2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第五節(jié) 雙曲線 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)雙曲線雙曲線核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)2結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)，考查求相關(guān)量的計算，考查求相關(guān)量的計算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)理清主干知識理清主干知識1雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點 f1，f2的的距離的差的絕對值距離的差的絕對值等于常數(shù)等于常數(shù)(小于小于|

2、f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的線這兩個定點叫做雙曲線的焦點焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距焦距集合集合 pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中，其中 a，c 為常數(shù)且為常數(shù)且 a0，c0.(1)當當 2a|f1f2|時，時，p 點不存在點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程標準方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍xa 或或 xa，yrya 或或 ya，xr對稱性對稱性對稱軸：對稱軸：坐標軸坐標軸，對稱中心：，對稱中心：原點

3、原點頂點頂點a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線漸近線ybaxyabx離心率離心率eca，e(1，)實虛軸實虛軸線段線段 a1a2是雙曲線的實軸，它的長是雙曲線的實軸，它的長|a1a2|2a；線段線段 b1b2是雙曲線的虛軸，它的長是雙曲線的虛軸，它的長|b1b2|2b；a 是雙曲線的實半軸長，是雙曲線的實半軸長，b 是雙曲線的虛半軸長是雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)23常用結(jié)論常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為雙曲線的焦點到其漸近線的距離為 b.(2)若若 p 是雙曲線右支上一點是雙曲線右支上一點， f1， f2分

4、別為雙曲線的左分別為雙曲線的左、 右焦點右焦點， 則則|pf1|minac， |pf2|minca.(3)等軸雙曲線等軸雙曲線定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線曲線性質(zhì)性質(zhì)：ab；e 2；漸近線互相垂直漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項點距離的等比中項(4)共軛雙曲線共軛雙曲線定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一

5、條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線曲線互為共軛雙曲線性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于于1.澄清盲點誤點澄清盲點誤點一、關(guān)鍵點練明一、關(guān)鍵點練明1(雙曲線的定義雙曲線的定義)設(shè)設(shè) f1，f2分別是雙曲線分別是雙曲線 x2y291 的左、右焦點若點的左、右焦點若點 p 在雙曲線上，在雙曲線上，且且|pf1|5，則，則|pf2|()a5b3c7d3 或或 7解析：解析：選選 d|pf1|pf2|2，|pf2|7 或或 3.2(雙曲線的實軸雙曲線的實軸)雙曲線雙曲線

6、2x2y28 的實軸長是的實軸長是()a2b2 2c4d4 2解析：解析：選選 c雙曲線雙曲線 2x2y28 的標準方程為的標準方程為x24y281，故實軸長為，故實軸長為 4.3(雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線)若雙曲線若雙曲線 c：x2my21(m0)的一條漸近線方程為的一條漸近線方程為 3x2y0，則實，則實數(shù)數(shù)m()a.49b94c.23d32答案：答案：a34(雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程)以橢圓以橢圓x24y231 的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為_解析解析：設(shè)所求的雙曲線方程為：設(shè)所求的雙曲線方程為x2a2y2b21(a0，b0)，由

7、橢圓由橢圓x24y231，得焦點為，得焦點為(1,0)，頂點為，頂點為(2,0)所以雙曲線的頂點為所以雙曲線的頂點為(1,0)，焦點為，焦點為(2,0)所以所以 a1，c2，所以，所以 b2c2a23，所以雙曲線標準方程為所以雙曲線標準方程為 x2y231.答案答案：x2y2315(雙曲線的離心率雙曲線的離心率)若雙曲線若雙曲線x2a2y241(a0)的離心率為的離心率為52，則，則 a_.解析解析：設(shè)焦距為設(shè)焦距為 2c，則則ca52，即即 c254a2.由由 c2a24 得得54a2a24，所以所以 a216，所以所以 a4.答案答案：4二、易錯點練清二、易錯點練清1(忽視雙曲線定義的條件

8、忽視雙曲線定義的條件)平面內(nèi)到點平面內(nèi)到點 f1(0,4)，f2(0，4)的距離之差等于的距離之差等于 6 的點的軌跡的點的軌跡是是_解析解析：由由|pf1|pf2|62，故，故|pf2|6.答案答案：63(忽視焦點的位置忽視焦點的位置)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為傾斜角為3，則雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為_解析解析：若雙曲線的焦點在：若雙曲線的焦點在 x 軸上，軸上，4設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為x2a2y2b21，則漸近線的方程為則漸近線的方程為 ybax，由題意可得由題意可得b

9、atan3 3，b 3a，可得，可得 c2a，則則 eca2；若雙曲線的焦點在；若雙曲線的焦點在 y 軸上，軸上，設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為y2a2x2b21，則漸近線的方程為則漸近線的方程為 yabx，由題意可得由題意可得abtan3 3，a 3b，可得可得 c2 33a，則，則 e2 33.綜上可得綜上可得 e2 或或 e2 33.答案答案：2 或或2 33考點一考點一雙曲線的定義及其應(yīng)用雙曲線的定義及其應(yīng)用考法考法(一一)利用定義求軌跡方程利用定義求軌跡方程例例 1已知圓已知圓 c1：(x3)2y21 和圓和圓 c2：(x3)2y29，動圓，動圓 m 同時與圓同時與圓 c1及圓及圓

