǎn)A在橢圓C 上. (16分)【變式4】(2019南京學(xué)情調(diào)研) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E:移+首=1(a>b>0)的離心率為 扌，且 直線I: x = 2被橢圓E截得的弦長(zhǎng)為2與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓 E于P, Q兩點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)R在直 線I上.點(diǎn)M(1 , 0).(1)求橢圓E的方程；思路分析 第問(wèn)，欲證“ MRLPQ，我們可以從兩直線垂直，斜率乘積等于1入手，也可以從向量的數(shù)量積為0入手，這樣就產(chǎn)生了解法1和解法2.X2y22c2b21規(guī)范解答(1)因?yàn)闄E圓巧+ 72= 1(a> b>0)

23、的離心率en2,所以e2=篤=1豈=R即a2= 2b2. (2分)ab2aa2因?yàn)橹本€I: x = 2被橢圓E截得的弦長(zhǎng)為2,41所以點(diǎn)(2, 1)在橢圓上，即 篤+書=1.a b解得 a2= 6, b2= 3,所以橢圓E的方程為；+ : = 1.(6分)(2)解法1(設(shè)線法)因?yàn)橹本€PQ與坐標(biāo)軸不垂直，故設(shè)PQ所在直線的方程為 y= kx + m.設(shè) P(x1, y1), Q(X2, y2).因?yàn)镻Q的中點(diǎn) R在直線I: x = 2上，故R(2, 2k + m).聯(lián)立方程組y = kx + m，g + : = 1,消去 y，并化簡(jiǎn)得(1 + 2k2)x2+ 4kmx + 2m2- 6 = 0

24、,(9 分)所以Xi+ X2 =4km1 + 2k2 .4km由 X1+X2=飛=4得1+2k2=km.(12 分)因?yàn)?M(1 , 0)，故 kMR =響=2k + m,所以 kMR kpQ= (2k+ m)k = 2k2+ km = 2k2 (1 + 2k2)= 1，所以 MR 丄 PQ.(16 分)解法 2(設(shè)點(diǎn)法)設(shè) P(X1， y1)， Q(x2, y2).因?yàn)镻Q的中點(diǎn)R在直線l: x = 2上，故設(shè) R(2, t).因?yàn)辄c(diǎn)p, q在橢圓e: 6+y-=1上，所以甘+¥= 1,x2+¥= 1，636363兩式相減得(X1 + x2) (x1 X2) + 2(y1

25、+ y2) (y 1 y2)= 0.(9 分) 因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為R,所以X1 + X2 = 4, y1 + y2 = 2t.代入上式并化簡(jiǎn)得 (X1 X2) + t (y1 y2)= 0.(12分)又 M(1 , 0),所以 MR PQ= (2 1) X (X2 X1) + (t 0)X (y2 y1)= 0,因此 MR丄PQ.(16分)解后反思用代數(shù)法處理圓錐曲線綜合題的常見(jiàn)方法有兩種：設(shè)點(diǎn)法、設(shè)線法.對(duì)于本題而言，兩種方法都可以，解題時(shí)把“設(shè)線法”與“直線斜率乘積為-1”結(jié)合，把“設(shè)點(diǎn)法”與“向量的數(shù)量積為0 ”結(jié)合，其實(shí)顛倒一下也可行.題型二 圓錐曲線的離心率問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)撥：求離心率的

26、值關(guān)鍵就是找到a,b,c之間的關(guān)系；求離心率的取值范圍問(wèn)題時(shí)，除了要根據(jù)條件來(lái)確定離心率的取值范圍外，不要忘記離心率的本身的范圍，即橢圓的離心率在(0 , 1)上，雙曲線的離心率在(1 ,+ )上，這也是求離心率的范圍問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤例1、(2019南京三模)平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過(guò)雙曲線 卑一g = 1(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線a b的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn) P.若線段PF的中點(diǎn)恰好在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為【答案】2【解析】雙曲線的漸近線方程為：byx，設(shè)右焦點(diǎn) F(c,0),過(guò)F與漸近線平行的直線為ay -(x c) ay，由bx a b(x a

