材料非線性.答案

1、1第六章 材料非線性問題的有限元法2第一節(jié)第一節(jié) 引言引言線彈性力學基本方程的特點：線彈性力學基本方程的特點：幾何方程的位移和應變的關系是線性的；幾何方程的位移和應變的關系是線性的；物理方程的應力和應變的關系是線性的；物理方程的應力和應變的關系是線性的；建立于變形前的平衡方程也是線性的。建立于變形前的平衡方程也是線性的。 結構的變形使體系的受力狀態(tài)發(fā)生顯著變化，結構的變形使體系的受力狀態(tài)發(fā)生顯著變化，以致于不能用變形前的平衡方程分析，且位移和應以致于不能用變形前的平衡方程分析，且位移和應變的關系不是線性的。變的關系不是線性的。幾何非線性問題幾何非線性問題狀態(tài)變化（接觸）狀態(tài)變化（接觸） 與狀態(tài)

2、相關的非線性問題，系統(tǒng)的剛度在不同與狀態(tài)相關的非線性問題，系統(tǒng)的剛度在不同狀態(tài)下發(fā)生改變。狀態(tài)下發(fā)生改變。3材料非線性的問題：材料非線性的問題： 由于加載歷史、環(huán)境狀況及加載時間總量等因由于加載歷史、環(huán)境狀況及加載時間總量等因素影響使得材料的應力素影響使得材料的應力-應變關系不符合胡克定律。應變關系不符合胡克定律。 不依賴于時間的彈塑性問題不依賴于時間的彈塑性問題：當載荷作用時，：當載荷作用時，材料立即變形，并不隨時間變化而變化。材料立即變形，并不隨時間變化而變化。 依賴于時間的黏（彈、塑）性問題：依賴于時間的黏（彈、塑）性問題：載荷作用以后，載荷作用以后，材料立即變形，并隨時間變化而變化。在

3、載荷不變材料立即變形，并隨時間變化而變化。在載荷不變的條件下，由于材料黏性而繼續(xù)增長的變形稱為蠕的條件下，由于材料黏性而繼續(xù)增長的變形稱為蠕變。在變形保持不變的條件下，由于材料的黏性而變。在變形保持不變的條件下，由于材料的黏性而使應力衰減稱為松弛。使應力衰減稱為松弛。4第二節(jié)第二節(jié) 非線性方程組的解法非線性方程組的解法線性方程組線性方程組QK其中其中K為常數矩陣，可以直接求解。為常數矩陣，可以直接求解。非線性方程組非線性方程組QK)(其中其中 依賴于依賴于 不能直接求解。為變形后的不能直接求解。為變形后的平衡方程。平衡方程。)(K求解方法包括：求解方法包括：迭代法、增量法和混合法迭代法、增量法

4、和混合法。5一、直接迭代法一、直接迭代法0)( fK假設有初始的試探解假設有初始的試探解0fK101)(其中：其中：)(00KK 重復上述步驟重復上述步驟fKnn11)(當誤差小于規(guī)定的范圍即可。當誤差小于規(guī)定的范圍即可。假設的初始的試探解可以由線性問題得到。假設的初始的試探解可以由線性問題得到。每次迭代需要計算和形成新的系數矩陣并進行求逆每次迭代需要計算和形成新的系數矩陣并進行求逆計算，這表明計算，這表明K可以表示成可以表示成 的函數，因此的函數，因此迭代法只迭代法只適用于與變形歷史無關的非線性問題適用于與變形歷史無關的非線性問題。6直接迭代法的收斂性分析直接迭代法的收斂性分析)()(KP單

5、自由度問題單自由度問題 2nn1n3n012曲線是凸的，收斂曲線是凸的，收斂曲線是凹的，不收斂曲線是凹的，不收斂其他的迭代方法：其他的迭代方法：Newton-Raphson方法（方法（N-R方法）方法）修正的修正的Newton-Raphson方法（方法（mN-R方法）方法）7載荷分為若干步：載荷分為若干步： 位移分成若干步：位移分成若干步：每兩步之間增長量為增量。每兩步之間增長量為增量。二、增量法二、增量法0)( fK增量法增量法3210,ffff3210,增量解法的一般做法是：增量解法的一般做法是：假設第假設第m步的載荷步的載荷 和位移和位移 ；讓載荷增加讓載荷增加 ，再求解，再求解 。mf

6、m)(1fffmm)(mm 1 如果每一步的增量如果每一步的增量 足夠小，解的收斂性足夠小，解的收斂性可以得到保證可以得到保證f80)()(0fP其中：其中： 表示載荷變化的量。表示載荷變化的量。000fddKfddddPT01)(fKddT切線矩陣切線矩陣求解常微分方程組的問題，可以利用求解常微分方程組的問題，可以利用Euler方法。方法。mmTmmTmmfKfK)()(1011其中：其中：mmm1mmmfff19 以上的分析方法計算得到的是近似積分的結果，以上的分析方法計算得到的是近似積分的結果，因此計算得到的位移不能完全滿足微分方程，導致因此計算得到的位移不能完全滿足微分方程，導致解的漂

