水文統(tǒng)計方法

1、歡迎閱讀第5章水文統(tǒng)計方法10. 學(xué)習(xí)水文統(tǒng)計方法要注意什么？水文統(tǒng)計方法部分內(nèi)容這部分內(nèi)容十分重要。因為水文統(tǒng)計的一些基本概念、基本方法，比 如 隨機事件、隨機變量、概率、統(tǒng)計規(guī)律、頻率曲線、適線法、相關(guān)分析等，不但在水資源管理 這門課程中要經(jīng)常用到，而且是水利工程專業(yè)人員應(yīng)當(dāng)掌握的最基本的知識。水文統(tǒng)計方法這部分內(nèi)容又比較抽象，而且在認(rèn)識具有隨機性的事物時，要求在思維方法上有所轉(zhuǎn)變，更增加了學(xué)習(xí)的難度。這就使得水文統(tǒng)計方法成為既是重點又是難點的內(nèi)容。在學(xué)習(xí)水文統(tǒng)計方法時，一方面要充分重視，注意多下一些功夫，另一方面仍要著重理解和 掌握基本概念、基本理論、基本方法，并注意掌握一些最實用的內(nèi)容

2、。11. 什么是隨機事件和概率（1）隨機事件在客觀世界中，不斷地出現(xiàn)和發(fā)生一些事物和現(xiàn)象。這些事物和現(xiàn)象可以統(tǒng)稱為事件。時間 的發(fā)生有一定的條件。|#: X （ L經(jīng)分析，就因果關(guān)系來看，有一類事件是在一定的條件下必然發(fā)生的（如水到0度會結(jié)冰,一年會有四個季節(jié)）。這種在一定的條件下必然發(fā)生的事件稱為必然事件。I I 匕另有一類事件在一定的條件下是必然不發(fā)生的（如石頭不能孵化成小雞，太陽不會從西邊出 來）。這種在一定的條件下必然不發(fā)生的事件稱為不可能事件。必然事件或不可能事件雖然不同，但又具有共性，即在因果關(guān)系上都具有確定性。除了必然事件和不可能事件以外，在客觀世界中還有另外一類事件，這類事件發(fā)

3、生的條件和 事件的發(fā)生與否之間沒有確定的因果關(guān)系。 這種發(fā)生的條件和發(fā)生與否之間沒有確定的因果關(guān)系的 事件稱為隨機事件。歡迎閱讀在長期的實踐中人們發(fā)現(xiàn)，雖然對隨機事件作一兩次或少數(shù)幾次觀察，隨機事件的發(fā)生與否 沒有什么規(guī)律，但如果進行大量的觀察或試驗，又可以發(fā)現(xiàn)隨機事件具有一定的規(guī)律性。比如一枚硬幣，投擲一次或幾次的時候看不出什么規(guī)律，但是在同樣的條件下反復(fù)多次進行 試驗，把硬幣投擲成千上萬次，就會發(fā)現(xiàn)硬幣落地時正面朝上和反面朝上的次數(shù)大致是相等的。再比如，一條河流的某一個斷面的年徑流量在各個年份是不相同的，但進行長期觀測，如觀 測30年、50年、80年，就會發(fā)現(xiàn)年徑流量的多年平均值是一個穩(wěn)定

4、數(shù)值。隨機事件所具有的這種規(guī)律稱為統(tǒng)計規(guī)律。具有統(tǒng)計規(guī)律的隨機事件的范圍是很廣泛的。隨機事件可以是具有屬性性質(zhì)的，比如投擲硬 幣落地的時候哪一面朝上，出生的嬰兒是男孩還是女孩，天氣是晴、是陰，有沒有雨、雪，商業(yè)上 股票買賣的盈虧，城市里交通事故的發(fā)生等等。隨機事件也可以是具有數(shù)量性質(zhì)的，比如射手打靶的環(huán)數(shù)，建筑結(jié)構(gòu)試件破壞的強度，某條 河流發(fā)生洪水的洪峰流量等等。（2）概率在數(shù)學(xué)中有兩個分支，即概率論和數(shù)理統(tǒng)計。研究隨機事件統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科稱為概率論。由 1 . 1 / |# X （ L隨機現(xiàn)象的一部分實測資料研究和推求隨機事件全體的規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計。概率是表示統(tǒng)計規(guī)律的方式。用概率可以表