27、，得：X ，則yc)2;a，所以pbc2aPF的中點(diǎn)為3c4bc4a又點(diǎn)A在雙曲線上，所以3c42abc4ab2化簡(jiǎn)得2c22，即a2.【變式1】(2017蘇北四市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A, B1,B2分別為橢圓c： x2+b=1(a > b > 0)的右、下、上頂點(diǎn),F是橢圓C的右焦點(diǎn).若B2F丄AB1,則橢圓C的離心率是【答案】血【解析】因?yàn)?F(c,0), B2(0, b),解得e= _1 J負(fù)值舍去).B1(0, - b), A(a,0)，所以 B2F = (c, b), B1A = (a, b) 因?yàn)?FB?丄 AB1, 所以 ac b2= 0，即 c

28、2 + ac a2= 0,故 e2 + e 1 = 0,【變式21(2017無(wú)錫期末)設(shè)點(diǎn)P是有公共焦點(diǎn)F1, F2的橢圓C1與雙曲線C2的一個(gè)交點(diǎn)，且 PF1丄PF2,橢圓C1的離心率為e1,雙曲線C2的離心率為e2,若e2= 3e1,則e1 =.【答案】3【解析】不妨設(shè) F1, F2分別是左、右焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)半軸為a1,雙曲線的實(shí)半軸為 a2, P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得PF1 + PF2= 2a1,PF1 = a1 + a2,解得因?yàn)镻F1PF1 PF2= 2a2,PF2= a1 a2.丄 PF2，所以 PF1+ Pf2= F1F2，即(a1+ a2

29、)2 + (a a2)2= (2c)2，化簡(jiǎn)得 a2 + a2= 2c2,所以嚴(yán) 2+ 嚴(yán) 2= 2,cc即吉+吉=2又因?yàn)閑2= 3e1,所以e1= 5，故。1 =普.【變式31 (2017常州期末)已知拋物線x2= 2py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓勺+岸=1(a> b> 0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若a bP, Q是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，且直線PQ經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則該橢圓的離心率為 .【答案】2 - 1【解析】 解法1由拋物線方程可得，焦點(diǎn)為 F 0, P ;由橢圓方程可得，上焦點(diǎn)為 (0, c).故P = c,將y、b22b2=c代入橢圓方程可得 x= ± .又拋物線通徑為 2

30、p,所以2p = = 4c,所以b2= a2 c2= 2ac,即e2 + 2e 1 aa=0，解得 e= 2 1.2 2 解法2由拋物線方程以及直線y=號(hào)可得，Q p, P .又P = c,即Q(2c, c)，代入橢圓方程可得 當(dāng)+誓=1，化簡(jiǎn)可得 e4 6e2+ 1= 0,解得 e2= 3 2/2, e2= 3 + 2 2> 1（舍去）,即卩 e= 3 2 2= 2 1（負(fù)值舍 去）.【變式4】(2018揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系駕=1（a>0, b>0）的漸近線與圓x2 + y2a b6y + 5= 0沒(méi)有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是 3【答案】1,3【解析】由圓x2

31、 + y2 6y+ 5= 0,得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+ (y 3)2 = 4,知圓心C(0, 3)，半徑r = 2.因?yàn)殡p曲x2 V2線孑活=1(a>0 , b>0)的漸近線 bx±ay = 0與該圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即 |bx 0±a；3|>23a>2c,即e=它，且e>1，故雙曲線離心率的取值范圍是1, 3 .b2+ a2a 22【變式51(2018南京、鹽城、連云港二模) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線 C: x2 羊=1 (b>0)的 兩條漸近線與圓 O: x2 + y2= 2的四個(gè)交點(diǎn)依次為 A ,

32、 B, C, D.若矩形ABCD的面積為b,貝U b的值為【答案】7【解析】由題意，雙曲線 C的漸近線方程為y=±3x，如圖所示，兩條漸近線與圓O的四個(gè)交點(diǎn)為 A , B,C, D.不妨設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m, n),則=4bm2=黔=b，解得b =血n= bm,2m2+ n2= 2,解得 m2= b2+1'而矩形 ABCD 的面積為 2mX2n= 4mn【變式6】（2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）ytx2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線-2&1(b 0)的23焦點(diǎn)到漸近線的距離為 2,則該雙曲線的離心率為2 3【答案】3【解析】焦點(diǎn)在 x軸，不妨取焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，&