10、 c2外切，則動圓圓心外切，則動圓圓心 m 的軌跡方程為的軌跡方程為_解析解析如圖所示，設(shè)動圓如圖所示，設(shè)動圓 m 與圓與圓 c1及圓及圓 c2分別外切于點分別外切于點 a 和點和點 b，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.因為因為|ma|mb|，所以所以|mc2|mc1|bc2|ac1|3126.這表明動點這表明動點 m 到兩定點到兩定點 c2，c1的距離的差是常數(shù)的距離的差是常數(shù) 2 且小于且小于|c1c2|.根據(jù)雙曲線的定義知根據(jù)雙曲線的定義知， 動動點點 m 的軌跡為雙曲線的左支的軌跡為雙曲線的左支(點點 m 到到 c

11、2的距離大的距離大， 到到 c1的距離小的距離小)，且且 a1，c3，則，則 b28，設(shè)點，設(shè)點 m 的坐標為的坐標為(x，y)，則其軌跡方程為，則其軌跡方程為 x2y281(x1)答案答案x2y281(x1)考法考法(二二)求解求解“焦點三角形焦點三角形”問題問題例例 2已知已知 f1，f2為雙曲線為雙曲線 c：x2y21 的左、右焦點，點的左、右焦點，點 p 在在 c 上，上，f1pf260，則則|pf1|pf2|()5a2b4c6d8解析解析由雙曲線的方程得由雙曲線的方程得 a1，c 2，由雙曲線的定義得由雙曲線的定義得|pf1|pf2|2.在在pf1f2中，由余弦定理得中，由余弦定理得

12、|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，即即(2 2)2|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|22|pf1|pf2|，解得解得|pf1|pf2|4.答案答案b考法考法(三三)利用定義求最值利用定義求最值例例 3已知已知 f 是雙曲線是雙曲線x24y2121 的左焦點的左焦點，a(1,4)，p 是雙曲線右支上的一動點是雙曲線右支上的一動點，則則|pf|pa|的最小值為的最小值為_解析解析因為因為 f 是雙曲線是雙曲線x24y2121 的左焦點，所以的左焦點，所以 f(4,0)，設(shè)其右焦點為，設(shè)其右焦點為 h(4,0)，

13、則由，則由雙曲線的定義可得雙曲線的定義可得|pf|pa|2a|ph|pa|2a|ah|4 41 2 04 2459.答案答案9方法技巧方法技巧雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程(2)在在“焦點三角形焦點三角形”中中，常利用正弦定理常利用正弦定理、余弦定理余弦定理，經(jīng)常結(jié)合經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運用平運用平方的方法，建立方的方法，建立|pf1|與與|pf2|的關(guān)系的關(guān)系提醒提醒在應(yīng)用雙曲線定義時在應(yīng)用雙曲線定義時，要注意定義中的條件要注意定

14、義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1已知點已知點 o(0,0)，a(2,0)，b(2,0)設(shè)點設(shè)點 p 滿足滿足|pa|pb|2，且且 p 為函數(shù)為函數(shù) y34x2圖圖象上的點，則象上的點，則|op|()a.222b4 105c. 7d 10解析解析：選選 d由由|pa|pb|20， b0)的左焦點為的左焦點為(3,0)， 且且 c 的離心率為的離心率為32， 則則 c 的方程為的方程為()a.y24x251by25x2418c.x24y251dx25y2

15、41解析：解析：選選 c由題意，可得由題意，可得 c3，又由，又由 eca32，a2，又又 b232225，故，故 c 的方程為的方程為x24y251，故選，故選 c.2(2020天津高考天津高考)設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 c 的方程為的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，過拋物線過拋物線 y24x 的焦點和點的焦點和點(0，b)的直線為的直線為 l.若若 c 的一條漸近線與的一條漸近線與 l 平行，另一條漸近線與平行，另一條漸近線與 l 垂直，則雙曲線垂直，則雙曲線 c 的方程的方程為為()a.x24y241bx2y241c.x24y21dx2y21解析解析：選選 d法一法一：由題知由題知 y2

16、4x 的焦點坐標為的焦點坐標為(1,0)，則過焦點和點則過焦點和點(0，b)的直線方程為的直線方程為 xyb1，而，而x2a2y2b21 的漸近線方程為的漸近線方程為xayb0 和和xayb0，由，由 l 與一條漸近線平行，與另一與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得條漸近線垂直，得 a1，b1，故選，故選 d.法二法二：由題知雙曲線由題知雙曲線 c 的兩條漸近線互相垂直的兩條漸近線互相垂直，則則 ab，即漸近線方程為即漸近線方程為 xy0，排除排除 b、c.又知又知 y24x 的焦點坐標為的焦點坐標為(1,0)，l 過點過點(1,0)，(0，b)，所以，所以b0011，b1，故選，故選 d