5、示和度量在一定條件下隨機事件出現(xiàn)或發(fā)生的可 能性。針對不同的情況，概率有不同的定義。按照數(shù)理統(tǒng)計的觀點，事物和現(xiàn)象都可以看為是試驗的結(jié)果。如果試驗只有有限個不同的試驗結(jié)果，并且它們發(fā)生的機會都是相同的，又是相互排斥的， 則事件概率的計算公式為式中？P（A）隨機事件A的概率；n?進行試驗可能發(fā)生結(jié)果的總數(shù);? m?進行試驗中可能發(fā)生事件 A的結(jié)果數(shù)。例如，擲骰子（俗稱“擲色子”）的情況就符合以上公式的條件。因擲骰子可能發(fā)生的結(jié)果 是有限的（1到6點），試驗可能發(fā)生結(jié)果的總數(shù)是 6 ;同時骰子是一個均勻的6面體，擲骰子擲 成1點到6點的可能性都是相同的，又是相互排斥的（一次擲一個骰子不可能同時出現(xiàn)

6、兩個點）。如果定義Z為隨即事件“擲骰子的點數(shù)大于 2”，則符合Z的結(jié)果為3、4、5、6點4種情 況，即事件Z可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)是4。按照上述公式，Z的概率像這種比較簡單的，等可能性、相互排斥的情況，是概率論初期的主要研究對象。故按上面 公式確定的事件概率稱為古典概率。在客觀世界里中，隨機事件并不都是等可能性的。如射手打靶打中的環(huán)數(shù)是隨機事件，但打 中0環(huán)到10環(huán)各環(huán)的可能性并不相同，優(yōu)秀的射手打中9環(huán)、10環(huán)的可能性大，而新手打中1環(huán)、2環(huán)的可能性就較大。一條河流出現(xiàn)大洪水的可能性和一般洪水的可能性顯然也是不同的。為了表示不是等可能性情況的統(tǒng)計規(guī)律，概率論中隊概率給出了更一般的定義。在同樣條件下

7、進行試驗，將事件 A出現(xiàn)的次數(shù)卩稱為頻數(shù)，將頻數(shù)卩與試驗次數(shù)n的比值I f 1產(chǎn)壬n L稱為頻率，記為P （A）,則大量的實踐證明，當(dāng)著試驗的次數(shù)充分大的時候，隨機事件的頻率會趨于穩(wěn)定。I I 匕概率的統(tǒng)計定義如下：在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗，記卩是事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，如果頻率 卩/n穩(wěn)定地在某一數(shù)值p的附近擺動，而且一般說來隨著試驗次數(shù) 的增多，這種擺動的幅度愈變愈小，則稱 A為隨機事件，并稱數(shù)值p為隨機事件A的概率，記作P （A） =? p ?（以上可簡單地說成，頻率具有穩(wěn)定性的事件叫做隨機事件，頻率的穩(wěn)定值叫作隨機事件的概率）概率的統(tǒng)計定義它既適用于事件出現(xiàn)機會相

8、等的情況，又適用于事件出現(xiàn)機會不相等的一般 情況。前述的必然事件和不可能事件發(fā)生的可能性也可以用概率表示。 必然事件的概率等于1.0 （表 示事件必然發(fā)生）；不可能事件的概率等于 0 （表示事件發(fā)生的可能性是0，必然不發(fā)生）；一般 隨機事件的概率介于0和1.0之間。對于概率的統(tǒng)計定義還需注意，進行統(tǒng)計試驗的條件必須是不變的。如果條件發(fā)生了變化， 即使試驗的次數(shù)再多，也不能求得隨機事件真正的概率。如要確定某一個射手打靶射中不同環(huán)數(shù)的 概率，必須讓射手在同樣的條件下進行射擊，如射擊的射程、靶型、武器、風(fēng)力等都不應(yīng)改變。類似地，進行水文統(tǒng)計時，水文現(xiàn)象的各種有關(guān)因素也應(yīng)當(dāng)是不變的。如果流域的自然地理

9、條件已經(jīng)發(fā)生了比較大的變化，還把不同條件下的水文資料放在一起進行統(tǒng)計就不合理了。下面將要介紹，發(fā)生這種情況的時候，應(yīng)當(dāng)把實測水文資料進行必要的還原和修正以后， 再進行統(tǒng)計計算。12. 什么是隨機變量，怎樣表示隨機變量的概率分布？要進行水資源管理工作及對水資源進行配置、節(jié)約和保護，必須了解和掌握水資源的規(guī)律， 必須預(yù)測未來水資源的情勢。但因影響水資源的因素十分眾多和復(fù)雜，目前還難于通過成因分析， 對水資源進行準(zhǔn)確的長期預(yù)報。實際工作中采用的基本方法是對于水文實測資料進行分析、計算， 研究和掌握水文現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律， 然后按照統(tǒng)計規(guī)律對未來的水資源情勢進行估計。 而這樣做，需 要對隨機事件定量化地表

