等差數(shù)列前n項和公式教學設(shè)計

1、等差數(shù)列前n項和公式教學設(shè)計教學目標：掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路，會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關(guān)的問題；提高學生的推理能力，增強學生的應用意識.教學重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導、理解及應用.教學難點：靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題.教學過程：.復習回顧經(jīng)過前面的學習，我們知道，在等差數(shù)列中：（1）anan1d(n1)，d為常數(shù).（2）若a，A，b為等差數(shù)列，則A.（3)若mnpq，則amanapaq.（其中m，n，p，q均為正整數(shù)）.講授新課隨著學習數(shù)列的深入，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題.例：如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆

2、，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，而且可以用一個式子來表示這種關(guān)系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個等差數(shù)求和問題？首先，我們來看這樣一個問題：123100？對于這個問題，著名數(shù)學家高斯10歲時曾很快求出它的結(jié)果，你知道他是怎么算的嗎？高斯的算法是：首項與末項的和：1100101，第2項與倒數(shù)第2項的和：299101，第3項與倒數(shù)

3、第3項的和：398101，第50項與倒數(shù)第50項的和：5051101，于是所求的和是101×5050.這個問題，它也類似于剛才我們所遇到的問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n,的前100項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式，那么上述問題便可迎刃而解.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，即Sna1a2an把項的次序反過來，Sn又可寫成Snanan1a1 2Sn(a1an)(a2an1)(ana1)又a2an1a3an2a4an3a

4、na12Snn(a1an)即：Sn若根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式，Sn可寫為：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n1)d,把項的次序反過來，Sn又可寫為：Sn=an+(and)+an(n1)d ,把、兩邊分別相加，得2Snn(a1an)即：Sn.由此可得等差數(shù)列an的前n項和的公式Sn.也就是說，等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半.用這個公式來計算123100？我們有S1005050.又ana1+(n1)d,Snna1dSn或Snna1d有了此公式，我們就不難解決最開始我們遇到的問題，下面我們看具體該如何解決？分析題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自上而下各層的鉛筆成等

5、差數(shù)列，可記為an，其中a11，a120120，n120.解：設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列an，其中n120，a11，a120120.則：S1207260答案：這個V形架上共放著7260支鉛筆.下面我們再來看一例題：等差數(shù)列10，6，2，2，前多少項的和是54?分析：先根據(jù)等差數(shù)列所給出項求出此數(shù)列的首項，公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解.解：設(shè)題中的等差數(shù)列為an，前n項為的Sn，由題意可知：a110，d(6)(10)4，Sn54由等差數(shù)列前n項求和公式可得： 10n×454解之得：n19，n23(舍去)答案：等差數(shù)列10，6，2，2，前9項的和是54.例1在等差數(shù)列an中，

6、（1）已知a2a5a12a1536，求S16（2）已知a620，求S11.分析：（1）由于本題只給了一個等式，不能直接利用條件求出a1，a16，d，但由等差數(shù)列的性質(zhì)，可以直接利用條件求出a1a16的和，于是問題得以解決.（2）要求S11只需知道a1a11即可，而a1與a11的等差中項恰好是a6，從而問題獲解.解：（1）a2a15a5a12a1a1618S168×18144.（2）a1a112a6S1111a611×20220.例2有一項數(shù)為2n1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比.分析一：利用Snna1d解題.解法一：設(shè)該數(shù)列的首項為a1，公差為d，奇數(shù)項為a1

7、，a12d，其和為S1，共n1項；偶數(shù)項為a1d，a13d，a15d，其和為S2，共n項.分析二：利用Sn解題. 解法二：由解法一知：S1，S2a1a2n+1a2a2n 例3若兩個等差數(shù)列的前n項和之比是（7n1）(4n27)，試求它們的第11項之比.分析一：利用性質(zhì)mnpqamanapaq解題.解法一：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n項和為Tn.則：a11，b11,分析二：利用等差數(shù)列前n項和SnAn2+Bn解題.解法二：由題設(shè)，令Sn(7n1)·nk，Tn(4n27)·nk由anSnSn1k(14n6)，得a11148k，n2bnTnTn1k(8n23)，得b

8、11111k，n2,.評述：對本例，一般性的結(jié)論有：已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和Tn，則：（1）；(2) ·.例4等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為A.30 B.170 C.210 D.260 答案：C分析一：把問題特殊化，即命m1來解. 解法一：取m1，則a1S130，a2S2S170da2a140，a3a2d7040110，S3a1a2a3210分析二：利用等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d進行求解.解法二：由已知，得解得a1，dS2m3ma1d210. 分析三：借助等差數(shù)列的前n項和公式Sn及性質(zhì)mnpqamanapaq求解.解

9、法三：由已知得由及結(jié)合，得S3m210.分析四：根據(jù)性質(zhì)：“已知an成等差數(shù)列，則Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，(k2)成等差數(shù)列”解題.解法四：根據(jù)上述性質(zhì)，知Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列.故Sm(S3mS2m)2(S2mSm),S3m3(S2mSm)210.分析五：根據(jù)Snan2bn求解.解法五：an為等差數(shù)列，設(shè)Sna·n2b·n,Smam2bm30，S2m4m2a2mb100得a，bS3m9m2a3mb210.分析六：運用等差數(shù)列求和公式，Snna1d的變形式解題.解法六：由Snna1d，即a1d由此可知數(shù)列也成等差數(shù)列，也即，成等

10、差數(shù)列.由，Sm30，S2m100S3m210.評述：一般地，對于等差數(shù)列am中，有 (pq).例5在a，b之間插入10個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列，求這10個數(shù)的和.分析：求解的關(guān)鍵有二：其一是求和公式的選擇；其二是用好等差數(shù)列的性質(zhì).解法一：設(shè)插入的10個數(shù)依次為x1，x2，x3，x10，則a，x1，x2，x10，b成等差數(shù)列.令Sx1x2x3x10，需求出首項x1和公差d.ba12a111dd，x1aS10x1d10··5(ab)解法二：設(shè)法同上，但不求d.依x1x10abS5(ab)解法三：設(shè)法同上，正難則反SS12(ab)(ab)5(ab)評述：求和問題靈活多變，要注意理解和運用.例6