2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：2.3 第2課時　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) Word版含解析

1、第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)目標(biāo) 1.記住等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，并會利用性質(zhì)解答有關(guān)問題；2.會求等差數(shù)列前n項和的最值；3.會求等差數(shù)列各項絕對值的和重點 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用；求等差數(shù)列前n項和的最值難點 等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的理解知識點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) 填一填1設(shè)等差數(shù)列an，sn為其前n項和，那么sk，s2ksk，s3ks2k，仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為k2d.2設(shè)等差數(shù)列an若項數(shù)為2n(nn*)，則s2nn(anan1)(an，an1為中間兩項)，且s偶s奇nd；若項數(shù)為2n1(nn*)，則s2n1(2n1)an(an為中間項)，且s奇s偶an.3設(shè)an，bn為等

2、差數(shù)列，an為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列bn的前n項和，則.4設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項和，則仍為等差數(shù)列，且公差為.答一答1在等差數(shù)列an中，s8，s12s8，s16s12仍成等差數(shù)列嗎？為什么？提示：不成等差數(shù)列證明：設(shè)an的首項為a1，公差為d.s8a1a2a88a128d.s12s8a9a10a11a124a138d.s16s12a13a14a15a164a154d.顯然s8s16s122(s12s8)，所以s8，s12s8，s16s12不成等差數(shù)列而s8，s16s8，s24s16成等差數(shù)列，s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)列知識點二等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的

3、關(guān)系 填一填1等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將公式snna1變形，得snn2n，故當(dāng)d0時，sn是關(guān)于n的一個二次函數(shù)，它的圖象是拋物線yx2x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點2等差數(shù)列前n項和最值的求法(1)通項公式法當(dāng)a1>0，d<0時，an只有前面的有限項為非負(fù)數(shù)，從某項開始其余所有項均為負(fù)數(shù)，所以由可得sn的最大值為sm.當(dāng)a1<0，d>0時，an只有前面的有限項為非正數(shù)，從某項開始其余所有項均為正數(shù)，所以由可得sn的最小值為sm.(2)二次函數(shù)法由于snn2n(d0)是關(guān)于n的二次函數(shù)式，因此可利用配方法求出二次函數(shù)的最值來確定sn的最值，但應(yīng)注意nn*

4、.答一答2若數(shù)列an的前n項和snna1，該數(shù)列是否為等差數(shù)列？為什么？提示：該數(shù)列為公差d0的等差數(shù)列當(dāng)n2時，ansnsn1na1(n1)a1a1，an為常數(shù)列，且ana1.3已知等差數(shù)列16,14,12，的前n項和為sn，使得sn最大的序號n的值是8或9.解析：解法1：由題知a116，d2，所以an16(n1)(2)2n18，由得8n9.n8或9.解法2：由題意知，等差數(shù)列16,14,12，的公差為2，所以sn16n×(2)n217n2，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)8或9時，sn取值最大類型一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)命題視角1：“sn，s2nsn，s3ns2n，”成等差數(shù)列問題例1一個等

5、差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求其前110項之和分析本題解法頗多，既可以設(shè)出基本量，構(gòu)建方程組求出a1與d，又可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化運算，還可以利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解解方法一：易得數(shù)列s10，s20s10，s30s20，s100s90，s110s100成等差數(shù)列設(shè)其公差為d，則前10項的和為10s10·ds10010，解得d22.s110s100s10(111)d10010×(22)120.s110120s100110.方法二：設(shè)snan2bn(a，br)，則解得a，b.故snn2n，所以s110×1102×110110

6、.方法三：因為數(shù)列an為等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列，且，與三點共線，于是有，將s10100，s10010代入，即得s110110.變式訓(xùn)練1設(shè)sn是等差數(shù)列an的前n項和，若s41，s84，則a17a18a19a20(b)a7 b9c16 d25解析：方法一：由已知可得s4，s8s4，s12s8，s16s12，s20s16成等差數(shù)列又s41，s84，s8s43.s20s16s44×29，即a17a18a19a209.方法二：設(shè)數(shù)列an的公差為d，得a17a18a19a204a170d9.故選b.命題視角2：奇偶項問題例2(1)已知等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與

