2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程2.1.1曲線與方程學(xué)案新人教A

1、2.1.1曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系2 初步領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念 3 學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情境資料找規(guī)律，學(xué)會(huì)分析、判斷曲線與 方程的關(guān)系，強(qiáng)化“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一以及相互轉(zhuǎn)化的思想方法IT問題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一曲線與方程的概念思考 i 設(shè)平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) p,屬于下列集合的點(diǎn)組成什么圖形？(1) P|PA= PB(A,B是兩個(gè)定點(diǎn))；(2) P|PO=3 cm(O為定點(diǎn)).答案(1)線段AB的垂直平分線；以 O 為圓心，3 cm 為半徑的圓.思考 2 到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？為什么？答案y=x.在直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相

2、等的點(diǎn)M的坐標(biāo)(xo,yo)滿足yo=xo或yo= 滅0,即(xo,yo)是方程y=x的解；反之，如果(xo,yo)是方程y=x或y=x的解， 那么以(xo,yo)為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等 .梳理 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線Q看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y) = o 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.知識(shí)點(diǎn)二曲線的方程與方程的曲線解讀思考 1 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y) = o 的解，能否說f(x,y) = 0

3、 是曲線C的方 程？試舉例說明.答案 不能.還要驗(yàn)證以方程f(x,y) = o 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上.例如曲線C為“以原點(diǎn)為圓心，以 2 為半徑的圓的上半部分”與“方程x2+y2= 4”，曲線上的點(diǎn)都滿足方程，但曲線的方程不是x2+y2= 4.思考 2 方程x, y= 0 能否表示直角坐標(biāo)系中的第一、三象限的角平分線？方程xy=0 呢？答案 方程x . y= 0 不能表示直角坐標(biāo)系中的第一、 三象限的角平分線.因?yàn)榈谝弧⑷?限角平分線上的點(diǎn)不全是方程 .x y= 0 的解.例如，點(diǎn)A 2, 2)不滿足方程，但點(diǎn)A是第一、三象限角平分線上的點(diǎn) .方程xy=0 能夠表示第一、三象限的角平

4、分線 .2梳理(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說法曲線C的點(diǎn)集和方程f(x,y) = 0 的解集之間是 對(duì)應(yīng)的關(guān)系，曲線的性質(zhì)可以反映在它的方 程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上定義中的條件說明曲線上的所有點(diǎn)都適合這個(gè)方程；條件說明適合方程的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系，通過曲線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，使方程成為曲線的代數(shù)表示，通過研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)題型探究類型一曲線與方程的概念理解與應(yīng)用命題角度 i 曲線與方程的判定例 1 命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y) = 0 的解”是正確的，

5、下列命題中正確 的是( )A. 方程f(x,y) = 0 的曲線是CB. 方程f(x,y) = 0 的曲線不一定是CC.f(x,y) = 0 是曲線C的方程D. 以方程f(x,y) = 0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上答案 B解析 不論方程f(x,y) = 0 是曲線C的方程，還是曲線C是方程f(x,y) = 0 的曲線，都必 須同時(shí)滿足兩層含義：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，所以 A、C D 錯(cuò)誤.舉例如下：曲線C：一、三象限角平分線，方程為 |x| = |y|，顯然滿足 已知條件，但 A、C D 錯(cuò).反思與感悟 解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程

6、是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗(yàn)定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應(yīng)的回 答即可判斷點(diǎn)是否在曲線上，就是判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合曲線的方程跟蹤訓(xùn)練 1 設(shè)方程f(x,y) = 0 的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x,y) = 0 的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，那么下列命題正確的是()A. 坐標(biāo)滿足方程f(x,y) = 0 的點(diǎn)都不在曲線C上B. 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程f(x,y) = 0C. 坐標(biāo)滿足方程f(x,y) = 0 的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上D. 定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x,y) = 0 答案 D解析“坐標(biāo)滿足方程f(x,y

7、) = 0 的點(diǎn)都在曲線C上”不正確，即“坐標(biāo)滿足方程f(x,y) = 0 的點(diǎn)不都在曲線C上”是正確的.“不都在”包括“都不在”和“有的在， 有的不在” 兩種情況，故 A、C 錯(cuò)，B 顯然錯(cuò).命題角度 2 曲線與方程的概念應(yīng)用3例 2 證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=k.證明 如圖，設(shè)Mxo,yo)是軌跡上的任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M與x軸的距離為|yo|，與y軸的距離為|xo|，所以|xo| yo| =k,即(xo,yo)是方程xy=k的解.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)(xi,yi)是方程xy=k的解，則xiyi=k, 即 |xi| yi| =k.而|xi| , |yi|正是點(diǎn)M到

