第六章-多元函數(shù)微積分6.8在直角坐標系下二重積分的計算

1、第六章第六章- -多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分6.86.8在直角在直角坐標系下二重積分的計算坐標系下二重積分的計算一、一、 利用直角坐標計算二重積分利用直角坐標計算二重積分例例6.8.2例例6.8.3例例6.6.4二、二、 交換二次積分次序的步驟交換二次積分次序的步驟四、四、 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 作業(yè)作業(yè) 習題答案習題答案例例6.8.1例例6.6.5三、三、 利用對稱性和奇偶性化簡二重積分利用對稱性和奇偶性化簡二重積分本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:例例6.6.6例例6.6.7例例6.6.8的計算的計算上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄1. x型區(qū)域型區(qū)域 與與 y 型區(qū)域型區(qū)域x型區(qū)域：穿過D內(nèi)部且垂直

2、于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、一、 利用直角坐標計算二重積分利用直角坐標計算二重積分bxaxyxD)()(:21D表表示示為為：Dba)(2xy )(1xy 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄y型區(qū)域型區(qū)域xoycdDx=2(y)x=1(y)ydycyxyD)()(:21cd)(2yx )(1yx D上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 設曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(

3、000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO記作記作 2.2.計算公式的推導計算公式的推導( (形式推導形式推導) )上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄ydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy記作記作 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數(shù)bxaxyxD)

4、()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由上面推導可知, （1）若）若D為為 X - 型區(qū)域型區(qū)域 則O)(1xy)(2xyxbyDax（2）若）若D為為Y - 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則結論：結論：上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄當被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd)

5、,(2注注：（1）二重積分的計算公式中）二重積分的計算公式中f (x, y) 為任意符號為任意符號.上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄型區(qū)域型區(qū)域又是又是型區(qū)域型區(qū)域既是既是yxD xyODcdabxyO型區(qū)域型區(qū)域又不是又不是型區(qū)域型區(qū)域既不是既不是yxD問題：積分區(qū)域為以下情況怎樣計算？問題：積分區(qū)域為以下情況怎樣計算？上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄xyOxyDO(2) (2) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是 X - X - 型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y Y - - 型區(qū)域型區(qū)域 , , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序必要

6、時還可以交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(3) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干2D1D3DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD則 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.8.1計算二重積分計算二重積分 D因為因為 ,dxdyeDyx解解 所圍成的矩形所圍成的矩形. . 是由是由 其中區(qū)域其中區(qū)域 D0,x 1,x 0,y 1y所以所以 是矩形區(qū)域，且是矩形區(qū)域，且 ,yxyxeee1100 x yxyDedxdye dxe d

7、y11200(1) .xyeee上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄121221d y例例6.8.2 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, yx 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO及上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.8.3 計算,dDyx其中D 是拋物線2yx 所圍成的閉區(qū)域. 解解: 方法一方法一, 先對 y后

8、對 x 積分,:Ddxyy Dyxd21dx 2222121dxxxyx 22511 (2) d2x xxx 84522xyx12x 2x2x 2yx及直線則 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄方法二方法二, 先對 x 后對y 積分,用Dyxd845則 1y 把區(qū)域D分成 兩部分 和 1D2D1, 01Dx yyxyy2,2, 14Dx yyxyy14012yyyydyxydxdyxydx上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄練習：練習：計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yy

9、xyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 思考：思考：求上述積分區(qū)域D的面積上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄注：練習題若選擇先對y后對x的積分順序，則必須對D進行劃分. , 10| ),(1xyxxyxD,2, 41 | ),(2xyxxyxD則10412xxxxxydydxxydydxDxydxdyI21DDxydxdyxydxdy855用x=1將D分成兩個區(qū)域D1和D2：上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄二、二、 交換二次積分次序的步驟交換二次積分次序的步驟110sinyxdydxx例例6.8.4 計算OxyD11x xy 因此取D 為X

10、 - 型域 :0:01yxDx 10sin dx x 1cos0 x 210sindxxxx 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.解解: 由被積函數(shù)可知, 先對 x 積分不行, 110sinyxdydxx100sinxxdxdyx 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.8.5 交換下列積分順序解解: 積分域由兩部分組成:21DDD將:D視為Y - 型區(qū)域 , 則2yxy01y xxdyyxfdxdyyxfdxI2021010),(),(1( , ) 01, 0,Dx yxyx2( , )12,02Dx yxyx12120( , )( , )yyDDIf x y d

11、dyf x y dx上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.8.6 證明證證:等式左端二次積分的積分限為 積積分分限限可可改改寫寫為為畫出積分區(qū)域D的圖形()()000( )()( )ayab x ab x adyef x dxax ef x dx其中 均為常數(shù),且 ., a b0a0, 0yaxy0,xa xya所以所以()00( )ayb x adyef x dx()()00( )( )aaaab x ab x axxdxef x dyef xdy dx()0()( ).ab x aax ef x dx上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄三、三、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算

12、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算1. 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D關于關于y軸對稱，則軸對稱，則(1) 當當 時，有時，有 .),(),(yxfyxf0),(Ddxdyyxf(2) 當當 時，有時，有 .(, )( , )fx yf x y 1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf2. 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域D關于關于x軸對稱，則軸對稱，則(1) 當當 時，有時，有 .0),(Ddxdyyxf(2) 當當 時，有時，有 .),(),(yxfyxf),(),(yxfyxf2( , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.

13、8.7 計算解解 積分域為橢圓，D關于x軸、y軸對稱，利用對稱性,因因為為積積分分域域關關于于 軸軸對對稱稱，且且函函數(shù)數(shù) 關關于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù)其中所以所以,) 1(dxdyxyID. 44:22 yxD.DDdxdyxydxdyIxxxyyxf),(. 0DxydxdyDdxdy.2.2I又又故故上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.8.8 計算下列二重積分上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄1D2D3D上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄P244 P244 1.1.（2 2） 2.2. 3. 3.（3 3） 4.4.（4 4）（）（5 5）（）（6 6） 5. 6.5.

14、6.（2 2）（）（3 3） 7.7.（1 1） 8.8.（1 1） 9. (1)9. (1) 作業(yè)作業(yè)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄Oy)(1yx)(2yxxdcbxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd（1）若）若D為為 X - 型區(qū)域型區(qū)域 則O)(1xy)(2xyxbyDax（2）若）若D為為Y - 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則1. 二重積分化為累次積分的方法二重積分化為累次積分的方法內(nèi)容小結內(nèi)容小結直角坐標系情形直角坐標系情形 :上一頁上一頁 下一頁下

15、一頁 目目 錄錄2.計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線先積一條線, 后掃積分域后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄:,( ) , .Daxb aybf xa b 其其中中是是矩矩形形區(qū)區(qū)域域在在上上連連續(xù)續(xù)1.1.（2 2）( , ),xDx yaxb ayb 采采用用型型區(qū)區(qū)域域因此因此( ,)d d( ) ( )d dbbaaDf x yx yf x f yyx ( )d( )dbbaa

16、f yyf xx ( )d ( )dbbaaf yy f xx 2( )d baf xx 解解6.8 部分習題答案部分習題答案上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄2.2.上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄4(4)4(4)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄4(5)4(5)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄4(6)4(6)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄xy 1解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄6.6.(1)(1)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄6(2)6(2)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄xy 222xxy 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄6.6.(4)(4)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解解只只能能用用 Y Y- -型型. . 210d yyey1(1)2e 2110.yxdxe dy上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解解先先改改變變積積分分次次序序.121()dxx eex .2183ee 2xy xy 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄8(1)8