二項(xiàng)分布與Poisson分布

1、第九章二項(xiàng)分布與Poisson分布第一節(jié) 二項(xiàng)分布的概率和累積概率的求法一、二項(xiàng)分布如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)局只能是相互對立的兩種結(jié)果中的一種，例如射擊的命中與未中、治療的有效與無效、試驗(yàn)動物染毒后的生存與死亡等等，常稱此類數(shù)據(jù)為二項(xiàng)分類數(shù)據(jù)。二項(xiàng)分布(bin omial distribution )就是描述此類隨機(jī) 試驗(yàn)發(fā)生規(guī)律的一種離散型概率分布。其特點(diǎn)為：其中一種結(jié)果發(fā)生的概率為一常數(shù)二，另一種結(jié)果發(fā)生的概率為1-二；被觀察的n個(gè)觀察單位的結(jié)局之間相互獨(dú) 立；發(fā)生的兩種結(jié)果相互對立。1.二項(xiàng)分布的概率為：P(X) =cX(1兀 yXjr XX =0，1, 2,n (9.1)其中C一n X!(

2、 n-X)!意義是某種結(jié)果發(fā)生的概率為二時(shí)，在n次試驗(yàn)中恰有X次該結(jié)果出現(xiàn)的概率2.二項(xiàng)分布的累積概率最多有k次出現(xiàn)該結(jié)果的概率(cumulative probability)為：(9.2)kP(X乞k)八0P(X)X =0, 1,2, 3,k 八,n最少有k次出現(xiàn)該結(jié)果的概率nP(X 一 k)八kP(X)(9.3)X =0,1,2, 3,k n二項(xiàng)分布的累積概率可用于統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inferen ce)。二、二項(xiàng)分布概率和累積概率的求法利用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)BINOMDIST(可以計(jì)算二項(xiàng)分布的概率和累積概率(一)方法二項(xiàng)分布概率計(jì)算函數(shù) BINOMDIST(的語法為：

3、BINOMDIST( number_s, trials, probability_s, cumulative)Number_s試驗(yàn)成功(即出現(xiàn)特定結(jié)果)的次數(shù)。Trials獨(dú)立試驗(yàn)的次數(shù)。Probability_s一次試驗(yàn)中成功的概率。Cumulative 為一邏輯值，用于確定函數(shù)的形式。如果cumulative為TRUE 函數(shù)BINOMDIST(返回累積概率，即最多numbers次成功的概率；如果為FALSE 返回概率函數(shù)，即恰有number_s次成功的概率。實(shí)際應(yīng)用中，若求最少number_s次成功的概率，可利用下式：P(X _ k) - P(X : k)(二)操作步驟1.下面以例9-1為

4、例演示計(jì)算二項(xiàng)分布概率的具體操作步驟。例9-1 硬幣出現(xiàn)幣值一面的概率為0.5，出現(xiàn)另一面的概率為1 0.5=0.5。 在10次擲幣試驗(yàn)中，均出現(xiàn)幣值一面(即幣值一面出現(xiàn)10次)的概率有多大。這是一個(gè)典型的二項(xiàng)分布隨機(jī)試驗(yàn)，獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù) n=10,即trials=10 ;擲 幣試驗(yàn)中成功(即出現(xiàn)某一面)的概率 兀=0.5，即probability_s=0.5 ;試驗(yàn)成功 的次數(shù)X =10，即number_s=1 Q按(9.1) 式計(jì)算如下：P(10) =C1(0 1-0.5 10°0.510 =0.000976563用Excel計(jì)算步驟如下： 在工作表的鄰近單元格 A2:D3中依次輸