7、移。解的漂移。改進方法：改進方法：在每一增量步中引入迭代法（如在每一增量步中引入迭代法（如N-R法或法或mN-R法），直到滿足誤差要求，進行下一法），直到滿足誤差要求，進行下一增量步的分析。增量步的分析。Euler法求解增量方程和解的漂移法求解增量方程和解的漂移KP 10N-R法解增量方程法解增量方程mN-R法解增量方程法解增量方程 對于對于mR-N方法求解非線性方程組時，收斂速度方法求解非線性方程組時，收斂速度較慢，特別是對于結構分析時載荷趨近極限載荷或突較慢，特別是對于結構分析時載荷趨近極限載荷或突然變軟的情況下，收斂速度會很慢。為了加速收斂，然變軟的情況下，收斂速度會很慢。為了加速收斂，

8、可以采用一些方法，比較常用和有效的是可以采用一些方法，比較常用和有效的是Aitken法。法。該方法每隔一次迭代進行一次加速。該方法每隔一次迭代進行一次加速。11第三節(jié)第三節(jié) 材料非線性的本構關系材料非線性的本構關系一、材料彈塑性行為的描述一、材料彈塑性行為的描述 彈塑性材料進入塑性的特征是當載荷卸去后彈塑性材料進入塑性的特征是當載荷卸去后存在不可恢復的永久變形，因而在涉及卸載的情存在不可恢復的永久變形，因而在涉及卸載的情況下，應力和應變之間不再存在一一對應的關系，況下，應力和應變之間不再存在一一對應的關系，這是區(qū)別于非線性彈性的基本屬性。這是區(qū)別于非線性彈性的基本屬性。12單調加載單調加載 對

9、于大多數材料存在屈服應力，應力低于屈服對于大多數材料存在屈服應力，應力低于屈服應力時，材料為彈性，而當應力超出屈服應力時，應力時，材料為彈性，而當應力超出屈服應力時，材料進入材料進入 彈塑性狀態(tài)。彈塑性狀態(tài)。 當應力達到屈服應力后，應力不再增加，而材料當應力達到屈服應力后，應力不再增加，而材料變形可以繼續(xù)增加變形可以繼續(xù)增加理想彈塑性材料理想彈塑性材料。 當應力達到屈服應力后，再增加變形，應力必須當應力達到屈服應力后，再增加變形，應力必須增加增加應變硬化材料應變硬化材料。此時，應力和應變的關系。此時，應力和應變的關系)(pss 應變硬化材料還可以這樣理解：應變硬化材料還可以這樣理解：如果在某個

10、大于如果在某個大于屈服應力的應力值下卸載，然后再加載，材料重新進屈服應力的應力值下卸載，然后再加載，材料重新進入塑性的應力值將高于初始的屈服應力。入塑性的應力值將高于初始的屈服應力。13理想彈塑性理想彈塑性硬化塑性硬化塑性反向加載反向加載 對于硬化材料，在一個方向加載進入塑性后，對于硬化材料，在一個方向加載進入塑性后，在在 時卸載，并反向加載進入新的塑性，這時卸載，并反向加載進入新的塑性，這時新的屈服應力在數值上與初始的屈服應力不等，時新的屈服應力在數值上與初始的屈服應力不等，也不等于卸載時的應力。也不等于卸載時的應力。1rs14進入反向塑性后，應進入反向塑性后，應力和應變關系不同于力和應變關

11、系不同于正向，需根據實驗重正向，需根據實驗重新確定。新確定。11rs各向同性硬化各向同性硬化0112ssr運動（隨動）硬化運動（隨動）硬化11rs混合硬化混合硬化0112ssr15循環(huán)加載循環(huán)加載 循環(huán)加載是指在上述反向進入塑性變形以后，循環(huán)加載是指在上述反向進入塑性變形以后，載荷再反轉進入正向，又一次達到新的屈服點和新載荷再反轉進入正向，又一次達到新的屈服點和新的塑性變形，如此反復循環(huán)。的塑性變形，如此反復循環(huán)。加載分支加載分支：從載荷的反轉點：從載荷的反轉點開始，沿此方向加載到新的開始，沿此方向加載到新的屈服點，繼續(xù)塑性變形到下屈服點，繼續(xù)塑性變形到下一個載荷反轉點。一個載荷反轉點。如：如

12、：OA，AB，BC各為一載各為一載荷分支。荷分支。實驗表明實驗表明，從第二個分支開始，從第二個分支開始各分支的應力各分支的應力-應變關系是相似應變關系是相似的。的。16 等幅應變控制的循環(huán)加載等幅應變控制的循環(huán)加載，材料呈現，材料呈現循環(huán)硬（軟）循環(huán)硬（軟）化現象化現象材料硬（軟）化性質增強，直至最后趨于穩(wěn)材料硬（軟）化性質增強，直至最后趨于穩(wěn)定，進而得到定，進而得到穩(wěn)定的循環(huán)應力穩(wěn)定的循環(huán)應力-應變曲線應變曲線。 不等幅應變控制的循環(huán)加載不等幅應變控制的循環(huán)加載，材料呈現，材料呈現循環(huán)松弛循環(huán)松弛循環(huán)過程中平均應力不斷減小，通常以趨于循環(huán)過程中平均應力不斷減小，通常以趨于0為極限。為極限。1

