函數(shù)的凹凸性與函數(shù)的作圖實用教案

1、問題(wnt):如何研究曲線的彎曲方向?xyoABCyo)(xfy yo)(xfy abABabBA問題: 如何(rh)用準確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?第1頁/共31頁第一頁，共32頁。定義(dngy)4.2 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是上凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的(上凹簡稱凹,下凹簡稱凸)yo)(xfy yo)(xfy abABabBA4.4.1 曲線(qxin)的凹凸性與拐點第2頁/共31頁第二頁，共32頁。曲線凹凸(o t)的判定:yo)(xfy yo)(xfy abABabBA第

2、3頁/共31頁第三頁，共32頁。 定理3.10設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，)(xf),(ba(2)若時，恒有，則曲線在內(nèi)下凹(簡稱凸的)bxa0)( xf)(xfy ),(ba),(babxa0)( xf)(xfy (1)若時，恒有，則曲線 在內(nèi)上凹(簡稱凹的)；第4頁/共31頁第四頁，共32頁。例證明(zhngmng)函數(shù) 的圖像是處處下凹(凹)的故曲線(qxin)在整個定義域內(nèi)是下凹(凸)的解 第5頁/共31頁第五頁，共32頁。定義4.3曲線(qxin)上凹與下凹的分界點稱為曲線(qxin)的拐點.求拐點(ui din)的一般步驟：令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點；0)(

3、xf)(xf 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；對步驟求出的每一個點，檢查其左、右鄰近的的符號，如果異號則該點為曲線的拐點；如果同號則該點不是曲線的拐點)(xf 第6頁/共31頁第六頁，共32頁。例1求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.1234xxy解 ，2364xxy) 1(1212122 xxxxy令，解得，0 y0 x1xx)(xf )(xf)0 ,() 1 , 0(), 1 ( 00) 1 , 0(拐點10)0 , 1 (拐點曲線在及兩個區(qū)間上凹，在區(qū)間下凹，和是它的兩個拐點.)0 ,(), 1 ( ) 1 , 0() 1 , 0()0 , 1 (第7頁/共31頁第七頁，共32頁。例2求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.1)

4、 12(4xy解，；3) 12(8xy2) 12(48 xy令，解得；0 y21x只要，恒有，而函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，所以曲線 沒有拐點，它在整個是上凹的21x0 y4) 12(xy),(1第8頁/共31頁第八頁，共32頁。例3求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.31)4(2xy解，；32)4(31xy35)4(92 xy在內(nèi)恒不為零，但時，不存在),(4xy y 在4的左側(cè)鄰近時，； 在4的右側(cè)鄰近時，.即在兩側(cè)異號，所以是曲線的拐點.x0 y0 yy 4x)2 , 4(第9頁/共31頁第九頁，共32頁。練習(xí) 求下列曲線(qxin)的拐點，并討論其凹凸性.第10頁/共31頁第十頁，共32頁。2解凹

5、的凸的凹的拐點(ui din)拐點(ui din)第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。3解第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。定義(dngy)4.4如果曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時，該點與某條直線的距離趨于零， 則稱此直線為曲線的漸近線.設(shè)曲線，如果,則稱 直線 為曲線的水平漸近線.)(xfy cxfx)(limcy )(xfy 4.4.2 曲線(qxin)的漸近線1.水平(shupng)漸近線第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。如果曲線在點間斷，且，則稱直線為曲線的鉛垂?jié)u近線)(xfy )(limxfx0 xx )(xfy 0 x例4求曲線的水

6、平漸近線和鉛垂?jié)u近線.51xy2.鉛垂?jié)u近線第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。解因為，所以是曲線的水平漸近線0y051limxx又因為5是的間斷點,且，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線51xy5x51lim5xx第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。例5求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線.22123xxy解因為，所以是曲線的水平漸近線3y3123lim22xxyx第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。221123limxxx又因為1和-1是的間斷點，且，所以和是曲線的鉛垂?jié)u近線22123xxy221123limxxx1x1x第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。4.4.3 函數(shù)(hnsh)作圖描繪函數(shù)圖

7、象(t xin)的具體方法如下:1.確定(qudng)函數(shù)的定義域的值域；2.確定曲線關(guān)于坐標軸的對稱性；3.求出曲線和坐標軸的交點；4.判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值；5.確定函數(shù)的凹向區(qū)間和拐點；6.求出曲線的漸近線；7.列表討論并描繪函數(shù)的圖象.第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。例6描繪函數(shù)的圖象 323xxy解(1)定義域： .),( (2)函數(shù)不具有奇偶性， 因此(ync)曲線無對稱性. (3)令，得， 表明曲線 與 軸有兩個交點，一個是 ，一個是 .0y0 xx0 x3x3x(4) ，)2(3362xxxxy0 x0 y2x)1 (666xxy 令，得，.第20頁/共31頁第二十

8、頁，共32頁。，所以為極大值點， 為極大值.062 xy2x4)2(f0 x0)0(f060 xy，所以為極小值點， 為極小值；第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。(5)令，得在的左側(cè)有，在的右側(cè)有， 而，所以是拐點1x1x0 y1x0 y0 y2) 1 (f)2 , 1 (6)無漸近線.(7)將上面(shng min)的結(jié)果列表第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。x)(xf)0 ,(), 2(20)2 , 1 (拐點)(xf )(xf 0100) 1 , 0()2 , 1 (0)0(f極小值4)2(f極大值第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。例7描繪函數(shù)的圖象2) 1(42xxy

9、解(1)定義域：), 0()0 ,(2)函數(shù)(hnsh)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性.第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。312322x表明曲線與軸交于和.x31x31x(3)令，即，解得0y02) 1(422xxx0222 xx第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。(4)422)442(2)44(xxxxxxy33)2(484xxxx，令 ，得 .0 y2x第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。在左側(cè)有，在右側(cè)有，所以是極小值點，是極小值2x0 y0 y2x2x3)2(f(5)623623248)2(124xxxxxxxy 4)3(8xx .第27頁/共31頁第二十七頁，共32頁。

10、令，得.當從左向右經(jīng)過-3時，由負變正，又，所以是曲線的拐點.3xx0 yy 982)3(f)982, 3(6)因為，所以是曲線的水平漸近線.2)2) 1(4(lim2xxx2y第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。又因為是函數(shù)的間斷點，且，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線)2) 1(4(lim20 xxx0 x0 x第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。(7)將上面的結(jié)果(ji gu)列表x)(xf)3,(), 0(03)2(f極小值)(xf )(xf 032)2, 3()0 , 2()982, 3(拐點不存在0第30頁/共31頁第三十頁，共32頁。感謝您的觀看(gunkn)！第31頁/共31頁第三十一頁，共32頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)問題:如何研究曲線的彎曲方向。第1頁/共31頁。定義4.3曲線上凹與下凹的分界點