5、入標(biāo)識與函數(shù)BINOMDIST(的 參數(shù)值。在A2輸入“ Numbers'，A3輸入“ 10”，為擲幣試驗(yàn)出現(xiàn)某一面的次 數(shù)；B2輸入“ Trials ”，B3輸入“ 10”，為擲幣試驗(yàn)的擲幣次數(shù)；C2輸入“Probability_s ”，C3輸入“ 0.5 ”，為擲幣試驗(yàn)中出現(xiàn)某一面的概率；D2輸入“Cumulative ”，D3輸入“ FALSE，選擇計(jì)算概率函數(shù)值。見圖 9-1。BCD12Number_eTrialsProbability sCuiriulative3L0L0Cl. 5FALSE圖9-1 輸入BINOMDIS函數(shù)的參數(shù)值 在上述參數(shù)值鄰近單元格 E3中輸入函數(shù)BI

6、NOMDIST()并引用已輸入的參數(shù)值，回車即可得到概率值。在E2輸入“ P ”，E3輸入“ =BINOMDIST(A3,B3,C3,D3” 回車。見圖 9-2。E3十|-=BrN0IDIST(A3, B3, C3, D3)BCn漸輯欄e|12Number_sTrialsProbability_sCuirul ativeF 、r310100. 5FALSE 1 0. 0009765631圖9-2 調(diào)用函數(shù)BINOMDIST()計(jì)算二項(xiàng)分布概率值也可通過選擇“插入”菜單 -“函數(shù)”命令或單擊工具欄的粘貼函數(shù) 按鈕-“粘貼函數(shù)”對話框，在“函數(shù)分類”中 -選擇“統(tǒng)計(jì)”，在“函數(shù)名” 中選擇“ BI

7、NOMDIST,單擊確定“ BINOMDIS”對話框，在相應(yīng)的參數(shù) 填充欄輸入?yún)?shù)值引用或某具體值，單擊確定得到概率值。見圖9-3。圖9-3 函數(shù)BINOMDIST()對話框及輸入的參數(shù)值引用按上述步驟建立的工作表界面(見圖9-2 )可作為一個(gè)求二項(xiàng)分布概率的模 板，只需改動相應(yīng)的參數(shù)值就可得到新的概率。2.下面以例9-2為例演示計(jì)算二項(xiàng)分布累積概率的操作步驟。例9-2 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)新生兒染色體異常率為1%某研究者想了解當(dāng)?shù)匦律?兒染色體異常是否低于一般，隨機(jī)抽查了當(dāng)?shù)?00名新生兒，結(jié)果2名染色體異常。 能否據(jù)此認(rèn)為該地新生兒染色體異常率低于一般？可以認(rèn)為500名新生兒中染色體異常的人數(shù)X服

8、從二項(xiàng)分布，可在假設(shè)該地新 生兒染色體異常率等于一般(即 H):兀=0.01 )的條件下，通過求最多.有2名新生 兒染色體異常的概率一一P(X<2)作統(tǒng)計(jì)推斷。一般若P(X< 2) < 0.05，拒絕H; 若P(X< 2) > 0.05，尚不能拒絕H。P(X< 2)可按(9.2)和(9.1)式求得如下：2P(X 乞2) P(X)二 P(0)P(1)P(2)o500二(0.99)500!1(500-1)!499(0.99)(0.01)500!2(500-2)!4982(0.99)(0.01):0.1234用Excel計(jì)算步驟如下: 在工作表的鄰近單元格 A2:

9、D3中依次輸入標(biāo)識與函數(shù)BINOMDIST(的 參數(shù)值。在A2輸入“ Number_S', A3輸入“ 2”，為染色體異常的兒童數(shù)；B2輸入“Trials ”，B3輸入“ 500”，為抽查新生兒的樣本數(shù)；C2輸入“ Probability_s ”, C3輸入“ 0.01 ”，為新生兒染色體異?？傮w率；D2輸入“ Cumulative ”，D3輸入“TRUE，選擇計(jì)算累積概率值。見圖9-4。Acd n12Number sTnalsPiobatulily sCumulative325000.01TRUE4圖9-4 建立并輸入函數(shù)BINOMDIST0的參數(shù)值 在上述參數(shù)值鄰近單元格 E3中輸