13、7 不等幅應力控制的循環(huán)加載不等幅應力控制的循環(huán)加載，材料呈現，材料呈現循環(huán)蠕變循環(huán)蠕變循環(huán)過程中平均應變不斷增加，這種性質又稱為循環(huán)過程中平均應變不斷增加，這種性質又稱為棘輪棘輪效應。效應。18二、塑性力學的基本法則二、塑性力學的基本法則 將上述單軸應力狀態(tài)的基本概念推廣到一般的應力將上述單軸應力狀態(tài)的基本概念推廣到一般的應力狀態(tài)，需要利用塑性力學的增量理論。狀態(tài)，需要利用塑性力學的增量理論。初始屈服條件初始屈服條件 此條件規(guī)定材料開始塑性變形的應力狀態(tài)。對于此條件規(guī)定材料開始塑性變形的應力狀態(tài)。對于初始各向同性的材料，在一般應力狀態(tài)下開始進入塑初始各向同性的材料，在一般應力狀態(tài)下開始進入塑

14、性流動的條件是性流動的條件是0)(00ijFF其中：其中：ij-應力張量；應力張量；)(0ijF-應力空間的超曲面。應力空間的超曲面。19對于金屬材料通常采用以下兩種屈服條件。對于金屬材料通常采用以下兩種屈服條件。V. Mises條件條件0321)(200sijijijssF其中：其中：0s-屈服應力；屈服應力；ijs-偏斜應力張量分量。偏斜應力張量分量。ijmijijs其中：其中：m-平均應力；平均應力；)(31332211mij-Kronercker符號；符號；)(0)(1jijiij20在三維主應力空間內在三維主應力空間內，V.屈服條件為屈服條件為03)()()(61)(20213232

15、2210sijF幾何意義是以為軸線的圓柱面。在幾何意義是以為軸線的圓柱面。在過原點過原點，并垂直于直線的平面上，并垂直于直線的平面上，屈服函數的軌跡為半徑為的圓周。而在的屈服函數的軌跡為半徑為的圓周。而在的平面上，屈服函數的軌跡是一橢圓。平面上，屈服函數的軌跡是一橢圓。3213210s0321Tresca條件條件0)()()()(2021320232202210sssijF屈服條件為屈服條件為幾何意義是以為軸線并內接幾何意義是以為軸線并內接V.Mises圓柱面的正六棱柱面。在圓柱面的正六棱柱面。在 平面上的屈服函數的軌跡平面上的屈服函數的軌跡為內接為內接V.Mises屈服軌跡的正六邊形。屈服軌

16、跡的正六邊形。321從數學角度分析，從數學角度分析，在棱邊處的導數在棱邊處的導數不存在，所以有不存在，所以有限元分析通常采限元分析通常采用用V.Mises屈服屈服條件。條件。22流動法則流動法則 流動法則規(guī)定塑性應變增量的分量和應力分量流動法則規(guī)定塑性應變增量的分量和應力分量以及應力分量增量之間的關系。以及應力分量增量之間的關系。V.Mises流動法則假設塑性應變增量可由塑性勢導出流動法則假設塑性應變增量可由塑性勢導出ijpijQdd其中：其中：pijd-塑性應變增量分量；塑性應變增量分量；d-待定的有限量，與材料的硬化法則有關；待定的有限量，與材料的硬化法則有關；Q-塑性勢函數，是應力狀態(tài)和

17、塑性應變的函數。塑性勢函數，是應力狀態(tài)和塑性應變的函數。23硬化法則硬化法則 硬化法則規(guī)定材料進入塑性變形后的后繼屈服函硬化法則規(guī)定材料進入塑性變形后的后繼屈服函數（加載函數或加載曲面）。數（加載函數或加載曲面）。0),(kFpijij其中：其中：k-硬化參數，依賴于變形歷史。硬化參數，依賴于變形歷史。 理想彈塑性材料理想彈塑性材料，因無硬化效應，后繼屈服函，因無硬化效應，后繼屈服函數和初始屈服函數一致數和初始屈服函數一致0)(),(0ijpijijFkF 對于對于硬化材料硬化材料，根據不同的硬化特征，采用不，根據不同的硬化特征，采用不同的硬化法則：各向同性硬化法則、運動硬化法則、同的硬化法則

18、：各向同性硬化法則、運動硬化法則、混合硬化法則。混合硬化法則。24各向同性硬化法則各向同性硬化法則 規(guī)定材料進入塑性后，加載曲面在各方向均勻規(guī)定材料進入塑性后，加載曲面在各方向均勻向外擴張，而其形狀、中心及其在應力空間的方位向外擴張，而其形狀、中心及其在應力空間的方位均保持不變。如：均保持不變。如： 時時03 采用采用Mises屈服條件，后屈服條件，后繼屈服函數表示為繼屈服函數表示為0),(kfkFij其中：其中：ijijssf21)(312psks-現時的彈塑性應力；現時的彈塑性應力；p-等效塑性應變。等效塑性應變。25s為等效塑性應變的函數，可由單軸拉伸試驗確定。為等效塑性應變的函數，可由