17、.考點三考點三雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)考法考法(一一)求雙曲線的漸近線方程求雙曲線的漸近線方程例例 1(1)(2021湖南長沙模擬湖南長沙模擬)已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為 f1，f2，m 為雙曲線上一點，若為雙曲線上一點，若 cosf1mf214，|mf1|2|mf2|，則此雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的漸近線方程為()ay 3xby33xcyxdy2x(2)已知雙曲線已知雙曲線 c：x23y21，o 為坐標原點為坐標原點，f 為為 c 的右焦點的右焦點，過過 f 的直線與的直線與 c 的兩條漸的兩條漸近線的交點分別為近

18、線的交點分別為 m，n.若若omn 為直角三角形，則為直角三角形，則|mn|()a.32b3c2 3d4解析解析(1)由題意，得由題意，得|mf1|mf2|2a，又又|mf1|2|mf2|，|mf1|4a，|mf2|2a，9cosf1mf216a24a24c224a2a14，化簡得化簡得 c24a2，即，即 a2b24a2，b23a2，又又 a0，b0，ba 3，此雙曲線的漸近線方程為此雙曲線的漸近線方程為 y 3x，故選，故選 a.(2)法一法一： 由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為 y13x.設(shè)兩條漸近線設(shè)兩條漸近線的夾角為的夾角為 2，則有，則有 tan 1

19、333，所以，所以30.所以所以mon260.又又omn 為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè) mnon，如圖所示，如圖所示在在rtonf 中，中，|of|2，則，則|on| 3.在在 rtomn 中，中，|mn|on|tan 2 3tan 603.故選故選 b.法二：法二：因為雙曲線因為雙曲線x23y21 的漸近線方程為的漸近線方程為 y33x，所以，所以mon60.不妨設(shè)過點不妨設(shè)過點 f 的的直線與直線直線與直線 y33x 交于點交于點 m，由由omn 為直角三角形為直角三角形，不妨設(shè)不妨設(shè)omn90，則則mfo60，又直線，又直線 mn

20、過點過點 f(2,0)，所以直線，所以直線 mn 的方程為的方程為 y 3(x2)，由由y 3 x2 ，y33x，得得x32，y32，所以所以 m32，32 ，所以，所以|om|322322 3，所以所以|mn| 3|om|3，故選，故選 b.答案答案(1)a(2)b方法技巧方法技巧涉及雙曲線漸近線的幾個常用結(jié)論涉及雙曲線漸近線的幾個常用結(jié)論(1)求雙曲線求雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)或或y2a2x2b21(a0，b0)的漸近線方程的方法是令右邊的常的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于數(shù)等于 0，即令，即令x2a2y2b20，得，得 ybax，或令，或令y2a2x2b20，得，得 y

21、abx.(2)已知漸近線方程為已知漸近線方程為 ybax，可設(shè)雙曲線方程為，可設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b2(a0，b0，0)提醒提醒兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于 x 軸、軸、y 軸對稱軸對稱考法考法(二二)求雙曲線的離心率求雙曲線的離心率例例 2(1)若雙曲線若雙曲線 c：x2a2y2b21 (a0，b0)的漸近線與圓的漸近線與圓(x3)2y21 無交點無交點，則則 c 的的10離心率的取值范圍為離心率的取值范圍為()a.1，3 24b1，2 33c.3 24，d2 33，(2)(2019全國卷全國卷)已知雙

22、曲線已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦點分別為右焦點分別為 f1，f2，過過 f1的直線與的直線與 c 的兩條漸近線分別交于的兩條漸近線分別交于 a，b 兩點兩點若若f1a ab，f1bf2b0，則則 c 的離心的離心率為率為_解析解析(1)雙曲線漸近線為雙曲線漸近線為 bxay0 與圓與圓(x3)2y21 無交點，無交點，圓心到漸近線的距離大于半徑，即圓心到漸近線的距離大于半徑，即3ba2b21，8b2a2，8(c2a2)a2，即，即 8c29a2，eca3 24.故選故選 c.(2)法一法一：由：由f1a ab，得，得 a 為為 f1b 的中點的中點又又o 為為

23、 f1f2的中點，的中點，oabf2.又又f1bf2b0，f1bf290.|of2|ob|，obf2of2b.又又f1oabof2，f1oaof2b，bof2of2bobf2，obf2為等邊三角形為等邊三角形如圖所示，不妨設(shè)如圖所示，不妨設(shè) b 為為c2，32c.點點 b 在直線在直線 ybax 上，上，ba 3，離心率離心率 eca1b2a22.法二法二： f1bf2b0， f1bf290.在在 rtf1bf2中中， o 為為 f1f2的中點的中點， |of2|ob|11c.如圖如圖，作作 bhx 軸于軸于 h，由由 l1為雙曲線的漸近線為雙曲線的漸近線，可得可得|bh|oh|ba，且且|b