7、奇數(shù)項和之比為3227，則公差d_.(2)在項數(shù)為2n1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n的值為_解析(1)由解得s偶s奇6d，d5.(2)等差數(shù)列有2n1項，s奇s偶a中，a中15.又s2n1(2n1)a中，165150(2n1)×15，n10.答案(1)5(2)10變式訓(xùn)練2一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和是15，奇數(shù)項之和是12.5，則它的首項與公差分別是(a)a.， b.，1c.，2 d1，解析：s偶s奇5d1512.52.5，d0.5.由10a1×0.51512.527.5，得a10.5.故選a.命題視角3：前n項和之比問題例3

8、已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為an和bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是_解析由等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)，得.因為，所以7.要使為整數(shù)，則必為整數(shù)，即(n1)為12的約數(shù)因為12的正約數(shù)有1,2,3,4,6,12，又n為正整數(shù)，所以n的取值為1,2,3,5,11，共5個答案5變式訓(xùn)練3(1)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為sn，tn，若，則.解析：.(2)已知sn，tn分別是等差數(shù)列an，bn的前n項和，且(nn*)，則.解析：因為b3b18b6b15b10b11，所以.類型二等差數(shù)列前n項和的最值問題例4在等差數(shù)列an中，公差為d，若a125，且s9s17，求數(shù)列的前多少項和

9、最大？并求此最大值分析可根據(jù)題意先求得數(shù)列的公差，從而由通項的正負(fù)或前n項和公式判斷；也可根據(jù)前n項和sn的函數(shù)特性求解解由得解得d2.則sn25n(2)n226n(n13)2169，數(shù)列an的前13項和最大，最大值為169.方法一是利用二次函數(shù)的最值求解，方法二是通過數(shù)列的通項的特點找出正負(fù)項的分界點，方法三是利用了前n項和sn的二次函數(shù)特性，由二次函數(shù)的對稱性求解.變式訓(xùn)練4在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項和為sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時，sn取得最大值，求d的取值范圍解：由當(dāng)且僅當(dāng)n8時，sn最大，知a8>0且a9<0，于是解得1<d<，故d的取值范圍為.1一個

10、等差數(shù)列的首項是2，末項為29，這個數(shù)列所有項的和是155，這個數(shù)列的公差為(c)a5 b4c3 d2解析：由sn得，n10，再由a10a19d29，可得d3.2等差數(shù)列an的前n項和為sn，若s22，s410，則s6等于(c)a12 b18c24 d42解析：s2，s4s2，s6s4成等差數(shù)列，即2,8，s610成等差數(shù)列，s624.3在等差數(shù)列an中，a3a9a1521，則s17119.解析：a3a9a1521，a97.s1717a917×7119.4等差數(shù)列an和bn的前n項和分別是sn，tn，且，則.解析：.5已知an2n16，求數(shù)列|an|的前n項和解：由an0，得n8.當(dāng)n8時，an0；當(dāng)n>8時，an>0.當(dāng)n8時，sn|a1|a2|an|(a1a2an)15nn2.當(dāng)n>8時，sn|a1|a2|a8|a9|an|(a1a2a8)a9a10an2(a1a2a8)a1a2an112n215nn215n112.sn本課須掌握的兩大問題1立足基本量，巧用性質(zhì)我們在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)時，是把所有量都用a1和d來表示，從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這是最基本的思想和方法在有關(guān)數(shù)列的計算中，恰當(dāng)?shù)剡\用性質(zhì)可以減少運算量，若不能直接運用性質(zhì)，基本量法是最常用的方法之一利用基本量，并樹立目標(biāo)意識，需要什么，就求什么，充分合理地運用條件，