二次微分方程的通解,DOC

1、第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)過(guò)程:一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中 p、q均為常數(shù).如果 yi、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解那么 y 毛 iyi弋 2y2就是它的通解.我們看看能否適當(dāng)選取 1使 y =ex滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將 yjx代入方程yyFy 右* ；得2rx（r V+q）e 方-由此可見(jiàn)只要 1滿足代數(shù)方程 rSr-t,函數(shù) y 曰就是微分方程的解

2、特征方程：方程/巾 r屯的叫做微分方程 y 0 護(hù) q/尙的特征方程 特征方程的兩個(gè)根門(mén)、！*2可用公式求出-：-特征方程的根與通解的關(guān)系：Xr （1）特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根門(mén)、r2 時(shí)；函數(shù) y=e 1 . y=e 2是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.1 2這是因?yàn)椤?rixvr? x甬5y e、 y=e足萬(wàn)桂的購(gòu)乂1 2因此方程的通解為y =Cie“ C2er21r Xr x（2）特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 n=r2肢函數(shù) y=e . y =xe .是二階常系數(shù)齊次線性微分方程r x=e（rl2）X不是常數(shù)”r xy2 e 21 2的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解這是因?yàn)?yi =er.x是方程的解 又riX

3、(2n+p)+xeriX(n2+pri+q尸 0,所以 y =xe也是方程的解2因此方程的通解為y =Cie“斗C2xe.(3)特征方程有一對(duì)共轆復(fù)根 ri.2函數(shù) yW、亍 e 是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)+ =該 P acos Px =4-( yi+y?).yi y2 2e cos xyiyzTie驗(yàn)in艮q sin氏二一(yi Y2 )2i：故 e仝cos 克、y2Tsin 也是方程解 可以驗(yàn)證 y丘陀 os艮、y2亡住 in雖是方程的線性無(wú)關(guān)解因此方程的通解為._y 倉(cāng)勺 Cicos P Csin x0求二階常系數(shù)齊次線性微分方程yMpy py P 的通解的步驟為第一步寫(xiě)出微分方程的特

4、征方程/+prtq=o*第二步求出特征方程的兩個(gè)根 門(mén)、2第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況寫(xiě)出微分方程的通解例 1求微分方程 y 劭沖的通解解所給微分方程的特征方程為即(r+l )(r 5)行其根 ri =-1 K2 弓是兩個(gè)不相等的實(shí)根因此所求通解為yPe化 2戶例 2求方程 y，_y P 滿足初始條件 ylx=F4、&1獰曠 2 的特解解所給方程的特征方程為yi數(shù)形式的解 函數(shù) y弋徨 os P、y =&sinPx是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解 函數(shù)yiw(時(shí)*和2弋 0-都是方程的解而由歐拉公式得*(cos 0 x +r2+2r+l =0 即(r+1)2=0其

5、根 ri ft 亠 1是兩個(gè)相等的實(shí)根 因此所給微分方程的通解為 yfCi 乜 x)e 將條件 ylx4代入通解 得 Ci 從而y4 ?x)e .將上式對(duì) x求導(dǎo)得y =C2-4 2X)e 人.再把條件 y lx2代入上式、得 C2 三于是所求特解為 x=(4+2x)e .例 3 求微分方程 y Jy的通解.解所給方程的特征方程為2r -2ri5特征方程的根為 r i=lir 2=1 2i是一對(duì)共轆復(fù)根因此所求通解為yex(Cicos2x 42Sin2x).n階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程y(n)卞ly(n 1)巾2y(n2) +pnTy+ pn亍 0稱為 n 階常系數(shù)齊次線性微分方程其中 p

6、ipn都是常數(shù)二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到分方程上去引入微分算子 D及微分算子的n次多項(xiàng)式：L(D)=Dn4piDn +2Dnirf pm則 n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(D11卞 1D11計(jì)勺)2Dn*+pn4D 卞 n)y 仔或 L(D) y 0= _12 _ ”3_ ”，(n)注 D 叫做微分算了 DyyOy yD*yyDy y ； D)廠 y * 分析冷 y于*則L(D)y 毛(D)erx=frn)irn_l2 rn_i+*-)n r n)erx= L(r )erx.因此如果 i是多項(xiàng)式 L(r)的根則、y二 J*是微分方程 L(D) y=0的解n

7、階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程：L(r )-n-+pirn 4jp2r +pnir 枷 &稱為微分方程 L(D) y =0 的特征方程.n階常系數(shù)齊次線性微特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)：?jiǎn)螌?shí)根 I對(duì)應(yīng)于一項(xiàng) Cerx；對(duì)單復(fù)根 r 1 2 亠吉對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng) b (Cicos x &sin 烏:k重實(shí)根 r對(duì)應(yīng)于 k 項(xiàng)x(Ci t2x + +CkxkT)；一對(duì) k 重復(fù)根 r i 厶皿勺助應(yīng)于 2k項(xiàng)：c(Ci t：2X +Ckxkh )cosPxDi4D2xEhx* l)sinx P例 4求方程 yRy的通解.解這里的特征方程為r4-2r3+5r= 0,即Q它的根是 n英2

8、和 r 34,=4 2i因此所給微分方程的通解為yi 2X e(C3Cos2x C0 . 解這里的特征方程為它的根為 r =_(li) r =_ (li)1,2J23,4y2,因此所給微分方程的通解為二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡(jiǎn)介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程方程yPyPy 疑 X)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中 P、q 是常數(shù)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解 yM(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y：y*(x)之和：y(x)曲 x)_|當(dāng) f(x)為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法一、： f(X)Pm(X 托*型人當(dāng) f(x)=Pm(x)e1時(shí)可以猜想，方程的