24、h|2|oh|2|ob|2c2，|bh|b，|oh|a，b(a，b)，f2(c,0)又又f1a ab，a 為為 f1b 的中點的中點oaf2b，babca，c2a，離心率離心率 eca2.答案答案(1)c(2)2方法技巧方法技巧1求雙曲線的離心率或其范圍的方法求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求求 a，b，c 的值，由的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求直接求 e.(2)列出含有列出含有 a，b，c 的齊次方程的齊次方程(或不等式或不等式)，借助，借助 b2c2a2消去消去 b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于 e 的的方程方程(或不等式或不等式)求解，注意求解，注意 e 的取值范圍的

25、取值范圍(3)因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法例如，令因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法例如，令 a1，求出相應(yīng)，求出相應(yīng) c 的值，進而求的值，進而求出離心率，能有效簡化計算出離心率，能有效簡化計算(4)通過特殊位置求出離心率通過特殊位置求出離心率2 雙曲線雙曲線x2a2y2b21(a0， b0)的漸近線的斜的漸近線的斜率率 k 與離心與離心率率 e 的關(guān)系的關(guān)系： 當當 k0 時時， kbac2a2ac2a21 e21；當；當 k0 時，時，kba e21.考法考法(三三)與雙曲線有關(guān)的范圍、最值問題與雙曲線有關(guān)的范圍、最值問題例例 3(2021晉中模擬晉中模擬)已知已知 m(x

26、0，y0)是雙曲線是雙曲線 c：x22y21 上的一點，上的一點，f1，f2是雙曲是雙曲線線c 的兩個焦點若的兩個焦點若mf1mf20，則，則 y0的取值范圍是的取值范圍是()a.33，33b36，36c.2 23，2 23d2 33，2 33解析解析由題意知由題意知 a 2，b1，c 3，設(shè)設(shè) f1( 3，0)，f2( 3，0)，則則mf1( 3x0，y0)，mf2( 3x0，y0)因為因為mf1mf20，所以，所以( 3x0)( 3x0)y200，即即 x203y200.因為點因為點 m(x0，y0)在雙曲線在雙曲線 c 上，上，所以所以x202y201，即，即 x2022y20，12所以

27、所以 22y203y200，所以所以33y00，b0)的左的左焦點焦點 f 和虛軸的上端點和虛軸的上端點 b(0，b)，且與圓且與圓 x2y28 交于點交于點 m，n，若若|mn|2 5，則雙曲線則雙曲線的離心率的離心率 e 的取值范圍是的取值范圍是()a(1， 6 b1，62c.62，d 6，)解析：解析：選選 c設(shè)圓心到直線設(shè)圓心到直線 l 的距離為的距離為 d(d0)，因為因為|mn|2 5，所以，所以 2 8d22 5，即，即 00，b0)的左焦點的左焦點 f 和虛軸的上端點和虛軸的上端點 b(0，b)，得得|k|bc.所以所以bc33，即，即b2c213，所以，所以c2a2c213，

28、即即 11e213，所以，所以 e62，于是雙曲線的離心率于是雙曲線的離心率 e 的取值范圍是的取值范圍是62，.3(2020全國卷全國卷)已知已知 f 為雙曲線為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點的右焦點，a 為為 c 的右頂點的右頂點，b 為為 c 上的點，且上的點，且 bf 垂直于垂直于 x 軸若軸若 ab 的斜率為的斜率為 3，則，則 c 的離心率為的離心率為_14解析：解析：設(shè)設(shè) b(c，yb)，因為，因為 b 為雙曲線為雙曲線 c：x2a2y2b21 上的點，所以上的點，所以c2a2y2bb21，所以，所以 y2bb4a2.因為因為 ab 的斜率為的斜率為 3，所

29、以，所以 ybb2a，b2aca3，所以，所以 b23ac3a2，所以，所以 c2a23ac3a2，所以所以 c23ac2a20，解得，解得 c2a 或或 ca(舍去舍去)，所以，所以 c 的離心率的離心率 eca2.答案：答案：24設(shè)設(shè) f1，f2分別為雙曲線分別為雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦點右焦點，p 為雙曲線右支上一點為雙曲線右支上一點，若若3|pf2|pf1|2a|pf2|的最大值為的最大值為13a，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍為，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍為_解析解析： |pf1|pf2|2a， 3|pf2|pf1|2a|pf2|3|pf2| |pf2

30、|2a 2a|pf2|3|pf2|pf2|25a|pf2|4a23|pf2|4a2|pf2|5a32|pf2|4a2|pf2|5a13a，當且僅當當且僅當|pf2|4a2|pf2|，即，即|pf2|2a 時，等號成立，此時時，等號成立，此時|pf1|4a.|pf1|pf2|f1f2|，即有即有 6a2c，9a2c2，8a2b2，解得，解得 0ba2 2，2 2ba0，b0)的漸近線方程為的漸近線方程為 y 3x，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為_解析解析由題意知由題意知ba 3，即，即 b23a2，所以所以 c2a2b24a2，所以，所以 eca2.答案答案2名師微點名師微點根據(jù)雙曲