19、單軸拉伸試驗確定。定義：定義：pspddE-塑性模量（硬化系數）塑性模量（硬化系數）。pE它與彈性模量和切線模量的關系為它與彈性模量和切線模量的關系為ttpEEEEEddEt-切線模量。切線模量。注意注意：各向同性硬化主要適用于單調加載情況。如：各向同性硬化主要適用于單調加載情況。如果用于卸載，只適用于反向屈服應力和反轉點應力果用于卸載，只適用于反向屈服應力和反轉點應力相等的材料。相等的材料。26運動硬化法則運動硬化法則 規(guī)定材料在進入塑性后，加載曲面在應力空間規(guī)定材料在進入塑性后，加載曲面在應力空間作剛體移動，其形狀、大小和方位均不改變。作剛體移動，其形狀、大小和方位均不改變。0),(0kf

20、Fijij后繼屈服函數表示為后繼屈服函數表示為ij-加載曲面中心在應力加載曲面中心在應力 空間的移動張量。它空間的移動張量。它 與材料的硬化特性和與材料的硬化特性和 變形歷史有關。變形歷史有關。根據根據 的規(guī)定不同，則的規(guī)定不同，則ijPrager運動硬化法則運動硬化法則：加載面中心移動沿現時應力狀：加載面中心移動沿現時應力狀態(tài)的應力點的法線方向。態(tài)的應力點的法線方向。Zeigler修正運動硬化法則修正運動硬化法則：加載面中心移動沿連接中：加載面中心移動沿連接中心和現時應力狀態(tài)的方向。心和現時應力狀態(tài)的方向。27混合硬化法則混合硬化法則 同時考慮各向同性硬化和運動硬化。塑性應變增同時考慮各向同

21、性硬化和運動硬化。塑性應變增量表示為量表示為)()(kpijipijpijddd)(ipijd-與各向同性硬化法則相關聯(lián)；與各向同性硬化法則相關聯(lián)；)(kpijd-與運動硬化法則相關聯(lián)；與運動硬化法則相關聯(lián)；pijipijMdd)(pijkpijdMd)1 ()(M表示各向同性硬化特性在全部硬化中所占的比例表示各向同性硬化特性在全部硬化中所占的比例-混合硬化參數混合硬化參數。11MM為負表示材料軟化情況。為負表示材料軟化情況。后繼屈服函數為后繼屈服函數為0),(kfkFijij),(312Mkps28加載、卸載準則加載、卸載準則 該準則用以判斷從一塑性狀態(tài)出發(fā)是繼續(xù)加載該準則用以判斷從一塑性狀

22、態(tài)出發(fā)是繼續(xù)加載還是彈性卸載還是彈性卸載決定是采用彈性本構關系還是彈塑決定是采用彈性本構關系還是彈塑性本構關系。性本構關系。0, 0ijijdfF繼續(xù)塑性加載繼續(xù)塑性加載0, 0ijijdfF按彈性卸載按彈性卸載0, 0ijijdfF理想塑性材料，塑性加載。理想塑性材料，塑性加載。對于硬化材料，保持塑性狀態(tài)，但不發(fā)生新的塑性流動。對于硬化材料，保持塑性狀態(tài)，但不發(fā)生新的塑性流動。29ijijsf理想塑性材料，采用各向同性硬化法則理想塑性材料，采用各向同性硬化法則采用硬化法則和混合硬化法則的材料采用硬化法則和混合硬化法則的材料ijijijsf其中：其中：ij-移動張量的偏斜張量。移動張量的偏斜張

23、量。30三、應力三、應力-應變關系應變關系三維空間問題三維空間問題TzxyzxyzyxTzxyzxyzyx對于各向同性硬化材料對于各向同性硬化材料0kfF符合各向同性硬化法則的材料應力和應變增量的關系符合各向同性硬化法則的材料應力和應變增量的關系klepijklijdDdpijkleijklepijklDDD塑性矩陣塑性矩陣2)9/4()/()/()/()/(spkleijklijrsersklmneijmnpijklEfDffDfDD31塑性矩陣為塑性矩陣為22222222)3(9zxzxyzyzzxxyyzxyxyzxzyzzxyzzzxyyzyxyyzyxzxxyzxxyxzxyxxps

24、pssssssssssssssssssEGGD)222(21222222zxyzxyzyxsssf其中：其中：)(31zyxiiszyxi,231sk32軸對稱問題和平面應變問題軸對稱問題和平面應變問題軸對稱問題軸對稱問題TrzzrTrzzr平面應變問題平面應變問題TxyzyxTxyyx0222222)3(9xyxyzzxyyzyyxyxzxyxxpspssssssssssssEGGD33平面應力問題平面應力問題Txyyx對于各向同性硬化材料對于各向同性硬化材料0kfF)2(212222xyzyxsssf231sk其中：其中：)(31yxiiszyxi,Txyyx22222)1 ()(1 ()