8、縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)M到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k, 點(diǎn)M是曲線上的點(diǎn).由可知，xy=k是與兩條坐標(biāo)軸的距離的積為常數(shù)k(k0)的點(diǎn)的 軌跡方程反思與感悟解決此類問題要從兩方面入手：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程跟蹤訓(xùn)練 2 寫出方程(x+y 1)x-1 = o 表示的曲線_x 1o,_解 由方程(x+y1)lx 1 = o 可得 f或寸x 1 = 0.vx+y1 = o即x+y 1 = o(x 1)或x=

9、 1,方程表示直線x= 1 和射線x+y 1 = o(x 1).類型二曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用2 2例 3 已知方程x+ (y 1) = 1o.(1)判斷點(diǎn) R1 , 2), Q 2, 3)是否在此方程表示的曲線上；若點(diǎn)M*m在此方程表示的曲線上，求m的值.解 (1)V12+(21)2=1o,(晶2+(31)2=6 工 1o,P(1 , 2)在方程x2+ (y 1)2= 1o 表示的曲線上，Q(2, 3)不在此曲線上./Mmm在方程x2+ (y 1)2= 1o 表示的曲線上，m?+ ( m- 1)2= 1o.解得 m= 2 或m=-菩5反思與感悟判斷曲線與方程關(guān)系問題時(shí)，可以利用曲線與方程的定義；

10、也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷4跟蹤訓(xùn)練 3 若曲線y2xy+ 2x+k= 0 過點(diǎn)(a,a)(a R)，求k的取值范圍.解T曲線y2xy+ 2x+k= 0 過點(diǎn)(a,a),a+a+ 2a+k= 0.當(dāng)堂訓(xùn)練1. 曲線f(x,y) = 0 關(guān)于直線xy 3 = 0 對(duì)稱的曲線方程為()A.f(x 3,y) = 0B.f(y+ 3,x) = 0C.f(y 3,x+ 3) = 0D.f(y+ 3,x 3) = 0答案 D解析 由對(duì)稱軸xy 3= 0 得x=y+ 3,y=x 3 可知 D 正確.2. 方程xy2x2y= 2x所表示的曲線()A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

11、D.關(guān)于直線xy= 0 對(duì)稱答案 C解析 同時(shí)以一x代替x,以一y代替y,方程不變，所以方程xy2x2y= 2x所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.3. 方程 4x2y2+ 6x 3y= 0 表示的圖形為 _ .答案兩條相交直線解析原方程可化為(2xy)(2x+y+ 3) = 0,即卩 2xy= 0 或 2x+y+ 3 = 0,二原方程表示直線 2xy= 0 和直線 2x+y+ 3= 0.4. 若曲線ax2+by2= 4 過點(diǎn)A(0， 2) ,B(2，腑，貝U a=_,b=_.答案 41解析曲線過A(0， 2),耳 1,3)兩點(diǎn)，4b= 4,b= 1,i&a+ 3b= 4,|a= 4.k5._

12、方程(x1 2 3 4)2+ (y2 4)2= 0 表示的圖形是40 分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題2k= 2a 2a= 2k的取值范圍是125_答案 4 個(gè)點(diǎn)X4 = 0,解析由題意，得仁 4 = 0,x = 2,X=2,x= 2,x= 2,或1或*或iy=2y=2y= 2iy= 2,方程(x2 4)2+ (y2 4)2= 0 表示的圖形是 4 個(gè)點(diǎn).廠規(guī)律與方迭-1. 判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線上，就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是不是方程的解，是否適合方程.若適合方程，就說明點(diǎn)在曲線上；若不適合，就說明點(diǎn)不在曲線上2. 已知點(diǎn)在某曲線上，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題解析 由

13、|X| + |y| = |xy| + 1 得(|x| 1)(1y| 1) = 0,即x=1或y= 1,因此該方程表示四條直線.4.下列方程對(duì)應(yīng)的曲線是同一條曲線的是()y=:y= xy=logaa:y/.A.B.C.D.答案 B1“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y) = 0 的解”是“曲線C的方程是f(x,y) = 0”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 結(jié)合曲線方程的定義易得.2 曲線C的方程為y= 2x 1(1x5)，則下列四個(gè)點(diǎn)中在曲線C上的是()A. (0 , 0) B.(7, 15) C.(2, 3) D.(4, 4)答案 C解析 由y= 2x 1(1x0,二方程x=.7壬表示的曲線是以原點(diǎn)為圓心，2 為半徑的右半圓，從而該曲線C又OA=(X1,y1),OB=(X2,OA-=4 4= 081與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S= 2n 4= 2n.所以所求圖形的面積為2n.13.已知兩曲線f(x,y) = 0 與g(x,y) = 0 的一個(gè)交點(diǎn)為Rxo,yo).求證：