三角形全等綜合證明試題帶答案

1、三角形全等綜合證明試題一解答題（共13小題）1（2015于洪區(qū)一模）如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（2）如果ABAC，BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)ACB滿足什么條件時(shí)，CFBC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由2（2013煙臺(tái)）已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合）

2、，分別過(guò)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明3（2013昭通）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使DAF=60°，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如

3、圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系4（2013東營(yíng)）（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立

4、？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀5（2014泰安）如圖，ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由6（2011紹興）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，

5、如圖1，確定線段AE與的DB大小關(guān)系請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“”，“”或“=”）（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）7（2010臨沂）如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD（1）判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）保持圖1中ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當(dāng)垂線段A

6、D、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明；（3）保持圖2中ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明8（2014鄭州二模）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射

7、線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)9（2014德州）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60°探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，

8、并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離10（2015前郭縣二模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE填空：AEB的度數(shù)為；線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為（2）拓展探

9、究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由11（2014齊齊哈爾）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP（無(wú)需寫證明過(guò)程）（1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在圖3中

10、，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無(wú)需證明12（2009沈陽(yáng)）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且0°60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60°180°，其它條件不變，如圖你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立

11、，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由13（2008寧德）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且DCE=45°，BE=4，求DE的長(zhǎng)三角形全等綜合證明試題參考答案與試題解析一解答題（共13小題）1（2015于洪區(qū)一模）如圖1，在ABC

12、中，ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（2）如果ABAC，BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)ACB滿足什么條件時(shí)，CFBC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；開(kāi)放型【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立由正方形ADEF的性質(zhì)可推出DABFAC

13、，所以CF=BD，ACF=ABD結(jié)合BAC=90°，AB=AC，得到BCF=ACB+ACF=90°即CFBD（2）當(dāng)ACB=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AGAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則GAC=90°，可推出ACB=AGC，所以AC=AG，由（1）可知CFBD【解答】證明：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90°，BAD=CAF，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90°，即CFBD當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90度BAC=90°，DAF=B

14、AC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90°，AB=AC，ABC=45°，ACF=45°，BCF=ACB+ACF=90度即CFBD（2）當(dāng)ACB=45°時(shí)，CFBD（如圖）理由：過(guò)點(diǎn)A作AGAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則GAC=90°，ACB=45°，AGC=90°ACB，AGC=90°45°=45°，ACB=AGC=45°，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45°，BCF=AC

15、B+ACF=45°+45°=90°，即CFBC【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件2（2013煙臺(tái)）已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過(guò)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AEBF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式QE=QF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)

16、Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）證BFQAEQ即可；（2）證FBQDAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；（3）證AEQBDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可【解答】解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如圖1，Q為AB中點(diǎn)，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90°，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AA

17、S），QE=QF，故答案為：AEBF；QE=QF（2）QE=QF，證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D，Q為AB中點(diǎn)，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3，延長(zhǎng)EQ、FB交于D，Q為AB中點(diǎn)，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，F(xiàn)Q是斜邊DE上的中線，QE=QF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的

18、應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等3（2013昭通）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使DAF=60°，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出A

19、C、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，BAC=DAF=60°，求出BAD=CAF，證BADCAF，推出CF=BD即可；（2）求出BAD=CAF，根據(jù)SAS證BADCAF，推出BD=CF即可；（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證BADCAF，推出CF=BD即可【解答】（1）證明：菱形AFED，AF=AD，ABC是等邊三角形，AB=AC=BC，BAC=60°=DAF，BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF，在BAD和CAF中，BA

20、DCAF，CF=BD，CF+CD=BD+CD=BC=AC，即BD=CF，AC=CF+CD（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CFCD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60°，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF，CFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD（3）AC=CDCF理由是：BAC=DAF=60°，DAB=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），CF=BD，CDCF=CDBD=BC=AC，即AC=CDCF【點(diǎn)評(píng)】本題考查

21、了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過(guò)程類似，題目具有一定的代表性，難度適中4（2013東營(yíng)）（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD直線m，CE直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明：DE=BD+CE（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)

22、（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)BD直線m，CE直線m得BDA=CEA=90°，而BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得CAE=ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ADBCEA，則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）與（1）的證明方法一樣；（3）由前面的結(jié)論得到ADBCEA，則BD=AE，DBA=CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ABF=CAF=60

23、°，則DBA+ABF=CAE+CAF，則DBF=FAE，利用“SAS”可判斷DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到DEF為等邊三角形【解答】證明：（1）BD直線m，CE直線m，BDA=CEA=90°，BAC=90°，BAD+CAE=90°，BAD+ABD=90°，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180

24、76;，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF是等邊三角形由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均為等邊三角形，ABF=CAF=60°，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAF（SAS），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°，DEF為等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊

25、相等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)5（2014泰安）如圖，ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DFAE，DF=AF=EF，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出DFCAFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出FDE=FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案【解答】（1）

26、證明：ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，DFAE，DF=AF=EF，又ABC=90°，DCF，AMF都與MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，F(xiàn)MC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，F(xiàn)DE=FMC=45°，DECM，ADMC【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出DCF=AMF是解題關(guān)鍵6（2011紹興）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1

27、，確定線段AE與的DB大小關(guān)系請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”）（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題；證明題；壓軸題；分類討論【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出D=ECB=