25、()(1 ()()()1 (xyxyxyxyxyyxxyyxyxpssssssssssssBEDGEssssBspxyyxyx9)1 (2)1 (22222234四、溫度對本構關系的影響四、溫度對本構關系的影響隨溫度的升高，屈服極限降低；隨溫度的升高，屈服極限降低；隨溫度的升高，材料硬化特性（隨溫度的升高，材料硬化特性（ ）降低，并接近）降低，并接近 理想塑性；理想塑性；溫度對彈性模量、泊松比、線膨脹系數等材料常數有溫度對彈性模量、泊松比、線膨脹系數等材料常數有 影響；影響；考慮蠕變效應。考慮蠕變效應。pE應變增量表示為應變增量表示為cklklpkleklklddddd考慮溫度對材料常數的影響

26、，則考慮溫度對材料常數的影響，則)(kleklijeklijijeklijekldddCdCd彈性柔度張量彈性柔度張量溫度增量溫度增量35-由應力變化引起的應變增量；由應力變化引起的應變增量； ekldkld-由彈性柔度張量引起的應變增量。由彈性柔度張量引起的應變增量。kld溫度應變增量溫度應變增量klklddckld蠕變應變增量蠕變應變增量dtsdtddklcckl23線膨脹系數線膨脹系數等效蠕變應變等效蠕變應變等效應力等效應力dtdc-等效應變率等效應變率應力和彈性應變增量關系為應力和彈性應變增量關系為)(cklklpklklkleijlkijdddddDd36 在考慮溫度和蠕變的影響時，

27、流動法則、硬化在考慮溫度和蠕變的影響時，流動法則、硬化法則不變，屈服應力應看成溫度的函數，所以對于法則不變，屈服應力應看成溫度的函數，所以對于混合硬化，后繼屈服函數可以表示為混合硬化，后繼屈服函數可以表示為0),(kfkFijij)(21ijijijijssf),(312Mkps應力和應變增量關系為應力和應變增量關系為0)(ijcklklklklepijlkijdddddDd其中其中)(/ ),()(ppsijijijijepijklEGGMssD392237第四節(jié)第四節(jié) 彈塑性增量分析的有限元法彈塑性增量分析的有限元法一、彈塑性問題的增量方程一、彈塑性問題的增量方程 將載荷分成若干個增量，針

28、對于每一個載荷增將載荷分成若干個增量，針對于每一個載荷增量，將彈塑性方程線性化量，將彈塑性方程線性化將彈塑性分析這一非線將彈塑性分析這一非線性問題轉化為一系列線性問題。性問題轉化為一系列線性問題。假設假設t時刻的載荷、位移、應變和應力已知：時刻的載荷、位移、應變和應力已知：itF-體力體力itT-面力面力itu-位移位移ijt-應變應變ijt-應力應力當時間有一增量時，載荷有一增量：當時間有一增量時，載荷有一增量：iitittFFFiitittTTT38需要求解在需要求解在 時刻的位移、應力和應變時刻的位移、應力和應變ttiitittuuuijijtijttijijtijtt平衡方程平衡方程0

29、,iitjijjijtFF應變和位移的關系應變和位移的關系)(21)(21,ijjiijtjitijijtuuuu應力和應變的關系應力和應變的關系klepijkltijD39邊界條件邊界條件iitiitTTTTiitiituuuu其中：其中：jijtitnTjijinT二、增量的有限元格式二、增量的有限元格式增量形式的虛位移原理增量形式的虛位移原理：如果：如果 時刻的應力時刻的應力 和體積載荷和體積載荷 及邊界載荷及邊界載荷 滿足平衡方程，則該力系在滿足幾何協(xié)調條件的滿足平衡方程，則該力系在滿足幾何協(xié)調條件的虛位移上的總虛功和為虛位移上的總虛功和為0。 ttijijtiitFFiitTT虛位移

30、包括：虛位移包括：)(21)(,ijjiijuu在體積內在體積內0)(iu在邊界上在邊界上400)()()()()()(dSuTTdVuFFdViSiitiVitijVijijtklepijkltijDdSuTdVuFdVdSuTdVuFdVDiSitiVitijVijtiSiiViijVklepijklt)()()()()()(矩陣形式矩陣形式dSTudVFudVdSTudVFudVDStTVitTVtTtSTVTVeptT)()()()()()(41 首先將各單元內的位移增量表示成節(jié)點位移增首先將各單元內的位移增量表示成節(jié)點位移增量的插值形式量的插值形式eNu利用幾何關系利用幾何關系eB代

31、入代入dSTudVFudVdSTudVFudVDStTVitTVtTtSTVTVeptT)()()()()()(由虛位移的任意性，得到有限元系統(tǒng)平衡方程由虛位移的任意性，得到有限元系統(tǒng)平衡方程QKeept系統(tǒng)的彈塑性剛度矩陣系統(tǒng)的彈塑性剛度矩陣增量形式的最小勢能原理增量形式的最小勢能原理不平衡力勢能的變分不平衡力勢能的變分42e-位移增量向量；位移增量向量；Q-不平衡力向量。不平衡力向量。以上三個量分別由單元對應量集成。以上三個量分別由單元對應量集成。itlttQQQ外加載荷向量外加載荷向量內力向量內力向量QKeept由由eeBttt 一般情況下，將應力代入平衡方程，不滿足，需一般情況下，將應