33、#176;），漸近線方程為y-x bx ay 0 a ，即所以焦點(diǎn)到漸近線距離為dbe2 4則b 4,e1244,所以離線率為2 3【變式7】（2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.（1）已知橢圓的離心率為2線段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 寧，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知 ABF外接圓的圓心在直線y=x上，求橢圓的離心率e的值.+ y2= 1(a>b>0)的離心率為1 所以1則a= 2c.b2a 2因?yàn)榫€段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；，所以a c=22 = 2 .1.(4 分)所以 c = 2, 貝U a2= 8, b

34、2 = a2 c2 = 6. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +彳=8 6(2)因?yàn)?A(a, 0), F( c, 0),所以線段AF的中垂線方程為:a cx = 2 .又因?yàn)?ABF外接圓的圓心 C在直線y= x 上,a ca c所以c c ,2.(6分)AB的中垂線方程為:因?yàn)锳(a , 0), B(0 , b)，所以線段由C在線段AB的中垂線上，得一整理得，b(a c) + b2= ac, (10 分)即(b c)(a+ b) = 0.因?yàn)閍+ b>0，所以b= c.(12分)所以橢圓的離心率e= a= b2+ c2 =¥(14 分)【變式71(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào))如圖

35、，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,已知橢圓2x-2a2b1(a b 0)的右焦點(diǎn)為F , P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn).點(diǎn)Q在橢圓上，且FQ FP .(1)若橢圓的離心率為-，短軸長(zhǎng)為2 3.求橢圓的方程; 若直線oq , pq的斜率分別為k1, k,求k1 k2的值.(2)若在x軸上方存在P, Q兩點(diǎn)，使o, F , P, Q四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍.【思路分析】(門列出關(guān)于a,b,c的方程組，解出a,b值，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出Q(Xo, y。)，抓到FQ八FP，用直線方程或者向量數(shù)量積的方法求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入坐標(biāo)，計(jì)算ki*2結(jié)合橢圓方程，把y。2 = 3- 3 x。2厶 宀4 代入，就

36、能求出定值;(3)設(shè)出Q(X0，求出P坐標(biāo)，P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)確定以PQ為直徑的圓，要使四點(diǎn)共圓，則第四點(diǎn)o在圓上，有兩種思路：思路i，求出圓方程，將點(diǎn) 0坐標(biāo)代入圓方程，思路 2, 0F的中垂線經(jīng)過(guò)圓心，求出 a c ： c，轉(zhuǎn)化為e的不等式，求出范圍.規(guī)范解答 (1)設(shè)橢圓的焦距為 2c,a2x0 =c-點(diǎn)P, Q均在X軸上方，得到c，根據(jù)c 1a 2'由題意，得 2b 2 3,a2b2c2 ,所以a 2_ .所以橢圓的方程為 疋 i .b 寸343由得，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x 4 ,解法設(shè) P(4 ,t) , Q(x , y。)，則 Xo，所以 yo3 4xo所以u(píng)urFQuur

37、(Xo 1, yo), FP (3 ,t),因?yàn)閡iuFP丄FQ,所以FQuurFP 3(Xo 1) tyo所以tyo3(xo1)所以k1 k2yoXoyo tXo4yo tyoXo 4Xo3 3x23(xo 1)2Xo 4xo2 2解法2設(shè)Q(x ,yo)，則X y31 ,所以y03 3xo ,4當(dāng)xo 1時(shí)，直線FQ存在斜率，則kFQ又FP丄FQ,所以直線FP的方程為yoXo 1 'Xo 1(Xyo1),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4 ,3(xo 1)yo3(Xo 1) yo所以 k1 k2yoyoXoXo 42yo3(Xo2 .1)3 Xo 3(xo 1)Xo4Xo4 Xo 4Xo當(dāng)Xo

38、1時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4 , o），也滿足k2所以k k2的值為（2）解法21 設(shè) P(2,t)，Q(xo, yo)，因?yàn)镕P丄 FQ,則厶FPQ的外接圓即為以 PQ為直徑的圓（x2：）（xXo)(y t)(yyo)由題意，焦點(diǎn)F,原點(diǎn)O均在該圓上，所以(c 弓)(cxotyocXo)tyo消去tyo得（c:)(c Xo)Xoo ,所以Xo暫，因?yàn)辄c(diǎn)P , Q均在x軸上方，所以2 2c ac a o ,所以e2e 1 o ,又因?yàn)閛 e 1,31所以5 1 e 1.2解法2 因?yàn)镺, F, P, Q四點(diǎn)共圓且FP丄FQ,所以PQ為圓的直徑,所以圓心必為PQ中點(diǎn)M, 又圓心

