偏微(10)對(duì)流擴(kuò)散方程

1、2021/8/1413 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）,0a 為為常常數(shù)數(shù)，如果給定初值如果給定初值 ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）則（則（3.13.1）(3.2)(3.2)構(gòu)成了對(duì)流擴(kuò)散方程的初值問(wèn)題構(gòu)成了對(duì)流擴(kuò)散方程的初值問(wèn)題 則成為對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程則成為對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散方程 av如果如果2021/8/1423 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1） ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）3.1 3.1 中心顯式格式

2、中心顯式格式 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 格式（格式（3.33.3）的截?cái)嗾`差為）的截?cái)嗾`差為 2Oh 如果如果 0 是對(duì)流方程不穩(wěn)定的差分格式是對(duì)流方程不穩(wěn)定的差分格式 。0 來(lái)討論來(lái)討論 現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì)2021/8/143（3.33.3）可改寫為）可改寫為 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu 3 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2,ahh如果令如果令 ,121cossinGkkhikh此差分格式的增長(zhǎng)因子

3、為此差分格式的增長(zhǎng)因子為2021/8/144 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu ,121cossinGkkhikh此差分格式的增長(zhǎng)因子為此差分格式的增長(zhǎng)因子為 222121cossinkhkh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因?yàn)橐驗(yàn)榈某浞謼l件是的充分條件是2021/8/145 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441co

4、s1coskhkhkh 22441cos1cos0khkh 2221cos284202kh 上式可改寫為上式可改寫為 1cos0,1khGk 所所以以，因?yàn)橐驗(yàn)榈某浞謼l件是的充分條件是2021/8/146 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因?yàn)橐驗(yàn)?2221cos284202kh 11cos0,12kh所以上面不等式滿足條件為所以上面不等式滿足條件為 22228420, 24202021/8/147即差分格式穩(wěn)定的充分條

5、件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程 222228420,420 （3.33.3）的穩(wěn)定性限制為）的穩(wěn)定性限制為 22,a (3. 4)(3. 4)1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 212h (3. 5)(3. 5)2,ahh2021/8/1483.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 設(shè)設(shè) ,u x t為對(duì)流擴(kuò)散方程（為對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2ut x 2323uuavxx*代入

6、代入32ut x 3434uuavxx 32uxt 2021/8/1493.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2323uuavxx*代入代入3434uuavxx 32uxt 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 2021/8/14103.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 設(shè)設(shè) ,u x t為對(duì)流擴(kuò)散方程（為對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22,0uuuaxRttxx （3

7、3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 將其代入將其代入(3.3)2021/8/141122,uuuatxx （3. 1）3. 1）3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 利用利用TaylorTaylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有級(jí)數(shù)展開(kāi)有 2021/8/14123.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/14133.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatx

8、x （3. 1）3. 1）2021/8/1414中心顯示差分格式（中心顯示差分格式（3.33.3）求解（）求解（3.13.1）式相當(dāng)于）式相當(dāng)于求解微分方程求解微分方程 : :2222uuuaatxx （3 3. . 6 6）當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)，時(shí)， （3.63.6）就是對(duì)流擴(kuò)散方程（）就是對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2021/8/14152222uuuaatxx （3 3. . 6 6）當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)，時(shí)，（3.63.6）就

9、是對(duì)流擴(kuò)散方程（）就是對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 0 用用(3.3)(3.3)計(jì)算時(shí)擴(kuò)散效應(yīng)減少計(jì)算時(shí)擴(kuò)散效應(yīng)減少因此引入修正中心顯式格式因此引入修正中心顯式格式202a 效果顯著效果顯著2021/8/14162222uuuaatxx （3 3. . 6 6）3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3.

10、1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 因此引入修正中心顯式格式因此引入修正中心顯式格式逼近對(duì)流擴(kuò)散方程（逼近對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）的截?cái)嗾`差為）的截?cái)嗾`差為 2Oh （3.73.7）與（）與（3.33.3）的區(qū)別在于用）的區(qū)別在于用 22a 來(lái)來(lái)代代替替2021/8/1417（3.43.4）和（）和（3.53.5）知（）知（3.73.7）的穩(wěn)定性條件為：）的穩(wěn)定性條件為： 2221,2ah 用用 代入第一式有代入第一式有 22222,2aaa即即（3 3.