31、線的漸近線與離心率之間的關(guān)系根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率之間的關(guān)系，可以利用漸近線方程中的可以利用漸近線方程中的ba確定雙曲線的離心確定雙曲線的離心率率eca1ba2.方法方法(三三)利用雙曲線的定義利用雙曲線的定義例例 3設(shè)設(shè) f1，f2分別是雙曲線分別是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦點右焦點，若雙曲線上存在點若雙曲線上存在點 a，使使f1af290且且|af1|3|af2|，則雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為_解析解析因為因為f1af290， 故故|af1|2|af2|2|f1f2|24c2， 又又|af1|3|af2|， 且且|af1|af2|2a，所以，所以 1

32、0a24c2，即，即c2a252，故，故 eca102.答案答案102名師微點名師微點雙曲線上的點雙曲線上的點 a 與兩個焦點構(gòu)成一個直角三角形與兩個焦點構(gòu)成一個直角三角形， 結(jié)合直角三角形的屬性和雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的屬性和雙曲線的定義，建立關(guān)系即可求出雙曲線的離心率建立關(guān)系即可求出雙曲線的離心率方法方法(四四)利用關(guān)于利用關(guān)于 a，c 的齊次方式的齊次方式例例 4已知點已知點 f 是雙曲線是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左焦點的左焦點，點點 e 是該雙曲線的右頂點是該雙曲線的右頂點，過過f 作垂直于作垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于軸的直線與雙曲線交于 a，b 兩點，若兩點

33、，若abe 是銳角三角形，則該雙曲線的是銳角三角形，則該雙曲線的離心率離心率 e 的取值范圍是的取值范圍是()a(1，)b(1,2)c(2,1 2)d(1,1 2)16解析解析若若abe 是銳角三角形，只需是銳角三角形，只需aef45，在，在 rtafe 中，中，|af|b2a，|fe|ac，則則b2aac，即即 b2a2ac，即即 2a2c2ac0，則則 e2e20，解得解得1e2，又又e1，則，則 1e2，故選，故選 b.答案答案b名師微點名師微點根據(jù)題意建立根據(jù)題意建立 a，c 之間的關(guān)系，結(jié)合之間的關(guān)系，結(jié)合 eca建立關(guān)于建立關(guān)于 e 的一元二次方程或不等式求解的一元二次方程或不等式

34、求解二、創(chuàng)新考查方式二、創(chuàng)新考查方式領(lǐng)悟高考新動向領(lǐng)悟高考新動向1.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿 ob 通過通過 o 處的鉸鏈與固定好的短處的鉸鏈與固定好的短桿桿 oa 連接，取一條定長的細繩，一端固定在點連接，取一條定長的細繩，一端固定在點 a，另一端固定在點，另一端固定在點 b，套上鉛筆套上鉛筆(如圖所示如圖所示)作圖時作圖時，使鉛筆緊貼長桿使鉛筆緊貼長桿 ob，拉緊繩子拉緊繩子，移動筆移動筆尖尖m(長桿長桿 ob 繞繞 o 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動)， 畫出的曲線即為雙曲線的一部分畫出的曲線即為雙曲線的一部分 若若|oa|10， |ob|12，細繩長為，細繩長為 8，

35、則所得雙曲線的離心率為，則所得雙曲線的離心率為()a.65b.54c.32d.52解析解析： 選選 d設(shè)設(shè)|mb|t， 則由題意則由題意， 可得可得|mo|12t， |ma|8t， 有有|mo|ma|4|ao|10，由雙曲線的定義可得動點由雙曲線的定義可得動點 m 的軌跡為雙曲線的一支的軌跡為雙曲線的一支，且雙曲線的焦距且雙曲線的焦距 2c10，實軸實軸長長 2a4，即，即 c5，a2，所以，所以 eca52.故選故選 d.2(多選多選)對于漸近線方程為對于漸近線方程為 xy0 的雙曲線，下列結(jié)論正確的是的雙曲線，下列結(jié)論正確的是()a實軸長與虛軸長相等實軸長與虛軸長相等b離心率是離心率是 2

36、c過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等d頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為 2解析解析：選選 abc依題意依題意，不妨設(shè)漸近線方程為不妨設(shè)漸近線方程為 xy0 的雙曲線方程為的雙曲線方程為 x2y2(0)，因因此實軸長與虛軸長均為此實軸長與虛軸長均為 2 |，所以，所以 a 正確；由于實軸長與虛軸長相等，所以離心率為正確；由于實軸長與虛軸長相等，所以離心率為 2，所以所以 b 正確正確；過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段

37、長為 2 |，而雙曲線的實軸而雙曲線的實軸長也為長也為 2 |，所以所以 c 正確正確；由相似三角形可知由相似三角形可知，頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為值為ac22，所以，所以 d 錯誤故選錯誤故選 a、b、c.3.青花瓷青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一是中國瓷器的主流品種之一如圖是如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形上下對稱，可看成一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形上下對稱，可看成17是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面若該花