10、示，為此引入隨機變量。II I 匕按照概率論理論，隨機變量是對應(yīng)于試驗結(jié)果，表示試驗結(jié)果的數(shù)量。如在工地上檢驗一批 鋼筋，可以隨機抽取幾組試件進行檢驗， 每一組試件檢驗不合格的根數(shù)就是隨機變量。 又如某條河 流，其歷年的最大洪峰流量、最高水位、洪水持續(xù)時間等都可看為隨機變量。隨機變量的數(shù)學(xué)定義為：在一組不變的條件下，試驗的每一個可能結(jié)果都唯一對應(yīng)到一個實 數(shù)值，則稱實數(shù)變量為隨機變量（“唯一對應(yīng)”又稱“一一對應(yīng)”，是指每一個試驗結(jié)果，就只對 應(yīng)一個數(shù)據(jù)，而每一個數(shù)據(jù)，又只對應(yīng)一個試驗結(jié)果）。隨機變量常用大寫字母來表示，如隨機變量 X （注意這里大寫的X是變量，X的取值可以是XI、 X2、Xn，

11、即X表示隨機取值的系列XI、X2、Xn）。隨機變量可以分為兩類：? (1)離散型隨機變量如果隨機變量是可數(shù)的，即隨機變量的取值是和自然數(shù)一一對應(yīng)的， 就稱為離散型隨機變量。 離散型隨機變量不能在兩個相鄰隨機變量取值之間取值。離散型隨機變量可以是有限的，也可以是無限的，但必須是可數(shù)的。(2)連續(xù)型隨機變量如果隨機變量的取值是不可數(shù)的，也就是在有限區(qū)間里面，隨機變量可以取任何值，就稱為 連續(xù)型隨機變量。比如，某一個長途汽車站，每隔30分鐘有一班車發(fā)往某地。對于一位不知道長途汽車時刻表 的旅客，來車站等車到出發(fā)的時間是一個隨機變量，這個隨機變量取值可以是從 0到30分鐘區(qū)間 的任意值，所以是一個連續(xù)

12、型隨機變量。連續(xù)型隨機變量是普遍存在的。水文變量，如降雨量、降雨時間、蒸發(fā)量、河流的流量、水 量、水位等等，都是連續(xù)型隨機變量。對于隨機變量，僅僅知道它的可能取值是不夠的，更為重要的是了解各種取值出現(xiàn)的可能性 有多大，也就是明確隨機變量各種取值的概率，掌握它的統(tǒng)計規(guī)律。I隨機變量取值與其概率的對應(yīng)關(guān)系稱為隨機變量的概率分布。對于離散型隨機變量，可以用列舉的方式表示它的概率分布。列舉的方法可以是列表，畫圖 等。我們的文字教材中舉了例子。對于連續(xù)型隨機變量，因為它是不可數(shù)的，不能一一列舉，所以也就也不能用列舉的方法表 示概率分布。比如前面提到的乘客在長途汽車站等車的例子， 等車時間可以是0到30分

13、鐘區(qū)間里的任何時 間，故無法列舉所有的隨機變量及其相應(yīng)概率。實際上，等車時間在 0到30分鐘的任何時間的可 能性是相等的，對于這個區(qū)間的任意時間，其概率等于無窮大分之一，即近似等于 0。從這個例子可以看出，列舉連續(xù)型隨機變量各個值的概率不僅做不到，而且實際上是沒有意 義的。為此，我們轉(zhuǎn)而研究和分析連續(xù)性隨機變量在某一個區(qū)間取值的概率。在工程水文里面，就 是研究某一水文變量大于或等于某一數(shù)值的概率。對于一個隨機變量，大于或等于不同數(shù)值的概率是不同的。當(dāng)隨機變量取為不同數(shù)值時，隨 機變量大于等于此值的概率也隨之而變，即概率是隨機變量取值的函數(shù)。這一函數(shù)稱之為隨機變量 的概率分布函數(shù)。分布函數(shù)的公式