10、入函數(shù)BINOMDIST。并引用已輸入 的參數(shù)值，回車即可得到累積概率值。在E2輸入“ P” E3輸入“ =BINOMDIST(A3,B3,C3,D3” 回車。見圖 9-5。E3*|=|sBINOJTOISTCAS, B3, C3, D3)ABC 鏑輯欄DE |I2Numb&r sTrialsProbability sCumulativeP、J龍5000. 01TRUE0. 123385774<14圖9-5 調(diào)用函數(shù)BINOMDIST()生成二項(xiàng)分布累積概率值也可通過選擇“插入”菜單 -“函數(shù)”命令或單擊工具欄的粘貼函數(shù) 按鈕-“粘貼函數(shù)”對話框，在“函數(shù)分類”中 -選擇“統(tǒng)計(jì)”

11、，在“函數(shù)名” 中選擇“ BINOMDIST，單擊確定“ BINOMDIST對話框，在相應(yīng)的參數(shù) 填充欄輸入?yún)?shù)值引用或某具體值，單擊確定得到累積概率值。見圖9-6。按上述步驟建立的工作表界面(見圖9-5)可作為一個(gè)求二項(xiàng)分布累積概率 的模板，只需改動相應(yīng)的參數(shù)值就可得到新的累積概率。BINCMDIST：gufiul 生匚S 二 2匡=50033= o oi勺二 TKUI=0. 123385774返回一無二項(xiàng)式分布的福率亙計(jì)算結(jié)果=0. 1233857744確定rd 取消Cumnlati 選輯值，決毎函數(shù)的形式。累積分布函數(shù)，使用TRUE :槻率密 度函數(shù)，便用FALSE圖9-6 函數(shù)BINO

12、MDIST()對話框及輸入的參數(shù)值第二節(jié)Poisson分布的概率和累積概率的求法一、Poisson 分布泊松分布(Poisson distribution)，用于描述在單位時(shí)間或空間內(nèi)罕見事件發(fā)生規(guī)律的一種離散型概率分布。如一定人群中某種患病率或死亡率很低的非 傳染性疾病(遺傳缺陷病、癌癥等)的分布情況，粉塵或細(xì)菌在單位空間或容積 內(nèi)的分布情況，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射出質(zhì)點(diǎn)數(shù)的分布情況等等。Poisson分布可看成二項(xiàng)分布(特定事件發(fā)生的概率二很小且為常數(shù)，而試驗(yàn)的次數(shù)n很大) 的特例。1. Poisson分布的概率為：e-jxP(X) = X =0，1, 2，3,.(9.4)X!式中(&

13、gt;0)為Poisson分布的總體均數(shù)，是Poisson分布的唯一參數(shù)；X為單位 時(shí)間或空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)；e = 2.71828 是自然對數(shù)的底。意義是單位時(shí)間或單位空間內(nèi)有X 例某事件發(fā)生的概率。2. Poisson分布的累積概率為:特定事件最多發(fā)生k次的概率k(9.6)(9.5)P(X 乞 k)八 P(X) X = 0, 1,2, 3,k0特定事件最少發(fā)生k次的概率P(X _k) =1 _P(X ： k) X =0, 1,2, 3,kPoiss on 分布的累積概率可用于統(tǒng)計(jì)推斷、Poisson分布的概率和累積概率的求法利用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)POISSON（可求Poisson分布的

14、概率和累積概率。（一）方法Poisson分布計(jì)算函數(shù)POISSON（的語法為：POISSON (x, mean, cumulative)X事件發(fā)生數(shù)。Mean總體均數(shù)。即Poisson分布的參數(shù)，。實(shí)際應(yīng)用中，可用X代替。Cumulative為一邏輯值，確定所返回概率的形式。如果cumulative 為TRUE函數(shù)POISSON（返回累積概率，即隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)小于等于X;如果為 FALSE則返回概率，即隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)恰好為 X。（二）操作步驟1.下面以例9-3為例演示Poisson分布概率求法的具體操作步驟。例9-3 在500毫升微生物溶液中，含某種微生物的濃度是0.3只/毫升。今從