38、瓶的最小直徑為若該花瓶的最小直徑為 16 cm，瓶口直徑瓶口直徑為為20 cm，瓶高，瓶高 20 cm，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為_解析解析：以花瓶最細處所在直線為以花瓶最細處所在直線為 x 軸軸，花瓶的豎直對稱軸為花瓶的豎直對稱軸為 y 軸軸，建立如圖所建立如圖所示的平面直角坐標系示的平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為x2a2y2b21(a0，b0)由題意可知由題意可知 a8，圖中的，圖中的 a 點坐標為點坐標為(10,10)將將 a8，(10,10)代入雙曲線方程，可得代入雙曲線方程，可得 b403，所以，所以ba53，所以，所以 e1ba2343.答案答案：

39、343課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測一、基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)練練手感熟練度練手感熟練度1雙曲線雙曲線x22y21 的實軸長為的實軸長為()a4b2c2 3d2 2解析：解析：選選 d由題知由題知 a22，a 2，故實軸長為，故實軸長為 2a2 2，故選，故選 d.2雙曲線雙曲線x25y2101 的漸近線方程為的漸近線方程為()ay12xby22xcy 2xdy2x解析：解析：選選 c雙曲線雙曲線x25y2101 的漸近線方程為的漸近線方程為x25y2100，整理得，整理得 y22x2，解得解得 y 2x，故選，故選 c.3已知雙曲線已知雙曲線x24y2b21(b0)的漸近線方程為的漸近線方程為3xy0，則

40、，則 b()a2 3b 3c.32d12解析解析： 選選 a因為雙曲線因為雙曲線x24y2b21(b0)的漸近線方程為的漸近線方程為 yb2x， 又漸近線方程為又漸近線方程為 y 3x，所以所以b2 3，b2 3，故選故選 a.4設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的虛軸長為的虛軸長為 4，一條漸近線為，一條漸近線為 y12x，則雙曲線，則雙曲線 c 的的方程為方程為()18a.x216y241bx24y2161c.x264y2161dx2y241解析：解析：選選 a因為雙曲線因為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的虛軸長為的虛軸長為 4，所以，所以 2b4，b2，

41、因為雙曲線因為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線為的一條漸近線為 y12x，所以，所以ba12a2b4，所以雙曲線所以雙曲線 m 的方程為的方程為x216y241，故選，故選 a.5若若 a1，則雙曲線，則雙曲線x2a2y21 的離心率的取值范圍是的離心率的取值范圍是()a( 2，)b( 2，2)c(1， 2)d(1,2)解析：解析：選選 c由題意得雙曲線的離心率由題意得雙曲線的離心率 ea21a，即即 e2a21a211a2.a1，01a21，111a22，1e 2.6(2020北京高考北京高考)已知雙曲線已知雙曲線 c：x26y231，則則 c 的右焦點的坐標為的右焦

42、點的坐標為_；c 的焦點的焦點到其漸近線的距離是到其漸近線的距離是_解析解析：雙曲線雙曲線 c：x26y231 中中，c2639，c3，則則 c 的右焦點的坐標為的右焦點的坐標為(3,0)c 的的漸近線方程為漸近線方程為 y36x， 即即 y12x， 即即 x 2y0， 則則 c 的焦點到其漸近線的距離的焦點到其漸近線的距離 d333.答案答案：(3,0)3二、綜合練二、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度1若實數(shù)若實數(shù) k 滿足滿足 0k9，則曲線，則曲線x225y29k1 與曲線與曲線x225ky291 的的()a離心率相等離心率相等b虛半軸長相等虛半軸長相等c實半軸長相等實半軸長相等d焦距相等

43、焦距相等解析：解析：選選 d由由 0k0，b0)的右焦點是的右焦點是 f，左、右頂點分別是，左、右頂點分別是 a1，a2，過，過 f 作作 a1a219的垂線與雙曲線交于的垂線與雙曲線交于 b, c 兩點若兩點若 a1ba2c，則該雙曲線的漸近線的斜率為，則該雙曲線的漸近線的斜率為()a12b22c1d 2解析解析： 選選 c由題設(shè)易知由題設(shè)易知 a1(a,0)， a2(a,0)， bc，b2a ， cc，b2a .a1ba2c， b2acab2aca1，整理得整理得 ab.漸近線方程為漸近線方程為 ybax，即即 yx，漸近線的斜率為漸近線的斜率為1.3已知雙曲線已知雙曲線x24y221 的

44、右焦點為的右焦點為 f，p 為雙曲線左支上一點為雙曲線左支上一點，點點 a(0， 2)，則則apf 周長的最小值為周長的最小值為()a4(1 2)b4 2c2( 2 6)d 63 2解析：解析：選選 a設(shè)雙曲線的左焦點為設(shè)雙曲線的左焦點為 f，易得點，易得點 f( 6，0)，apf 的周長的周長 l|af|ap|pf|af|2a|pf|ap|，要使要使apf 的周長最小的周長最小，只需只需|ap|pf|最小最小，易知當易知當 a，p，f三點共線時取到最小值，故三點共線時取到最小值，故 l2|af|2a4(1 2)故選故選 a.4在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xoy 中中，已知雙曲線已知雙曲