14、為?F (x) = P (X >x) ?式中？?？ ？?X 隨機變量；? ?x隨機變量X的取值；? ?P(X > x)隨機變量X取值大于或等于x的概率；?F (x) 隨機變量X的分布函數(shù)。隨機變量的分布函數(shù)可用曲線的形式表示。在工程水文里面，又習(xí)慣于將水文變量取值大于 或等于某一數(shù)值的概率稱為該變量的頻率，同時將表示水文變量分布函數(shù)的曲線稱為頻率曲線。分布函數(shù)、水文變量的頻率，以及頻率曲線這些概念均十分重要，需注意理解和掌握。II I 匕對于連續(xù)性隨機變量，還有另一種表示概率分布的形式概率密度函數(shù)。按照概率論的定義，概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。概率密度函數(shù)在某一個區(qū)間的積分值，

15、表示隨機變量在這個區(qū)間取值的概率。？在工程水文中，頻率是水文變量取值大于或等于某一數(shù)值的概率，因此，水文變量的頻率就 是概率密度函數(shù)從變量取值到正無窮大區(qū)間的積分值。用公式表示，水文變量頻率和概率密度函數(shù)之間的關(guān)系可以寫為Fx) = P(X>x) = p(x)dx(字幕)' ?此式中，F(xiàn) (x)是隨機變量X的分布函數(shù)值，也就是水文變量 X取值為x時候的的頻率,而p(x)是概率密度函數(shù)。如前述，水文變量的分布函數(shù)可以用頻率曲線表示。類似地，概率密度函數(shù)也可以用概率密 度函數(shù)曲線表示。因分布函數(shù)和概率密度函數(shù)之間存在著對應(yīng)關(guān)系，頻率曲線和概率密度函數(shù)曲線之間也存在 著對應(yīng)關(guān)系，這種對

16、應(yīng)關(guān)系可以用文字教材的圖5.3表示。圖5.3中，左邊是概率密度函數(shù)曲線，右邊是頻率曲線。圖中兩邊的縱坐標(biāo)均表示隨機變量的取值，左邊的橫坐標(biāo)表示概率密度函數(shù)值， 右圖的橫坐標(biāo)表示頻率。左邊隨機變量取值的概率密度函數(shù)值越大，表明隨機變量在這個值附近區(qū) 間取值的概率越大。因頻率F(Xi)是概率密度函數(shù)從Xi到正無窮大這個區(qū)間的積分，所以，右邊中的F(Xi)等于左圖 中Xi以上的陰影面積。從圖中可以看到，Xi取值越小，陰影面積越大，頻率 F(Xi)取值也越大。這 顯然是合理的，因為隨機變量取值越小，大與等于這個取值的可能性越大。對這張圖里面表示的各種關(guān)系大家一定要弄清楚。13. 經(jīng)常聽到“多少年一遇的

17、洪水”、“多少年一遇的干旱”這樣的提法，如何正確理解？】，?工程中，習(xí)慣上常用洪水、潮汐等水文現(xiàn)象的“重現(xiàn)期”來表示其頻率【即累計頻率“重現(xiàn)期”以年為單位，俗稱“ XX年一遇”，都是工程和生產(chǎn)上，用來表示隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的 概念?！爸噩F(xiàn)期”表示在長時間內(nèi)，隨機事件發(fā)生的平均周期。即在很長的一段時間內(nèi)，隨機事件 平均多少年發(fā)生一次?！爸噩F(xiàn)期”這個名詞聽起來很通俗，但需注意理解:第一，重現(xiàn)期和概率一樣，都表明隨機事件或隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。 說某一條河流發(fā)生了 “百100年出現(xiàn)一次年一遇洪水”，是指從很長一個時期來看，大于或等于這次洪水的情況，平均重現(xiàn)期是對于類似于洪水這樣的隨機事件發(fā)生的可能性的一

18、種定量描述。 不能理解為百年一 遇的洪水每隔100年一定出現(xiàn)一次。實際上，百年一遇洪水可能間隔100年以上時間發(fā)生，也可 能連續(xù)兩年接連發(fā)生。第二，水文隨機變量是連續(xù)型隨機變量，水文變量的頻率是水文變量大于或等于某個數(shù)值的 概率。對應(yīng)于頻率，水文變量的重現(xiàn)期是指水文變量在某一個范圍內(nèi)取值的周期。如某條河流百 年一遇的洪水洪峰流量是1000m 3/s，是指這條河流洪峰流量大于或等于 1000m 3/s的洪水重現(xiàn) 期是100年，而不是指洪峰流量恰恰等于 1000m 3/s的洪水重現(xiàn)期是100年。第三，水利工程中所說的 重現(xiàn)期，是指對工程不利情況的重現(xiàn)期。對于洪水、多水的情況， 水越大對工程越不利。