32、力代入平衡方程，不滿足，需利用迭代法直到找到滿足平衡方程的應力狀態(tài)。利用迭代法直到找到滿足平衡方程的應力狀態(tài)。43 彈塑性增量有限元分析在將加載過程劃分為若干彈塑性增量有限元分析在將加載過程劃分為若干增量步，對于每一增量步包括三個算法步驟：增量步，對于每一增量步包括三個算法步驟：線性化彈塑性本構關系，并形成線性有限元方程。線性化彈塑性本構關系，并形成線性有限元方程。QKeptklepijkltijD求解有限元方程。求解有限元方程。積分本構方程決定新的應力狀態(tài)，檢查平衡條件，積分本構方程決定新的應力狀態(tài)，檢查平衡條件，并決定是否進行新的迭代。并決定是否進行新的迭代。ikltttepijklijt

33、ttijdDd44第五節(jié)第五節(jié) ABAQUSABAQUS中彈塑性問題的處理中彈塑性問題的處理一、非線性問題的求解一、非線性問題的求解分析步、增量步和迭代步分析步、增量步和迭代步 模擬計算的加載過程包含一步或多步驟分析。每模擬計算的加載過程包含一步或多步驟分析。每一步包含分析過程選項、載荷選項和輸出要求選項。一步包含分析過程選項、載荷選項和輸出要求選項。在每一分析步中可以采用不同的載荷、邊界條件、分在每一分析步中可以采用不同的載荷、邊界條件、分析過程和輸出要求。析過程和輸出要求。 ABAQUS采用采用Newton-Raphson方法（方法（N-R方方法）求解非線性問題。法）求解非線性問題。45

34、增量步增量步是分析的一部分。在非線性分析中將總是分析的一部分。在非線性分析中將總載荷分解為許多小的增量。當初始增量的大小建議載荷分解為許多小的增量。當初始增量的大小建議后，后，ABAQUS會自動選擇接下來的增量大小。每個會自動選擇接下來的增量大小。每個增量步結束時，結構處于近似平衡狀態(tài)，結果可以增量步結束時，結構處于近似平衡狀態(tài)，結果可以寫入重啟動文件、數據文件和結果文件。寫入重啟動文件、數據文件和結果文件。 迭代步迭代步是每一個增量步中找平衡解的一種嘗試。是每一個增量步中找平衡解的一種嘗試。如果模型在迭代后不是處于平衡狀態(tài)，如果模型在迭代后不是處于平衡狀態(tài)，ABAQUS會會進行另一輪迭代。隨

35、著每一次迭代，進行另一輪迭代。隨著每一次迭代，ABAQUS得到得到的解更接近于平衡狀態(tài)。結構在一給定的迭代步之的解更接近于平衡狀態(tài)。結構在一給定的迭代步之后不一定處于平衡狀態(tài)，因此計算結果只在得到平后不一定處于平衡狀態(tài)，因此計算結果只在得到平衡解的迭代步中才可以實現。衡解的迭代步中才可以實現。46 對于非線性分析的每次迭代，對于非線性分析的每次迭代，ABAQUS形成模形成模型的剛度矩陣并求解一組方程。從計算費用的角度型的剛度矩陣并求解一組方程。從計算費用的角度看，這意味著每次迭代等價于一次完整的線性分析。看，這意味著每次迭代等價于一次完整的線性分析。同時，同時，ABAQUS在每一收斂的增量步上

36、保存結果，在每一收斂的增量步上保存結果，這樣非線性分析的輸出數據會很大。這樣非線性分析的輸出數據會很大。收斂性收斂性 基于結構新的位形，基于結構新的位形，ABAQUS形成新的剛度矩形成新的剛度矩陣，利用新的剛度矩陣計算結構中的內部力，并計陣，利用新的剛度矩陣計算結構中的內部力，并計算與所施加載荷的差值，如果這個差值在每個自由算與所施加載荷的差值，如果這個差值在每個自由度上均為零，結構處于平衡狀態(tài)。在非線性分析中，度上均為零，結構處于平衡狀態(tài)。在非線性分析中，很難使差值為零，所以很難使差值為零，所以ABAQUS將之與容許值比較，將之與容許值比較，如果比容許值小，如果比容許值小，ABAQUS接受結

37、構的新構形作為接受結構的新構形作為平衡結果。平衡結果。47 對于收斂性問題，對于收斂性問題，ABAQUS還要檢查位移修正還要檢查位移修正與總位移增量相比是否是一小量，若位移修正大于與總位移增量相比是否是一小量，若位移修正大于位移增量的位移增量的1，ABAQUS將重新進行迭代。將重新進行迭代。 只有上述兩個收斂檢查都得到滿足，才稱此載只有上述兩個收斂檢查都得到滿足，才稱此載荷增量是收斂的。荷增量是收斂的。自動增量控制自動增量控制 需要在每步模擬計算中給出第一增量的大小，只需要在每步模擬計算中給出第一增量的大小，只有對于很平緩的非線性問題才可以將所有載荷施加在有對于很平緩的非線性問題才可以將所有載