39、在弦OF的中垂線x C上2 ，2 2所以圓心M的橫坐標(biāo)為xm 2，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為Xq 2Xm 壬 c 2 .（以下同方法xOy中，橢圓1(a > b> 0)的左、右焦1）【關(guān)聯(lián)1】（2017南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)分別為F1, F2, P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q,設(shè)PF1= RQ.（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為1, 3，且 PQF2的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程;入的取值范圍.若PF2垂直于x軸，且橢圓規(guī)范解答 因?yàn)镕1, F2為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且 P, Q為橢圓上的點(diǎn)，所以 PF1+ PF2= QF1+ QF2=從而 PQF2的周長(zhǎng)為4a,

40、由題意得4a = 8,解得a= 2.（2分）3因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為1 , 2 ,19所以 92= 1,解得 b2= 3.a24 b2X2 y2所以橢圓c的方程為x+y=1.（5分）43 解法1因?yàn)镻F2丄x軸，且P在x軸上方，所以可設(shè) P（c, y0）, y0>0, Q（x1, y1）.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以 乍+ y2= 1,解得y0= J即P c, .（7分）aab2因?yàn)?F1（ c,0），所以 PF1 = 2c, _ , F1Q =（X1+ c, y1）.a由PF1 =入比,得2c =綁+ c） , b =入1,解得X1 =亠乎c , y1 = b ,所以a入入aH 2b2Q Tc，T

41、a（11 分）因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以代2 2e2+ 2= 1,入入a即（入+ 2）2e2+ （1 e2） = f, 即 （¥+ 4/4- 3）e2=於一1. 因?yàn)?入 + 1工0,所以（入+ 3）e2= 1,3e2+14八從而 /=2 = 3.（14 分）1 e21 e2因?yàn)閑 2，乎，所以e2< 1，即7<疋5.所以入的取值范圍為 3， 5 .(16分)3解法2由于PF?丄x軸，且P在x軸上方,因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓上，所以=1，解得故設(shè)P(c,b2日口 yo=，即ayo）,P C,yo> 0.b2（7 分）因?yàn)镕1( c,0)，所以直線PF1的方程為b2y= 2ac（x

42、+ c）-b2 y= 2ac x+ c， 聯(lián)立 22x_ + y_= 1 a2 + b2=1，得（4c2 + b2）x2+ 2b2cx+ c2（b2 4a2） = 0.因?yàn)橹本€PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P c,丫，設(shè) Q（X1, y1）,則2b2cX1+ c = 4c2+ b2，（11 分 ）因?yàn)镻F 1 = F1Q，所以2c 4c2 + b2 3c2 + a2 3e2 + 1f= c+ X1 = b2 = a2 c2= 1 e2 =41 e23.（14 分）以下同解法1.e的范圍，因此我們可以把入表示為解后反思 本題考查解析幾何中的范圍問(wèn)題，由于題中已知離心率標(biāo)，再代入橢圓方程可得關(guān)于f a,

43、 b, c的等式，利用e= a, a2= b2+ c2可化此等式為關(guān)于e,入的萬(wàn)程，e的函數(shù)，為此先求得點(diǎn)P的坐標(biāo)(這里點(diǎn)P是確定的，否則設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo))，由向量的運(yùn)算求得點(diǎn) Q的坐解出f即把入表示為e的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可求得入的范圍本題采用的方法是解析幾何中的基本計(jì)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.【關(guān)聯(lián)2】(2017揚(yáng)州期末)2 2如圖，橢圓C:予+ *= 1(a>b>0)，圓O: x2 + y2= b2,過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線I: y= kx + b分別交圓0、橢圓C于不同的兩點(diǎn)P, Q,設(shè)AP = fQ.(1) 若點(diǎn)P( 3,0)，點(diǎn)Q( 4, 1),求橢圓C的方程；(2) 若入=3,求橢圓C的離心率e的取值范圍.a所以橢圓c