19、此時，重現(xiàn)期是指水文隨機變量大于或等于某一數(shù)值這一隨機事件發(fā)生的 平均周期。如用大寫的T表示重現(xiàn)期，用大寫的P表示頻率，按照頻率和周期互為倒數(shù)的關(guān)系， 可知洪水、多水時，重現(xiàn)期計算公式為因洪水、多水的時候，頻率 P小于或等于50%，此公式的適用條件又可寫為 PW 50%。對于枯水、少水的情況，水越小對工程越不利，此時重現(xiàn)期是指水文隨機變量小于或等于某 一數(shù)值的平均周期。按照概率論理論，隨機變量“小于或等于某一數(shù)值”是“大于或等于某一數(shù)值” 的對立事件，“小于或等于某一數(shù)值”的概率等于1-P，故此時重現(xiàn)期的計算公式為1- F? ( P> 50 %)I因枯水、少水時，頻率大于或等于 50%，

20、第二個公式的適用條件又可以寫為 P> 50%14什么是統(tǒng)計參數(shù)，什么是理論頻率曲線，統(tǒng)計參數(shù)和理論頻率曲線有什么作用？(1)統(tǒng)計參數(shù)知道了隨機變量的概率分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)，就掌握了隨機變量在各個取值區(qū)間的概率，也就掌握了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。但在實際工作里，求出概率分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)往往比較困難，有時甚至求不出來。 但是，有一些數(shù)字具有特征意義，可以簡明地表示隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律和特性。 在概率論里，把這 些數(shù)字稱為隨機變量的數(shù)字特征，在工程水文中，習(xí)慣于把這些數(shù)字稱為統(tǒng)計參數(shù)。在文字教材中介紹了以下幾種最常用的統(tǒng)計參數(shù)：1）均值均值又稱為期望，它表示隨機變量平均數(shù)的概念；2）均

21、方差、和離勢系數(shù)Cv均方差和離勢系數(shù)都表示隨機變量的離散情況，但均方差和隨機變量取值的大小有關(guān)，而離 勢系數(shù)是一個無因次的量，排除了隨機變量自身大小的影響；3）偏態(tài)系數(shù)Cs偏態(tài)系數(shù)反映隨機變量的分布對于均值是否對稱。Cs是一個無因次量；4）眾數(shù)眾數(shù)是隨機變量取值概率最大，或者概率密度函數(shù)最大的數(shù)；1 ,5）中位數(shù)I隨機變量大于或等于以及小于或等于中位數(shù)的概率都為0.5。文字教材中介紹了以上面統(tǒng)計參數(shù)的定義式。統(tǒng)計參數(shù)可簡明地表示隨機變量概率分布的特性。文字教材的圖5.5表明了隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)均值和Cv、Cs發(fā)生變化的時候，隨機變量的概率密度函數(shù)曲線變化的情形。由圖5.5可以看到，當(dāng)隨機變量分

22、布的類型不變的時候，如果上面三個統(tǒng)計參數(shù)之中的一個 參數(shù)發(fā)生變化，另外兩個參數(shù)不變時， 如果均值增大，表明隨機變量取值的平均水平增高，概率密 度函數(shù)曲線沿橫軸向右平行移動；如果離勢系數(shù)Cv增大，表明隨機變量分布相對于均值更為分散， 概率密度函數(shù)曲線從較為尖瘦變?yōu)檩^為矮胖；如果偏態(tài)系數(shù)Cs=0時，概率密度函數(shù)曲線對稱于均 值分布，Cs<0時，分布的均值小于眾數(shù)Eo(X)，分布稱為負偏，Cs>0時，分布的均值.大于眾數(shù) Eo(X)，分布稱為正偏(水文變量的分布大多數(shù)是正偏)。(2)理論概率曲線客觀世界中的隨機變量具有不同的概率分布規(guī)律。經(jīng)過研究和分析，可以對某些概率分布給 出數(shù)學(xué)表達式

