函數(shù)展開成冪級數(shù)47878實用教案

1、一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) 其中(qzhng)( 在 x 與 x0 之間)稱為(chn wi)拉格朗日余項 .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共23頁第一頁，共24頁。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒(ti l)級數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時, 泰勒(ti l)級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù), 它的收斂(shulin)域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問

2、題待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共23頁第二頁，共24頁。定理定理(dngl)1 .各階導(dǎo)數(shù)(do sh), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(zhn ki)成泰勒級數(shù)的充要條件條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明證明:令0()xU x設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內(nèi)具有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共23頁第三頁，共24頁。定理定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是唯一唯一(wi y)的的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)且與它的麥克勞林級數(shù)相同相

3、同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論(jiln)成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共23頁第四頁，共24頁。二、函數(shù)二、函數(shù)(hnsh)展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接直接(zhji)展展開法開法由泰勒(ti l)級數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式0.的函數(shù)展開機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共23頁第五頁，共24頁。例例1. 將

4、函數(shù)將函數(shù)(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數(shù). 解解:由由 其收斂(shulin)半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共23頁第六頁，共24頁。例例2. 將將展開(zhn ki)成 x 的冪級數(shù).解解: 由得級數(shù)(j sh):其收斂(shulin)半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足! ) 1( nn0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共23頁第七頁，共24頁。類似(li s)可推出:),(x),(x機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共23頁第八頁，共24頁。例例3

5、. 將函將函數(shù)數(shù)(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數(shù), 其中m為任意(rny)常數(shù) . 解解: 易求出 于是得 級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù) m, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共23頁第九頁，共24頁。2(1)2!m mx(1)(1)!nm mmnxn則推導(dǎo)(tudo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為避免研究(ynji)余項 , 設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為第10頁/共23頁第十頁，共24頁。)()1 (xFx例例3 附注附注(fzh)第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。2(1)2!m mx(1)(1)!nm mmnxn 稱為(chn wi

6、)二項展開式 .說明說明(shumng)：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān)(yugun) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時, 級數(shù)為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理二項式定理.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得 第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。對應(yīng)(duyng)的二項展開式分別(fnbi)為機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共23頁第十三頁，共24頁。2. 間接間接(jin ji)展開法展開法利用一些(yxi)已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)將函數(shù)(hnsh)展開成 x 的冪級數(shù).解解: 因為把 x 換成)

7、11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。例例5. 將函數(shù)將函數(shù)(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數(shù).解解: 從 0 到 x 積分(jfn), 得定義且連續(xù), 域為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。例例6. 將將展成(zhn chn)解解: 的冪級數(shù). 機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。例例7. 將將展成(zhn chn) x1

8、的冪級數(shù). 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 函數(shù)(hnsh)的冪級數(shù)展開法(1) 直接(zhji)展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式1x2!21x式的函數(shù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共23頁第十八頁，共24頁。x11(1)(1)!nm mmnxn當(dāng) m = 1 時),(x),(x) 1, 1(x機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共23頁第十九頁，共24頁。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 函

9、數(shù)(hnsh)處 “有泰勒(ti l)級數(shù)” 與 “能展成泰勒(ti l)級數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級數(shù) ?提示提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共23頁第二十頁，共24頁。備用備用(biyng)題題 1.將下列函數(shù)(hnsh)展開成 x 的冪級數(shù)解解:211xx1 時, 此級數(shù)(j sh)條件收斂,因此 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共23頁第二十一頁，共24頁。)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 將將在x = 0處展為冪級數(shù).解解:)(3232x因此(ync)機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共23頁第二十二頁，共24頁。感謝您的觀看(gunkn)！第23頁/共23頁第二十三頁，共24頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 級數(shù)。第1頁/共23頁。1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么。f (x) 的泰勒(ti l)公式中的余項滿足:。唯一的 , 且與它的麥克