45、線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為的離心率為 5，從雙從雙曲線曲線 c 的右焦點的右焦點 f 引漸近線的垂線引漸近線的垂線，垂足為垂足為 a，若若afo 的面積為的面積為 1，則雙曲線則雙曲線 c 的方程的方程為為()a.x22y281bx24y21c.x24y2161dx2y241解析解析：選選 d因為雙曲線因為雙曲線 c 的右焦點的右焦點 f 到漸近線的距離到漸近線的距離|fa|b，|oa|a，所以所以 ab2，又又雙曲線雙曲線 c 的離心率為的離心率為 5，所以，所以1b2a2 5，即，即 b24a2，解得，解得 a21，b24，所以雙曲，所以雙曲線線 c 的方程為的方程

46、為 x2y241，故選，故選 d.5(2020全國卷全國卷)設(shè)設(shè) o 為坐標原點，直線為坐標原點，直線 xa 與雙曲線與雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的兩的兩條漸近線分別交于條漸近線分別交于 d，e 兩點若兩點若ode 的面積為的面積為 8，則，則 c 的焦距的最小值為的焦距的最小值為()a4b8c16d32解析解析：選選 b由題意知雙曲線的漸近線方程為由題意知雙曲線的漸近線方程為 ybax.因為因為 d，e 分別為直線分別為直線 xa 與雙曲與雙曲線線c 的兩條漸近線的交點的兩條漸近線的交點， 所以不妨設(shè)所以不妨設(shè) d(a， b)， e(a， b)， 所以所以 sode12a|

47、de|12a2b20ab8，所以所以 c2a2b22ab16，所以所以 c4，所以所以 2c8，所以所以 c 的焦距的最小值為的焦距的最小值為 8，故選故選 b.6 已知雙曲線已知雙曲線 c：x2a2y2b21 的一條漸近線的一條漸近線 l 的傾斜角為的傾斜角為3， 且且 c 的一個焦點到的一個焦點到 l 的距離為的距離為 3，則雙曲線則雙曲線 c 的方程為的方程為()a.x212y241bx24y2121c.x23y21dx2y231解析解析：選選 d由由x2a2y2b20 可得可得 ybax，即漸近線的方程為即漸近線的方程為 ybax，又一條漸近線又一條漸近線 l 的傾斜的傾斜角為角為3，

48、所以所以batan3 3.因為雙曲線因為雙曲線 c 的一個焦點的一個焦點(c,0)到到 l 的距離為的距離為 3，所以所以|bc|a2b2b 3，所以所以 a1，所以雙曲線的方程為所以雙曲線的方程為 x2y231.7(2021黃山一診黃山一診)雙曲線雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線與直線的一條漸近線與直線 x2y10 垂直垂直，f1，f2為為 c 的焦點，的焦點，a 為雙曲線上一點，若為雙曲線上一點，若|f1a|2|f2a|，則，則 cosaf2f1等于等于()a.32b54c.55d14解析：解析：選選 c因為雙曲線的一條漸近線與直線因為雙曲線的一條漸近線與直線 x2

49、y10 垂直，所以垂直，所以 b2a.又又|f1a|2|f2a|，且且|f1a|f2a|2a，所以所以|f2a|2a，|f1a|4a，而而 c25a2，得得 2c2 5a，所以所以 cosaf2f1|f1f2|2|f2a|2|f1a|22|f1f2|f2a|20a24a216a222 5a2a55，故選，故選 c.8(多選多選)設(shè)設(shè) f1，f2是雙曲線是雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦點右焦點，o 是坐標原點是坐標原點過過 f2作作 c 的一條漸近線的垂線，垂足為的一條漸近線的垂線，垂足為 p.若若|pf1| 6|op|，則下列說法正確的是，則下列說法正確的是()a|

50、f2p|bb雙曲線的離心率為雙曲線的離心率為 3c雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為 y 3x21d點點 p 在直線在直線 x33a 上上解析：解析：選選 abd由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為 ybax，即，即 bxay0，設(shè)焦點設(shè)焦點 f1(c,0)，f2(c,0)(a0，b0，c0)，因為過因為過 f2作作 c 的一條漸近線的垂線，垂足為的一條漸近線的垂線，垂足為 p，所以所以|f2p|bca0|a2b2bccb，故，故 a 正確；正確；因為因為|op| |of2|2|pf2|2 c2b2a，所以，所以|pf1| 6|op|

51、6a，cosf1opcos(180f2op)cosf2op|op|of2|ac，在三角形在三角形 opf1中中，根據(jù)余弦定理可知根據(jù)余弦定理可知 cosf1op|op|2|of1|2|f1p|22|op|of1|a2c26a22acac，解得，解得 3a2c2，即離心率，即離心率 e 3或或 e 3(舍去舍去)，故，故 b 正確；正確；因為因為 e1b2a2 3，解得，解得ba 2，所以漸近線的方程為，所以漸近線的方程為 y 2x，故，故 c 錯誤；錯誤；因為點因為點 p 在直線在直線 y 2x 上上， 可設(shè)可設(shè) p(x， 2x)(x0)， 由由|op|a 可知可知， |op| x2 2x 2