23、，并得到相應(yīng)的頻率曲線。具有數(shù)學(xué)表達式的頻率曲線稱為理論頻率曲線。理論頻率曲線對應(yīng)于以后將要介紹的經(jīng)驗頻率曲線。在文字教材里，介紹了兩種最為常用的 理論頻率曲線：1) 正態(tài)分布二初 IJ文字教材的圖5.6是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線。該曲線為單峰，曲線對稱于均值，同時 曲線兩端以x軸為漸近線，趨向于正、負無窮大。正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均值 卩和均方差，當(dāng) 這兩個參數(shù)確定后，分布就唯一確定了。實踐經(jīng)驗和理論分析表明，可以用正態(tài)分布描述許多隨機變量的概率分布。如各種測量、檢 測的誤差，因多種偶然因素形成的偏差(比如設(shè)備正常運轉(zhuǎn)情況下產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)、正常施工情況下混凝土試件的強度等)，都服從或者可以

24、近似地看為服從正態(tài)分布。I #嚴(yán)W百 L2) 皮爾遜川型分布文字教材的圖5.7是皮爾遜川型分布概率密度函數(shù)曲線。I英國生物學(xué)家、統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜分析了生物、物理以及經(jīng)濟領(lǐng)域里的許多隨機變量，歸納出 一系列概率分布，其中有一種在水文里面用得較多，稱為皮爾遜川型分布。皮爾遜川型分布的概率密度函數(shù)曲線也是單峰的，曲線的一端有限，另一端無限，形狀是不 對稱的。皮爾遜川型分布有3個參數(shù)，這3個參數(shù)和統(tǒng)計參數(shù)均值、離勢系數(shù) Cv、偏態(tài)系數(shù)Cs之間, 存在著函數(shù)關(guān)系。所以，只要能夠確定皮爾遜川型分布的均值和Cv和Cs，就可以確定隨機變量的概率分布。我們文字教材的第5章第1節(jié)對正態(tài)分布和皮爾遜川型分布的概率密度

25、函數(shù)公式、概率密度 函數(shù)曲線、分布的性質(zhì)等都作了介紹。為了實際應(yīng)用皮爾遜川型分布，必須對它的概率密度函數(shù)進行積分，這樣才能得到隨機變量 在某個區(qū)間取值的概率。在工程水文里，要求出水文變量的頻率，即水文變量從某一個取值到正無窮大個概率，因此 需計算從隨機變量的各個取值到無窮大的積分。 因皮爾遜川型分布的概率密度函數(shù)十分復(fù)雜， 進行 積分相當(dāng)困難。為了能夠在實際工作中運用皮爾遜川型分布， 有人制作了皮爾遜川型分布的積分表 格，我們文字教材中介紹的福斯特一雷布京表就是這樣的表格。幅斯特一雷布京表又叫做離均系數(shù) 值表，文字教材中介紹了離均系數(shù) 的概念，以及使用 福斯特一雷布京表的方法，并提供了例題。當(dāng)

26、確定了皮爾遜川型分布的統(tǒng)計參數(shù)以后， 可以按照Cs值從離均系數(shù)值表查到對應(yīng)于某一 個頻率P的離均系數(shù)，同時可以由隨機變量的均值和離勢系數(shù) Cv，求出相應(yīng)的隨機變量值。亦 即，確定了皮爾遜川型分布的統(tǒng)計參數(shù)后， 就可以借助離均系數(shù) 值表，查出對應(yīng)于各個頻率的水 文變量值，從而繪制出水文變量的頻率曲線。為了更方便地進行頻率分析計算，又有人根據(jù)皮爾遜川型分布的離均系數(shù)表制作了模比系數(shù) 表。模比系數(shù)是隨機變量取值x與均值丄的比值。如用k表示模比系數(shù)，則I I 匕運用皮爾遜川型分布的模比系數(shù)表， 可以直接查出常用Cv、Cs取值情況下，對應(yīng)于某個頻率 P的模比系數(shù)kp,也就可以求出相應(yīng)的隨機變量 Xp。離

27、均系數(shù)值表和模比系數(shù)表已作為第5章的附表編入文字教材。這兩個表是經(jīng)常要用到的， 應(yīng)熟練掌握它們的使用方法。關(guān)于理論頻率曲線，還有一個問題需要說明一下，就是所謂理論頻率曲線只是一些具有數(shù)學(xué) 表達式頻率曲線。把理論頻率曲線用于水文分析計算， 并不是已經(jīng)從理論上嚴(yán)格證明了水文現(xiàn)象的 概率分布應(yīng)當(dāng)服從某種理論頻率曲線。用某種理論頻率曲線描述水文變量概率分布僅僅是根據(jù)經(jīng) 驗。15什么是總體和樣本，什么是抽樣誤差？客觀世界中存在著許多具有隨機性的事物。在數(shù)理統(tǒng)計中，把所研究的對象的全體稱為總體， 把總體中的每一個基本單位稱為個體。 如一條河流，當(dāng)我們研究年徑流量的時候，河流有史以來的 各年年徑流量的全體就