28、30°，ABC=60°，求出D=DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；（2）作EFBC，證出等邊三角形AEF，再證DBEEFC即可得到答案；（3）分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可【解答】解：（1）答案為：=（2）答案為：=證明：在等邊ABC中，ABC=ACB=BAC=60°，AB=BC=AC，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，AEF=AFE=BAC=60°，AE=AF=EF，ABAE=ACAF，即BE=CF，ABC=EDB+BED，ACB=ECB+FCE，ED=EC，EDB=ECB，EBC=E

29、DB+BED，ACB=ECB+FCE，BED=FCE，在DBE和EFC中，DBEEFC（SAS），DB=EF，AE=BD（3）解：分為四種情況：如圖1：AB=AC=1，AE=2，B是AE的中點(diǎn)，ABC是等邊三角形，AB=AC=BC=1，ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），ACE=90°，AEC=30°，D=ECB=BEC=30°，DBE=ABC=60°，DEB=180°30°60°=90°，即DEB是直角三角形BD=2BE=2（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），即CD=1+2=

30、3如圖2，過(guò)A作ANBC于N，過(guò)E作EMCD于M，等邊三角形ABC，EC=ED，BN=CN=BC=，CM=MD=CD，ANEM，BANBEM，=，ABC邊長(zhǎng)是1，AE=2，=，MN=1，CM=MNCN=1=，CD=2CM=1；如圖3，ECDEBC（EBC=120°），而ECD不能大于120°，否則EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，此時(shí)不存在EC=ED；如圖4EDCABC，ECBACB，又ABC=ACB=60°，ECDEDC，即此時(shí)EDEC，此時(shí)情況不存在，答：CD的長(zhǎng)是3或1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)

31、點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵7（2010臨沂）如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD（1）判斷ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）保持圖1中ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明；（3）保持圖2中ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；幾

32、何綜合題；壓軸題；探究型【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理，即可判斷ABC的形狀；（2）（3）通過(guò)證明ACDCBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間的關(guān)系【解答】解：（1）ABC是等腰直角三角形理由如下：在ADC與BEC中，AD=BE，D=E=90°，DC=EC，ADCBEC（SAS），AC=BC，DCA=ECBAB=2AD=DE，DC=CE，AD=DC，DCA=45°，ECB=45°，ACB=180°DCAECB=90°ABC是等腰直角三角形（2）DE=AD+BE理由如下：在ACD與CBE中，ACD=CBE=90

33、°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE（3）DE=BEAD理由如下：在ACD與CBE中，ACD=CBE=90°BCE，ADC=BEC=90°，AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，DC=EBDCCE=BEAD，即DE=BEAD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大8（2014鄭州二模）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都

34、為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】動(dòng)點(diǎn)型【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQAB=AC，B=CAP=60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知ABQCAP再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角

35、形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4t分別就當(dāng)PQB=90°時(shí)；當(dāng)BPQ=90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值（3）首先利用邊角邊定理證得PBCQCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到BPC=MQC再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得CMQ的度數(shù)【解答】解：（1）CMQ=60°不變等邊三角形中，AB=AC，B=CAP=60°又由條件得AP=BQ，ABQCAP（SAS），BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60°（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4t當(dāng)PQB=

36、90°時(shí)，B=60°，PB=2BQ，得4t=2t，t=；當(dāng)BPQ=90°時(shí)，B=60°，BQ=2BP，得t=2（4t），t=；當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，PBQ為直角三角形（3）CMQ=120°不變?cè)诘冗吶切沃?，BC=AC，B=CAP=60°PBC=ACQ=120°，又由條件得BP=CQ，PBCQCA（SAS）BPC=MQC又PCB=MCQ，CMQ=PBC=180°60°=120°【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們

37、鉆研和探索問(wèn)題的精神9（2014德州）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60°探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（

38、O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；探究型【分析】問(wèn)題背景：根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；探索延伸：延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出B=ADG，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADG全等，根據(jù)

39、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“邊角邊”證明AEF和GAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出EOF=AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=D

40、AG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，AOB=30°+90°+（90°70°）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°30°）+（70°+50°）=180°，符合探索延伸中的條件，結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里答：

41、此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問(wèn)題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)10（2015前郭縣二模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE填空：AEB的度數(shù)為60°；線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BE（2）拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的

42、判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）易證ACD=BCE，即可求證ACDBCE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可求得AD=BE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可求得AEB的大?。唬?）易證ACDBCE，可得ADC=BEC，進(jìn)而可以求得AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解題【解答】解：（1）ACB=DCE，DCB=DCB，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，CEB=ADC=180°CDE=120°，AEB=CEBCED=60°；（2）AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：

43、如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90°，ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BECDCE為等腰直角三角形，CDE=CED=45°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，ADC=135°BEC=135°，AEB=BECCED=90°CD=CE，CMDE，DM=MEDCE=90°，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證ACDBCE是解題的關(guān)鍵11（2014齊齊

44、哈爾）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP（無(wú)需寫證明過(guò)程）（1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無(wú)需證明【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題【分析】（1）如答圖2，作輔助線，構(gòu)造全等三角形BDF

45、PDA，可以證明BD=DP；（2）如答圖3，作輔助線，構(gòu)造全等三角形BDFPDA，可以證明BD=DP【解答】題干引論：證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)D作DFMN，交AB于點(diǎn)F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90°，F(xiàn)DP+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP成立證明：如答圖2，過(guò)點(diǎn)D作DFMN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90°，ADB+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP證明：如答圖3，過(guò)點(diǎn)D作D

46、FMN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵12（2009沈陽(yáng)）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中ACB=DEB=90°，A=D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F（1）求證：AF+EF=DE；（2）若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且0°60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60°180°，其它條件不變，如圖你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題；探究型【分析】（1）我們已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就能得出本