38、荷施加在一個增量步上。一個增量步上。 對于一載荷增量找到收斂解所需要的迭代步數會對于一載荷增量找到收斂解所需要的迭代步數會隨著系統(tǒng)的非線性程度而變化。默認情況下，如果結隨著系統(tǒng)的非線性程度而變化。默認情況下，如果結果在果在16次迭代后仍不收斂或結果出現發(fā)散，次迭代后仍不收斂或結果出現發(fā)散，ABAQUS放棄當前增量步，并將增量大小設置為先前值的放棄當前增量步，并將增量大小設置為先前值的25。48 如果增量步少于如果增量步少于5次迭代時收斂，表明找到解很次迭代時收斂，表明找到解很容易。如果在兩個增量步中只需少于容易。如果在兩個增量步中只需少于5次的迭代就可次的迭代就可以得到收斂解，以得到收斂解，A

39、BAQUS自動將增量大小提高自動將增量大小提高50。 利用比較小的增量，找不到收斂解，利用比較小的增量，找不到收斂解，ABAQUS會降低增量，但只允許在一個增量步中有會降低增量，但只允許在一個增量步中有5次增量減次增量減少，否則會中止分析。少，否則會中止分析。二、在二、在ABAQUS中定義塑性中定義塑性 在在ABAQUS中必須用真實應力和真實應變定義中必須用真實應力和真實應變定義塑性。然而大多數實驗數據常常是用名義應力和名塑性。然而大多數實驗數據常常是用名義應力和名義應變給出。義應變給出。當前面積和原始面積的關系當前面積和原始面積的關系llAA0049)1 (000nnnllllAFAF真實應

40、力真實應力名義應力名義應力名義應變名義應變真實應變和名義應變的關系真實應變和名義應變的關系真實應力與名義應力和名義應變的關系真實應力與名義應力和名義應變的關系)ln(n1 ABAQUS利用利用PLASTIC選項定義塑性。用連接選項定義塑性。用連接給定點的一系列直線來逼近光滑的應力應變曲線。給定點的一系列直線來逼近光滑的應力應變曲線。在在PLASTIC選項中的數據將真實屈服應力定義為真選項中的數據將真實屈服應力定義為真實塑性應變的函數。選項的第一個數據定義屈服應實塑性應變的函數。選項的第一個數據定義屈服應力，塑性應變值應該為零。力，塑性應變值應該為零。50 在用來定義塑性性能的材料實驗數據中，提

41、供在用來定義塑性性能的材料實驗數據中，提供的應變?yōu)榭倯?，需要減掉彈性應變。的應變?yōu)榭倯?，需要減掉彈性應變。Ep ABAQUS在提供的材料響應數據點之間進行在提供的材料響應數據點之間進行線性差值，并假定在輸入數據范圍之外的響應為線性差值，并假定在輸入數據范圍之外的響應為常數。因此材料的應力不會超過所輸入數據的最常數。因此材料的應力不會超過所輸入數據的最大應力值，如果材料應力達到此值，材料將繼續(xù)大應力值，如果材料應力達到此值，材料將繼續(xù)變形直至材料應力降至此值以下。變形直至材料應力降至此值以下。51三、彈塑性問題的單元選擇三、彈塑性問題的單元選擇 金屬塑性變形的不可壓縮性質限制了用于彈塑金屬塑

42、性變形的不可壓縮性質限制了用于彈塑性模擬的單元類型。這是因為材料的不可壓縮性增性模擬的單元類型。這是因為材料的不可壓縮性增加了對單元的運動約束，限制了單元積分點處的體加了對單元的運動約束，限制了單元積分點處的體積為常量，這就導致某些單元系列約束過度，造成積為常量，這就導致某些單元系列約束過度，造成體積鎖死，材料響應過于剛硬。體積鎖死表現為單體積鎖死，材料響應過于剛硬。體積鎖死表現為單元間的靜水壓應力迅速變化。元間的靜水壓應力迅速變化。完全積分的二次實體單元完全積分的二次實體單元對體積鎖死非常敏感對體積鎖死非常敏感不能用于彈塑性模擬不能用于彈塑性模擬。如果必須使用完全積分的二次單元，可以選用雜交

43、如果必須使用完全積分的二次單元，可以選用雜交單元實現不可壓縮特性。但是這樣會因為附加的自單元實現不可壓縮特性。但是這樣會因為附加的自由度增加導致計算費用昂貴。由度增加導致計算費用昂貴。52減縮積分的實體單元具有更少的積分點，不會發(fā)生減縮積分的實體單元具有更少的積分點，不會發(fā)生過度約束，可用于大多數彈塑性模擬。過度約束，可用于大多數彈塑性模擬。完全積分的一次實體單元完全積分的一次實體單元體積應變是常量，不會產生體積應變是常量，不會產生體積鎖死體積鎖死可以用于彈塑性模擬可以用于彈塑性模擬。53算例：算例： 一個承受拉力的平板，在其中心位置有一圓孔，一個承受拉力的平板，在其中心位置有一圓孔，材料的彈