28、是總體，各個年的年徑流量就是個體。如果所研究的隨機事物對應(yīng)著實數(shù)，則總體就是一個隨機變量（可以記為X），而個體就是隨機變量的一個取值（可以記為 Xi）。一般情況下，總體是未知的?；蛘?，因為不能對總體進行普查研究，總體實際上是無法得到。比如，我們無法掌握一條河流在其形成以來漫長時期內(nèi)所有年份的年徑流量。我們也不能對工地上所有的鋼筋都進行破壞性試驗檢驗鋼筋的強度。J. /為了了解和掌握總體的統(tǒng)計規(guī)律，通常是從總體中抽取一部分個體，對這部分個體進行觀察 和研究，并且由這部分個體對總體進行推斷，從而掌握總體的性質(zhì)和規(guī)律。這種方法稱為抽樣法。 從總體中抽取的部分個體稱為樣本。當(dāng)總體是隨機變量的時候，所抽

29、取的每一個樣本是一組數(shù)字。比如隨機變量X的一個樣本Xj就由數(shù)字X1，X2，Xi，Xn組成。樣本里面包含個體的個數(shù)n,稱為樣本容量。當(dāng)抽取樣本時隨意抽取，不帶有任何主觀成分時，所得到的樣本稱為隨機樣本。II I 匕水文變量總體是無限的，現(xiàn)有的水文觀測資料可以認(rèn)為是水文變量總體的隨機樣本。樣本只是總體的一部分，由樣本來推斷總體的統(tǒng)計規(guī)律顯然會有誤差。這種由樣本推斷總體 統(tǒng)計規(guī)律而產(chǎn)生的誤差稱為抽樣誤差。一般說來，樣本容量增大的時候，樣本的抽樣誤差會減小。所以，應(yīng)當(dāng)盡可能地增大樣本容 量。16. 什么是水文變量的經(jīng)驗頻率曲線，它有什么意義？實測水文變量系列是水文變量總體的樣本。如將水文變量系列的各個

30、變量從大到小順序排列， 則每一個變量都有一個序號 m。某一個水文 變量的序號m不但表示了變量在樣本里面的大小順序，而且表示了在樣本里面，取值大于或等于 這個變量個體的個數(shù)，即累計次數(shù)。變量序號m和樣本n的比值則表示在樣本里面，變量大于或等于某一個變量的頻率，簡稱頻 率，如果把頻率記作P,則有頻率P表示在樣本里面，變量取值大于等于某個變量這一事件出現(xiàn)的機會或可能性。但是，由樣本求出的頻率還不能作為總體的頻率。文字教材中介紹了，用樣本頻率計算公式估 算總體頻率時，可能出現(xiàn)不合理的情況。按照數(shù)理統(tǒng)計理論，從樣本推斷總體的統(tǒng)計規(guī)律的時候，應(yīng)當(dāng)使用無偏估計計算式，或者說， 從樣本計算總體的各種統(tǒng)計參數(shù)的

31、時候， 應(yīng)當(dāng)計算總體統(tǒng)計參數(shù)的無偏估計值。 只有用無偏估計值 作為總體統(tǒng)計參數(shù)的估算值才是合理的。如果從總體里面抽取大量的樣本，對各個樣本都用無偏估計計算式計算總體某種統(tǒng)計參數(shù)的 估算值，則計算所得到的統(tǒng)計參數(shù)估算值將形成一個新的隨機變量，這個隨機變量的均值恰等于總體的統(tǒng)計參數(shù)，這就是無偏估計的含義。文字教材中介紹了，按照現(xiàn)行的水文計算規(guī)范，應(yīng)當(dāng)采用數(shù)學(xué)期望公式估算水文變量總體的 概率。數(shù)學(xué)期望公式就是頻率的無偏估計計算式，它和樣本頻率的計算公式是不同的。因為以上頻率是由實測資料計算出來的，故習(xí)慣上稱之為經(jīng)驗頻率。水文變量的經(jīng)驗頻率可 用曲線的形式表示，稱為經(jīng)驗頻率曲線。17. 適線法它的基本