9、特解也應(yīng)具有這種形式 入方程得等式Qx)華卅 Q(X)+,護(hù);)Q(x)(X)如果*5是特征方程 r2+prti=的根則 k +p+q 審要使上式成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為 m 次多項(xiàng)式Qn1(x)=b()xm-+bixm-1*+b m 4X 由 m ,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定 b() bl dbm并得所求特解y*=Qm(x) e4(2)如果槻特征方程 r 2+pr+q 書(shū)的單根則監(jiān)+p 入+q但 2 兀+p 和要使等式 Q(X)芒 材 Q(X)+ 右齊/巾)Q(X)因此設(shè)特解形式為 y*=Q(x)eA將其代=Pm(x)成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為 m +1次多項(xiàng)式：Q(x) PQm(X)號(hào)Qm(x

10、) 土 OX” -+b 1 Xm-1-K+bni XX frm ,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定 bo bl廠并得所求特解y* Qm(x)e 無(wú).(3)如果九是特征方程 r2-rq=e 的二重根則 7辺 4p 九屯要使等式Q(x)也 Vp)Q(x)+& 知九如 Q(x)知(x)成立 Q(x)應(yīng)設(shè)為 m 42次多項(xiàng)式：Q(X) =x2Qm(x),Qm(x) =b()Xin檢 1+bni _LX frm ,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)可確定 bo bl wbm 并得所求特解y*2Qm( x)eA.-綜上所述 我們有如下結(jié)論 如果 f(x)芒 m(x)e 入則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y內(nèi)

11、破 f(冃有形如k _、Iy*=x Qm(x)e “的特解共中 Qm(X)是與 P.n(X)同次的多項(xiàng)式ffi k按九不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或 2.例 1求微分方程 yy書(shū) X +1 的一個(gè)特解解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且函數(shù) f(x)是 Pm(x)e1型(其中 Pm(x)詔 x十詳 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為-y Jy Ty 兇.它的特征方程為2 , -r 2r -3 弋.I 由于這里 NT)不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y*=box i?i .把它代入所給方程得box2bo 3bi Ex 十、比較兩端 x同次幕的系數(shù)得J-3bo= 3_

12、= _=、一 2b 一 3b= F3bo 3,_2bo3bi fLo 11由此求得 bo亠 lb =于是求得所給方程的一個(gè)特解為弓13y*=x. +13例 2求微分方程 y和5滬 5y吠/x的通解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且 f(x)是 Pm( x)e 入型(其中 Pm(x)=x請(qǐng) 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y”dy *y=0 .它的特征方程為2r -5r b右特征方程有兩個(gè)實(shí)根 rir2于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為弓Y=Cie2x+C2e3x由于九/是特征方程的單根所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*=K(box -bi)e2x把它代入所給方程得-2boxbo -bi-比較兩端 X

13、 同次幕的系數(shù)得r-2bo=l1_ bo =1 2bo-bi =0 . Il2bobi=O由此求得 bo=_u 于是求得所給方程的一個(gè)特解為2y*幺(Lx_ l)e2x.2從而所給方程的通解為y X e2x+C e3x_ (X2+2x)e21 22提示：y*(box ti)e2x=(box2+bix)d(box2tix)e2x=f(2 boxti) t boxbix)*2e2(box2 4bix)e2x =2bo 七 Qboxbi) 2 tbox2l)ix) 22e2xy*M-5y* 卞 y* 去 box2+ bix)e2xjr-5( box2+bix)e2xf45( box2+bix)e2x

14、=2boH2(2box 節(jié)I) 2 ijbox2tix) 22e2x-5(2 box*)i) tboxtix) 2e2 X46(box2t)ix)e2x=2bo t(2box ti) 5(2box fri)e2xf 2box 2bo bre2x方程 y 飾 qt e 訥(x)cos xO 4pn (x)sinC3x的特解形式應(yīng)用歐拉公式可得e Pi (x)cos03x +pn(x)sin x=P(x)e曾:x+P驅(qū)弋)才1一1其中=(,=_(P+P(x) 2 Pi Pni) P (x) 21Pni)血 m max. 1 n設(shè)方程 yM)yrHqy P(x)e(禹x的特解為 yi*kQm(x)e

15、( A,則 yi*=xkQm(x)e(/ _PO)必是方程 y+py%y P(x)e(A_c)的特解，其中 k 按九土。不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0 或 1 .JKL于是方程 y py Fy 毛專 Pi(x)cos oxPn(x)sincx 啲特解為A=Xke4R(l)m(X)C0S(2) m(X)SilPx綜上所述我們有如下結(jié)論：如果 f(x) =eAPi (x)cosC0 x+Pn(x)sinCOx則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y肉陸 f(彩的特解可設(shè)為y*ke 勺 Rn】(x)cos 險(xiǎn)垠 m( x)sinx,其中 Rm(x)、R(2)m(x)是 m 次多項(xiàng)式 m R?ax

16、In.而 k 按 兀或兀一 CO)不是特征方程的根或是特征 方程的單根依次取 o 或 1 . ./： -例 3求微分方程 y y；擊)？2x的一個(gè)特解解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程A且 f(x)屬于 e tPiCxJcos XOPfr(x)sin 3x型(其屮 2倉(cāng) 0=2 Pi (x)=xPn(x)=0).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y t，一/. 一它的特征方程為1牛 1=0由于這里”3 切不是特征方程的根所以應(yīng)設(shè)特解為y*=ax i)cos2x cxdsin2x*把它代入所給方程得(-3ax3b 4c)cos2x pcx 3H 4)sin2x xes2x . 1比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)得. =-4一二a 3d 9于是求得一個(gè)特解為y =_Xx+4 sin 2x*3 cos2 9提示：y*ax t)cos2x jfcx dsin2xy*r=