2.7隱函數(shù)微分法.

1、2.7隱函數(shù)的微分法一、 一個(gè)方程的悄形二、 方程組的惰形三、 小結(jié)預(yù)備知識(shí)：隱函數(shù)的概念設(shè)有方程F( (n,x“)=o,如果存在一個(gè)4元函數(shù)V=/(旺，兀2,X“) )，使得F(xpx2, XW,/(XPX2XH)SO,則稱y= /(曲,兀2,x“)是由方程F(xpx2-,xw, j) = 0所確定的隱函數(shù)。例如，y= V1 x是由方程 l+ y 1 =0所確定的隱函數(shù)c2.7.1由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法1. F(x,) = 隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有 連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且尸( (Uo) )=。，竹(斗)0) )工0 則方程F(x,j) = 0在點(diǎn)P(x0,j0)的某一鄰域

2、內(nèi) 恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的 函數(shù)y = f(x),它滿足條件J0= /(x0),并有dy Fx石=-可隱函數(shù)的求導(dǎo)公式如果F(x,j)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可求y對(duì)x的二階 導(dǎo)數(shù)：例2. 52證方程x2+y2-1 = 0在點(diǎn),1)的菓鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、J&x=O = 1的隱函 數(shù)=/( (x),并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在 的值.解 令F(x,j) = x2+j2 1則Fx= 2x,竹=2幾均連續(xù)。兀0= 0=l.F(O,1) = O, FyM) = 20,依定理知方程+ ,2 _ 1 = 0在點(diǎn)(0J)的某鄰 域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且時(shí)J = 1的函

3、J&J = /( (X) ).函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為X + yy-x2. F(x,j,z) = O隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x.j,z)在點(diǎn)P(x0.yzQ)的某一鄰域 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(xo,yo,zo) = O, F；( (x) )o S) )工則方程F(x.y.z)= ”在點(diǎn) 尸(AT。,兒,)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè) 單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù);:=/(x,j),它滿足條件5=/(兀0兒)，并有 更=_竺，dz =_ dx Fzdy Fz例2已知用公式求字xax解 令v) = In Jx2+ y2arctan,xJ x2+y2a_ ” + y XX2InJx2y2

4、arctanxV-xx2+y2設(shè)0)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).方程p(cx-azcy-fe) = 0確定了函婁如=z(x).求az”+bj 解 令-cx-azyv =cy-te,顯然復(fù)合函數(shù)qAcx-az cy-bz)有對(duì)r,y,z的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)“ 而化=p (cx-az)x+02-反)=Pc,而理=9 (cx-az)z+(-加)二=3(F) +處(),同理，5=-冬=-絲化一dp -b(p2a、+ 碣己知X =Inz，求血，求血.zy厶xzX解設(shè)F(xyz) =-In =-Inz 4-Inyy貝ijz y z所以區(qū)二丄(二亠亠,dx Fzzzz z + x& 竹1 X 1z2故“冇+hzv

5、=a7S+-a(p_b(p、aP+化a(px+bp、= /(- ) =-QyFzy z z y(z + x)解二利用全微分形式的不變性，兩端求全微分得77整理即得dz =-(dxddy).Z +xy設(shè)門“宀W) )具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，方程八X + ”y+Z,Z + x) =()確定了函數(shù)Z =2( (幾刃求5心解一直接利用求導(dǎo)公式得- fx/ri + /2o+/3i/, 4-/3z -=- =- ,xfz刀0 + /2 i + Zr】+A牙1 + /2 1 + Zrf+兀fz/| -0 + /21 4-/3-lf2+/3解二 方/(x + y,y+ z,z + x) = O兩端對(duì)x求導(dǎo)，同時(shí) 注意

6、z是r, y的函數(shù)，有所以Nz=(dx + dy).Z + X y/|+厶3+人U+z*) = O,所以_AA,力+同理可得一餡.解三 利用全微分形式不變性，兩端求全微分，得f(兀 + 刃 + 幾rf(z + x) = O,f (dx+dy) + f (dy +dz、+f、(dz+dx、=O,所以dz = _心厶心-心厶分.f2七f3兀+/*3因此設(shè)z = /(x + y + z.xyz)令F(x.z) = z-/(x + y+ z xyz). = x + y + z,v = xyz F =z /(w,v)(X0, J*( (rHo,V()的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一 組單值連續(xù)且典有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

7、的函數(shù)“= “()arardudvdGdC；ditdr0(,Gd(uv)下面推導(dǎo)公式:現(xiàn)即,等式兩邊對(duì)兀求導(dǎo),Glx.y,u(x.y).vx.y)=OF(X,JUGV) = ()G(“S) )= O確定了 ()，()A西+尸西Mdxvdx唸 5吿卜 5 鑒+化尋duDjId(AG)dv21a( (AG)ctrDJd(xv)9dxDJd(ux)(Fx.y.u(x.y)v(x.y)=OGx, j,w(x, j),v(x)= 0等式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得關(guān)于等，等的線性方程組。 解方程組得特別地，(定理2 13)方程組JFgy,z) = uIG(x,y,z) = O可以確定函數(shù)y = y(x), z= z(x),且d(F.G)dyd(x9z)GxGzdx d(F.G) d(y9z)a( (F,G)Fy Fxdz3(y,x)by G*厶 _d(F.G) _|竹巧 d(y9z)bv G.y z類似，對(duì)3“ _10(F-G)dy J西二1 3(FQdy Jd(uy)(2 x)g(mczMoJIIN32Z存I c I (9 = )2ZHXoizH(z,r) )= O所確定，其甘均可微，且/=創(chuàng))工求包.3(z,f)dy對(duì)方程組中