32、思路是什么？適線法是現(xiàn)行水文頻率計算的基本方法。由實測水文變量系列求得的經(jīng)驗頻率曲線，是對水文變量總體概率分布的推斷和描述。但如 直接把經(jīng)驗頻率曲線用于解決工程實際問題，還存在著一定的局限性。因我國目前的水文實測資 料一般不超過幾十年，算出的經(jīng)驗頻率至多相當(dāng)于幾十年一遇。而在工程規(guī)劃設(shè)計里面，常需要 確定更為稀遇的水文變量值，這些稀遇值無法從經(jīng)驗頻率曲線直接查出。為解決這樣的問題，目前的做法是借助于理論頻率曲線對經(jīng)驗頻率曲線進行延長，求得稀遇 洪水或枯水水文特征值的頻率分布。為了借助理論頻率曲線對經(jīng)驗頻率曲線進行延長，需要找到一條和水文變量經(jīng)驗頻率點據(jù)擬 合比較好的理論頻率曲線，即該曲線在實測

33、資料范圍內(nèi)表示出的統(tǒng)計規(guī)律和實測資料是一致的。同時認(rèn)為，該理論頻率曲線能夠表示水文變量總體的統(tǒng)計規(guī)律，這就是適線法的基本思路。18. 適線時，如何估算和調(diào)整水文變量的統(tǒng)計參數(shù)？如前述，理論頻率曲線是具有數(shù)學(xué)表達式的頻率曲線，理論頻率曲線的參數(shù)和隨機變量的統(tǒng) 計參數(shù)有一定關(guān)。所以，為了延長經(jīng)驗頻率曲線，首先應(yīng)當(dāng)估算隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)，有了統(tǒng)計參 數(shù)，便可確定理論頻率曲線。因水文變量的總體是未知的，故對其統(tǒng)計參數(shù)不能夠直接計算。但如掌握了水文變量的實測 資料，則可將實測資料作為樣本，并由樣本推求水文變量總體的統(tǒng)計參數(shù)。由實測資料推求水文變量總體的統(tǒng)計參數(shù)的時候，也必須使用無偏估計計算式。在我國，理

34、論頻率曲線一般采用皮爾遜川型曲線。文字教材介紹了估算皮爾遜統(tǒng)計參數(shù)的時 候應(yīng)當(dāng)采用的計算公式，同時介紹了，直接由公式計算水文變量總體的 值誤差很大，故對于一 般是擬定一個與：的倍比，按倍比確定:值。丨一，在適線時，應(yīng)當(dāng)按照統(tǒng)計參數(shù)變化對理論頻率曲線的影響趨勢有目的地調(diào)整統(tǒng)計參數(shù)。II I 匕文字教材的圖5.9圖5.11表明了，當(dāng)均值丄、離勢系數(shù)Cv和Cs這三個統(tǒng)計參數(shù)中有一個參 數(shù)發(fā)生變化，另外兩個不變的時候頻率曲線發(fā)生變化的情況。由圖5.9圖可以看到，如均值增大，其余兩參數(shù)不變，頻率曲線將沿水平軸向右方平移；由 圖5.10可以看到，如離勢系數(shù)Cv增大，其余兩個參數(shù)不變，頻率曲線將順時針轉(zhuǎn)動；

35、由圖 5.11可 以看到，如偏態(tài)系數(shù)Cs增大，其余兩個參數(shù)不變，頻率曲線上端坡度變陡，下端坡度變緩，曲線 的兩端上翹，中間段下沉。水文變量頻率曲線的變化情況，是和前述概率密度函數(shù)變化的情況相聯(lián)系的適線法在實際工作里應(yīng)用很廣，需注意很好地學(xué)習(xí)和掌握。19. 什么是相關(guān)分析，它有什么作用？在客觀世界里，事物之間往往是相互聯(lián)系的。反映客觀事物的變量（包括隨機變量）之間也可 能存在著一定的聯(lián)系。研究分析兩個或兩個以上隨機變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)分析。當(dāng)兩個水文變量系列存在著一定的物理聯(lián)系，同時又有一段時間的同期觀測資料時，可分析兩 水文變量之間的相關(guān)關(guān)系，并借助相關(guān)關(guān)系由較長的水文系列插補和展延較短的水文系列。展延、 插補水文變量系列，是相關(guān)分析在水文分析計算里面的主要用途。相關(guān)關(guān)系