11、7.7）的穩(wěn)定性條件為）的穩(wěn)定性條件為 22211(3.8)22ahh 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh （3.33.3）的穩(wěn)定性限制為）的穩(wěn)定性限制為 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 恒成立恒成立2021/8/14183.3 3.3 迎風(fēng)差分格式迎風(fēng)差分格式 （3.43.4）可以看出，當(dāng)）可以看出，當(dāng) 2a 小時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)必相當(dāng)小。小時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)必相當(dāng)小。其辦法相當(dāng)于其辦法相當(dāng)

12、于 0, 在一階空在一階空間偏導(dǎo)數(shù)的離散中采用單邊差商，間偏導(dǎo)數(shù)的離散中采用單邊差商， 0a 令令那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎風(fēng)差分格式為）式的迎風(fēng)差分格式為 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式寫成（）式寫成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1419那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎風(fēng)

13、差分格式為）式的迎風(fēng)差分格式為 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式寫成（）式寫成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 令令 2ah 可以得到（可以得到（3.93.9）式的穩(wěn)定性條件為）式的穩(wěn)定性條件為 2221,2ah 穩(wěn)定性的第一個(gè)條件等價(jià)于穩(wěn)定性的第一個(gè)條件等價(jià)于 212haa 3.3 3.3 迎風(fēng)差分格式迎風(fēng)差分格式 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )2021/8/142022haa 利用穩(wěn)

14、定性的第二個(gè)條件可得到利用穩(wěn)定性的第二個(gè)條件可得到 212haa 221212ahahah 222122ahhhaa 穩(wěn)定性的第一個(gè)條件等價(jià)于穩(wěn)定性的第一個(gè)條件等價(jià)于 212haa 3.3 3.3 迎風(fēng)差分格式迎風(fēng)差分格式 而而 222212ahhah 利用不等式利用不等式2221,2ah 令令 2ah 穩(wěn)定性條件為：穩(wěn)定性條件為： 212h 2021/8/14213.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 設(shè)設(shè)a0a0，先對(duì)方程（先對(duì)方程（3.13.1）作擾動(dòng)）作擾動(dòng) 2211uuuatxRx （3 3. . 1 11 1）1,2Rha 對(duì)（對(duì)（3.113.11）構(gòu)造迎風(fēng)格

15、式構(gòu)造迎風(fēng)格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）（3.113.11）式化為（）式化為（3.13.1）式。）式。 時(shí)時(shí)0hSamarskiiSamarskii格式格式 2021/8/14223.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 推導(dǎo)（推導(dǎo)（3.123.12）式的截?cái)嗾`差，）式的截?cái)嗾`差， njT 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）SamarskiiSamarskii格式格式 112,2,11j

16、njnjnu xtu xtu xtRh 設(shè)設(shè) ,u x t為對(duì)流擴(kuò)散方程（為對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 11,jnjnjnjnu xtu xtu xtu xtah 2021/8/14233.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）nja 用用TaylorTaylor級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)展開(kāi) 1112,2,jnjnjnjnjnu x tu x tu xtu x tu xth 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,

17、11jnjnjnu xtu x tu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah (11) 2021/8/1424令令 nj 用用TaylorTaylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有級(jí)數(shù)展開(kāi)有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = =1,2Rha 112,2,11jnjnjnu

18、xtu x tu xtRh (11) 2021/8/1425用用TaylorTaylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有級(jí)數(shù)展開(kāi)有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = = 22221nnjjuRuaO hxRx 2021/8/1426由于由于 221RO hR 所以所以 2nnjjuaO hx 3.4 3.4 SamarskiiSamarski

19、i格式格式 22221nnjjuRuaO hxRx nj njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 1,2Rha 2021/8/1427 2nnjjuaO hx 利用利用 njT 21(3.13)2212ahahh 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 2Oh 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu

20、 x tu x tu xtah nnjja 222nnnjjjuuuaOhttx SamarskiiSamarskii格式格式 穩(wěn)定的條件為：穩(wěn)定的條件為：2021/8/14283.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 22(3.14)dud udadxdx 對(duì)（對(duì)（3.143.14）式積分可以得到）式積分可以得到 12(3.15)xduexa 其中其中 a 通解（通解（3.143.14）中有兩個(gè)待定常數(shù)。）中有兩個(gè)待定常數(shù)。 定態(tài)的對(duì)流擴(kuò)散方程定態(tài)的對(duì)流擴(kuò)散方程22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1429相應(yīng)于相應(yīng)于 ()jjxuu x上上 的的值值為為那么有那么有

21、 1ju x 1 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 1ju x 1121jhdejha 1121jhdejha 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 2021/8/14301 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 把把 12,代入通解有代入通解有 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 2021/8/14313.5 3

22、.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 上式改變寫法有上式改變寫法有 1111hhjjjhaeu xu xeu xdhe 改變其形式改變其形式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 2021/8/1432對(duì)流擴(kuò)散方程對(duì)流擴(kuò)散方程(3.1)(3.14)(3.16)(3.1)(3.14)(3.16)式相比較，給出式相比較，給出（3.13.1）的差分格式的差分格式 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5

23、 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 22(3.14)dud udadxdx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 為為擬擬合合因因子子(3.17)(3.17)為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程(3.1)(3.1)的指數(shù)型差分格式的指數(shù)型差分格式 11hhee 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5 3.5 指數(shù)

24、型差分格式指數(shù)型差分格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2222hhhheeee coth2h coth2ah a 2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 如果在（如果在（3.183.18）中不考慮）中不考慮 nju 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 此格式為中心顯式格式此格式為中心顯式格式 截?cái)嗾`差為截?cái)嗾`差為: 2Oh 2021/8/1435 1111

25、122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 考慮考慮 nju : :設(shè)設(shè)u u為對(duì)流擴(kuò)散方程（為對(duì)流擴(kuò)散方程（3.13.1）的光滑解，）的光滑解， 112,2,jnjnjnu xtu x tu xth 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 利用利用TaylorTaylor展開(kāi)有展開(kāi)有 cothx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1） 222njuO hx 31.345xxx coth22ahah ，2021/8/1436利用利用TaylorTaylor展開(kāi)有展開(kāi)有 31coth.345xxxx 應(yīng)用到

26、應(yīng)用到 1 有有 1 由此得由此得 ,jnu x t （3.173.17）的截?cái)嗾`差為的截?cái)嗾`差為 2Oh 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 coth22ahah ，12ah 32132ahO hah 2O h 2O h 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + +2021/8/1437（3.173.17）的截?cái)嗾`差為的截?cái)嗾`差為 2Oh 22112 (3.19)2vah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 coth22ahah ，中心顯示格式的穩(wěn)定條件中心顯示格式的穩(wěn)定條件:1111

27、122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 中心顯式中心顯式2021/8/143822av （3.173.17）的穩(wěn)定性條件為（的穩(wěn)定性條件為（3.193.19） 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 22112 (3.19)2vvah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 222222a hvhv 21coth2ahv 1 1111122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22

28、ahv coth22ahah ，P1032021/8/1439考察指數(shù)格式考察指數(shù)格式SamarskiiSamarskii格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系 111122 (3.20)1nnnnnnnjjjjjjjhuuuuuuuahahhe 取取h h充分小充分小， 1heh 由此可以看出由此可以看出， （3.203.20）式化為迎風(fēng)差分格式（式化為迎風(fēng)差分格式（3.93.9）P100P100 1hahe 設(shè)設(shè)a0a0，想把指數(shù)格式改寫為：想把指數(shù)格式改寫為： he 如果如果 212hh 22ahhh 12vhav 那么那么（3.203.20）式式化為化為SamarskiiP101av 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 2021/8/1440考察指數(shù)格式考察指數(shù)格式SamarskiiSamarskii格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系格式迎風(fēng)格式之間的關(guān)系