52、 3xa，解得，解得 x33a，故，故 d 正確正確9已知雙曲線已知雙曲線 c：x212y241，o 為坐標原點，為坐標原點，f 為為 c 的右焦點，過的右焦點，過 f 的直線與的直線與 c 的兩條的兩條漸近線的交點分別為漸近線的交點分別為 p，q，若，若poq 為直角三角形，則為直角三角形，則|pq|()a2b4c6d8解析：解析：選選 c對于雙曲線對于雙曲線 c：x212y241，右焦點為，右焦點為 f(4,0)，雙曲線的兩條雙曲線的兩條漸近線方程為漸近線方程為 y33x，由過點由過點 f 的直線交兩漸近線于的直線交兩漸近線于 p，q，不妨設(shè)點不妨設(shè)點 p在第一象限，點在第一象限，點 q

53、在第四象限，在第四象限，opq90，如圖所示，如圖所示，則在則在 rtpoq 中，中，poq60.又又pof30，|of|4，|op|2 3，|pq| 3|op|6.故選故選 c.10已知曲線已知曲線x22y2k2k1，當曲線表示焦點在，當曲線表示焦點在 y 軸上的橢圓時軸上的橢圓時 k 的取值范圍是的取值范圍是_；當曲線表示雙曲線時當曲線表示雙曲線時 k 的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：當曲線表示焦點在當曲線表示焦點在 y 軸上的橢圓時，軸上的橢圓時，k2k2，所以所以 k1 或或 k2；22當曲線表示雙曲線時，當曲線表示雙曲線時，k2k0，所以，所以 0k1.答案：答案：(，1)(2

54、，)(0,1)11若點若點 p 是以是以 a(3,0)，b(3,0)為焦點，實軸長為為焦點，實軸長為 25的雙曲線與圓的雙曲線與圓 x2y29 的一個交的一個交點，則點，則|pa|pb|_.解析：解析：不妨設(shè)點不妨設(shè)點 p 在雙曲線的右支上，則在雙曲線的右支上，則|pa|pb|.因為點因為點 p 是雙曲線與圓的交點，是雙曲線與圓的交點，所以由雙曲線的定義知，所以由雙曲線的定義知，|pa|pb|2 5，又又|pa|2|pb|236，聯(lián)立聯(lián)立化簡得化簡得 2|pa|pb|16，所以所以(|pa|pb|)2|pa|2|pb|22|pa|pb|52，所以，所以|pa|pb|2 13.答案答案：2 13

55、12已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線的兩條漸近線與拋物線 y24x 的準線分別交于的準線分別交于 a，b兩點，兩點，o 為坐標原點，若為坐標原點，若 saob2 3，則雙曲線的離心率，則雙曲線的離心率 e_.解析：解析：由題意，知拋物線的準線方程是由題意，知拋物線的準線方程是 x1，雙曲線的漸近線方程是，雙曲線的漸近線方程是 ybax.當當 x1時時， yba， 即即 a1，ba ， b1，ba 或或 a1，ba ， b1，ba .所以所以 saob122ba12 3，即，即ba2 3，所以，所以 e1ba2 13.答案答案： 1313 已知雙曲線已知雙

56、曲線 c： x2y281， 過左焦點過左焦點 f1的直線的直線 l 與雙曲線與雙曲線 c 的左支以及漸近線的左支以及漸近線 y2 2x交于交于 a，b 兩點，若兩點，若 f1aab，求直線，求直線 l 的斜率的斜率解：解：由題意知，雙曲線由題意知，雙曲線 c 的左焦點的左焦點 f1(3，0)，故設(shè)直線，故設(shè)直線 l 的方程為的方程為 yk(x3)，與，與 y2 2x 聯(lián)立，得聯(lián)立，得 b3k2 2k，6 2k2 2k ，由由 f1aab，得，得 a 為為 f1b 的中點，的中點，由中點坐標公式得由中點坐標公式得 a3 k 2 2 2k，3 2k2 2k .點點 a 在雙曲線上，在雙曲線上，3

57、k 2 2 2k23 2k2 2k281.即即 23k256 2k400，解得，解得 k10 223或或 k2 2(舍去舍去)14已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點為的右焦點為 f(c,0)23(1)若雙曲線的一條漸近線方程為若雙曲線的一條漸近線方程為 yx 且且 c2，求雙曲線的方程；，求雙曲線的方程；(2)以原點以原點 o 為圓心，為圓心，c 為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為 a，過，過 a 作圓的切作圓的切線，斜率為線，斜率為 3，求雙曲線的離心率，求雙曲線的離心率解：解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為因為雙曲線的漸近線方程為 ybax，所以