題型09,求數(shù)列通項(xiàng)（原卷版）

1、題型09,求數(shù)列通項(xiàng)（原卷版） 秒殺高考題型之求數(shù)列通項(xiàng) 【秒殺題型一】：已知ns ，求na 。 秒殺策略：分段表示：11( 1)( 2)nn ns nas s n-= ì= í- ³î，然后驗(yàn)證第一項(xiàng)是否在第二項(xiàng)以后的通項(xiàng)中，如果在則統(tǒng)一寫，如果不在則分段寫。 特殊地： c bn an s n + + =2，當(dāng) 0 = c 時(shí)，na 是等差數(shù)列，統(tǒng)一寫；當(dāng) 0 ¹ c 時(shí)，na 從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，分段寫。 t kq snn+ = ，當(dāng) k 、 t 互為相反數(shù)時(shí)，na 是等比數(shù)列，統(tǒng)一寫；當(dāng) k 、 t 不互為相反數(shù)時(shí)，na 從第二項(xiàng)起是等

2、比數(shù)列，分段寫。 【秒殺題型二】：由ns 與na 、nt (數(shù)列前 n 項(xiàng)乘積。)與na 的關(guān)系求通項(xiàng)。 秒殺策略：ns 與na 采用作差法：ns 與na 的關(guān)系 ，當(dāng)取 n-1(或 n+1)時(shí)，得 ； - 后求通項(xiàng)。 nt 與na 采用作商法：nt 與na 的關(guān)系 ，當(dāng)取 n-1(或 n+1)時(shí)，得 ； / 后求通項(xiàng)。 1.(2021 年新課標(biāo)全國卷 i17)已知數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為ns ， 1 , 0 , 11 1- = ¹ =+ n n n ns a a a a l ，其中 l 為常數(shù)。 （1）證明： l = -+ n na a2； （2）是否存在 l ，使得 na 為

3、等差數(shù)列？并說明理由。 b aa sn n+ = ，當(dāng) 0 ¹ b 時(shí)，na 是等比數(shù)列，統(tǒng)一寫；當(dāng) 0 = b 時(shí)，na 從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，分段寫。 ns 是關(guān)于na 的二次函數(shù)，作差后分解因式，得等差數(shù)列。 【秒殺題型三】：由ns 與na 的關(guān)系求ns 的通項(xiàng)。 秒殺策略：由1 - =n n ns s a ，轉(zhuǎn)化為ns 的關(guān)系。 1.(2021 年新課標(biāo)全國卷 ii6)設(shè)ns 是數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和，且 11- = a ，1 1 + +=n n ns s a ，則ns = 。 2.(高考題)已知數(shù)列 na 的前 n 項(xiàng)和為ns ，11 a = ，ns =12+ na ，

4、則ns = ( ) a.12 n- b.132n-æ öç ÷è ø c.123n-æ öç ÷è ø d.112 n- 【秒殺題型四】：累加法求通項(xiàng)。 秒殺策略：當(dāng)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之差是一個(gè)確定的數(shù)列時(shí)，利用累加法求通項(xiàng)。 設(shè)n n nb a a = -1，且nb 是已知數(shù)列，則求na 步驟為： 2 1 2b a a = - 3 2 3b a a = - n n nb a a = -1 累加得：n nb b b a a × + + = -3 2 1，可求出na 。 1

5、.(2021 年新課標(biāo)全國卷 17)設(shè)數(shù)列 na 滿足2 11 12, 3 2nn na a a-+= - = × 。 （1）求數(shù)列 na 的通項(xiàng)公式； （2）令n nb na = ，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和ns 。 【秒殺題型五】：構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)。 秒殺策略：主要有兩類，一是顯性構(gòu)造(即題目中已知構(gòu)造思路，按給定的思路構(gòu)造。)，二是隱性構(gòu)造(按已知特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列。)。 必須掌握的1( ,n na ca d c d-= + 為常數(shù)，0, 1, 0) c c d ¹ ¹ ¹ 型線性遞推關(guān)系。 解題策略：一般形式：1( ,n na ca d c d-= + 為常數(shù)

6、， 0, 1, 0) c c d ¹ ¹ ¹ ，可以構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，只要在每一項(xiàng)同加上一個(gè)常數(shù)即可，且常數(shù)1dxc=-，1( )n na x c a x-+ = + ，令n nb a x = + ，則nb 為等比數(shù)列，求出nb ，再還原到na ，11( ).1 1nnd da a cc c-+ = +- -11( ).1 1nnd da a cc c-Þ = + - -。 此類問題經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，且其構(gòu)造試題選材背景主要有以下幾種： 拆建房屋（住房面積）構(gòu)造的應(yīng)用題:如每年新增住房面積的比例是一個(gè)定值,同時(shí)每年要拆除一定面 積的舊房。 汽車保有

7、量問題:如每年汽車量按一定增長率增長,而每年同時(shí)要報(bào)廢一定量的汽車。 垃圾堆存量問題:如每年垃圾量按一定增長率增長,而每年同時(shí)要處理一定量的垃圾。 森林覆蓋面積問題:如新種植面積按一定比例增長,而每年同時(shí)要砍伐一定量的樹木。 1.(2021 年新課標(biāo)全國卷 i17)已知數(shù)列 na滿足：n na n na a ) 1 ( 2 , 11 1+ = =+，設(shè)nabnn= 。 （1）求3 2 1, , b b b ； （2）判斷數(shù)列 nb是否為等比數(shù)列，并說明理由； （3）求 na的通項(xiàng)公式。 2.(2021 年新課標(biāo)全國卷 ii17)已知數(shù)列 na 滿足 1 3 , 11 1+ = =+ n na

8、a a 。 （1）證明þýüîíì+21na 是等比數(shù)列，并求 na 的通項(xiàng)公式； （2）證明：23 1.1 12 1< + + +na a a。 3.(高考題)已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a (單位：m 2 )，其中有部分舊住房需要拆除，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為 b （單位：m 2 ）的舊住房。 （1）分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式； （2）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除的舊住房面積 b 是多少？（計(jì)算時(shí)取 6 . 1 1 . 15= ） 4.(高考題)數(shù)列 na 中，11, a = 且12 1,n na a+= + 又設(shè) 1n nb a = + 。 （1）求證：數(shù)列 nb 是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列 na 的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)1,1nnnca+=+求數(shù)列 nc 的前 n 項(xiàng)和ns 。 5.(高考題)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金 2021 萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了 50，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始每年年底上繳資金 d 萬元，并將剩余資金全部投入下一