15、中抽取1毫升溶液，問其中含有2只微生物的概率是多少？可以認(rèn)為微生物溶液中含微生物的只數(shù) X服從Poisson分布，X=2, =0.3，即Mean=0.3。按（9.4）式計(jì)算如下：0 32P（X =2）e©3 0.033342!用Excel計(jì)算步驟如下：.在工作表的鄰近單元格 A2:E3中依次建立并輸入函數(shù) POISSON（的參數(shù)在A2輸入“ X” A3輸入“ 2”為微生物的出現(xiàn)數(shù)；B2俞入“ Mea6, B3俞 入“0.3 ”，為Poisson分布的參數(shù)九；C2俞入“Cumulative ” C3俞入“FALSE,選 擇計(jì)算概率值。見圖9-7。AEcD12XMeanCuitiulal

16、ivc320. 3FALSE41-圖9-7 輸入函數(shù)POISSON()的參數(shù)值(2).在上述參數(shù)值鄰近單元格中輸入函數(shù) POISSON。并引用已輸入的參 數(shù)值，回車即可得到概率值。在 D2輸入“ P”，D3輸入“ =POISSON (A3,B3,C3) ”回車。見圖 9-8圖9-8 調(diào)用函數(shù)POISSONQ計(jì)算POISSO分布概率值也可通過選擇“插入”菜單 -“函數(shù)”命令或單擊工具欄的粘貼函數(shù) 按鈕-“粘貼函數(shù)”對話框，在“函數(shù)分類”中 -選擇“統(tǒng)計(jì)”，在“函數(shù)名” 中-選擇“ POISSON,單擊確定-“POISSON對話框，在相應(yīng)的參數(shù)填充 欄輸入?yún)?shù)值引用或某具體值，單擊確定得到概率值。

17、見圖9-9。圖9-9 函數(shù)POISSON(對話框及輸入的參數(shù)值按上述步驟建立的工作表界面 (見圖9-8)可作為一個(gè)求Poisson分布概率的 模板，只需改動相應(yīng)的參數(shù)值就可得到新的概率。2.下面以例9-4為例演示Poisson分布累積概率求法的具體操作步驟。例9-4一般人群食管癌患病率為萬分之八，某研究者為了解當(dāng)?shù)厥彻馨┗?病率是否高于一般人群，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?00人，結(jié)果6人患食管癌。能否據(jù)此認(rèn)為 該地食管癌患病率高于一般人群？食管癌患病人數(shù)X可以看成是服從以 =：=500X 0.0008=0.4為參數(shù)的 Poisson分布，可在假設(shè)該地食管癌患病平均人數(shù)等于 0.4的條件下，即H): =0.

18、4 , 通過求最少 有6人患食管癌的概率 P(X>6)作統(tǒng)計(jì)推斷。一般若 P(X> 6) < 0.05，拒絕 若 P(X> 6) > 0.05，尚不能拒絕 H。P(X> 6)可按(9.6)、(9.5)和 (9.4)式求得如下：P(X _6)_P(X : 6)亠P(0)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)012345=1-eeeeee 0!1!2!3!4!5!1-0.999996 = 0.000004用Excel計(jì)算步驟如下：在工作表的鄰近單元格A2:E3中依次建立并輸入函數(shù)POISSON(的參數(shù) 值。在A2輸入“X”，A3輸入“ 5”，為患食管癌的人數(shù)；B2輸入“n”，B3輸入“500”， 為抽查的人數(shù)；C2輸入“ Pi”，C3輸入“0.0008”，為人群食管癌患病的概率；D2 輸入“ Mea6, D3輸入“ =B3*C3'回車，通過n；r求出Poisson分布的參數(shù)丸；E2輸 入“ Cumulati