44、性模量為材料的彈性模量為210GPa，泊松比為，泊松比為0.3，平板厚度，平板厚度為為1mm，拉伸載荷為，拉伸載荷為100MPa。塑性數據：屈服點處真。塑性數據：屈服點處真實應力為實應力為418MPa，真實應力，真實應力780MPa時，塑性應變?yōu)闀r，塑性應變?yōu)?.095。試分析圓孔應力集中處的。試分析圓孔應力集中處的Mises應力。應力。54ABAQUS用戶子程序用戶子程序UMAT和和VUMAT在在ABAQUS/Standard和和ABAQUS/Explicit中允許中允許建立一般的材料本構模型建立一般的材料本構模型UMATABAQUS/StandardVUMATABAQUS/Explicit

45、 需要明確應力和在共旋框架下的應力率的定義；需要明確應力和在共旋框架下的應力率的定義； 需要定義與時間、溫度和場變量相關性；需要定義與時間、溫度和場變量相關性； 需要定義內部狀態(tài)變量，或者顯性形式或率形需要定義內部狀態(tài)變量，或者顯性形式或率形式。式。 需要利用合適的積分方式把本構的率方程轉換需要利用合適的積分方式把本構的率方程轉換成增量形式（成增量形式（Euler向前、向后和中點）向前、向后和中點） 需要內部狀態(tài)變量的增量形式需要內部狀態(tài)變量的增量形式55Euler向前積分（顯性）比較簡單但有一個穩(wěn)定向前積分（顯性）比較簡單但有一個穩(wěn)定極限：極限：stab stab通常通常比彈性應變值要小的多

46、。比彈性應變值要小的多。 對于顯性積分時間增量步必須要進行控制；對于顯性積分時間增量步必須要進行控制； 對于隱形或中點積分，算法比較復雜并且需要對于隱形或中點積分，算法比較復雜并且需要局部的平衡迭代，一般沒有時間增量步的限制；局部的平衡迭代，一般沒有時間增量步的限制；對于對于UMAT需要計算需要計算Jacobian矩陣矩陣D該矩陣可能為非對稱陣該矩陣可能為非對稱陣56利用和書寫利用和書寫UMAT和和VUMAT時注意：時注意： 在在INP文件中要有對材料模型的調用命令；文件中要有對材料模型的調用命令； 滿足滿足.for或或.C程序書寫規(guī)則；程序書寫規(guī)則； 確保所有的變量定義并且初始化；確保所有的

47、變量定義并且初始化； 需要利用需要利用ABAQUS的計算結果變量時，合理的利的計算結果變量時，合理的利用用ABAQUS Utility子程序；子程序； 利用利用*DEPVAR命令給狀態(tài)變量分配足夠的空間；命令給狀態(tài)變量分配足夠的空間； 驗證驗證UMAT或或VUMAT時采用一個單元的時采用一個單元的inp文件，文件，并且改變加載形式實現單軸拉伸和剪切等驗證；并且改變加載形式實現單軸拉伸和剪切等驗證；57UMAT界面界面以各向同性塑性硬化材料為例，在以各向同性塑性硬化材料為例，在inp文件中應該文件中應該包含：包含：*MATERIAL,NAME=ISOPLAS*USE MATERIAL,CONST

48、ANTS=8,(UNSYMM)30.0E6,0.3,30.0E3,0.0,40.0E3,0.1,50.0E3,0.5*DEPVAR13*INTIAL CONDITIONS,TYPE=SOLUTIONData line to specify initial solution-dependent varables58 可以輸出狀態(tài)變量，在后處理中為可以輸出狀態(tài)變量，在后處理中為SDV1， SDV2等；等； 在一個分析中只有一個在一個分析中只有一個UMAT，如果有多處采用材，如果有多處采用材料模型，可以在料模型，可以在UMAT中利用材料名進行區(qū)分；中利用材料名進行區(qū)分；調用：調用：Abaqus jo

49、b=jobname, input=inputname, user=UMATname, intIF (CMNAME(1:4) .EQ. MAT1) THENCALL UMAT_MAT1(ARGUMENT_LIST)ELSE IF(CMNAME(1:4) ) .EQ. MAT2) THENCALL UMAT_MAT2(ARGUMENT_LIST)END IF59 SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD, 1 RPL,DDSDDT,DRPLDE,DRPLDT, 2 STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PRED

50、EF,DPRED,CMNAME, 3 NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT,PNEWDT, 4 CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC)C INCLUDE ABA_PARAM.INCC CHARACTER*8 CMNAME DIMENSION STRESS(NTENS),STATEV(NSTATV), 1 DDSDDE(NTENS,NTENS),DDSDDT(NTENS),DRPLDE(NTENS), 2 STRAN(NTENS),DSTRAN(NTENS),TIME(2),

51、PREDEF(1),DPRED(1), 3 PROPS(NPROPS),COORDS(3),DROT(3,3),DFGRD0(3,3),DFGRD1(3,3)UMAT子程序子程序60UMAT變量變量 增量步開始時的應力、應變和狀態(tài)變量增量步開始時的應力、應變和狀態(tài)變量SDVs； 在增量步開始和結束時的應變增量、旋轉增量和變在增量步開始和結束時的應變增量、旋轉增量和變形梯度；形梯度； 時間、溫度的增量值及用戶定義場變量；時間、溫度的增量值及用戶定義場變量； 材料常數、材料積分點位置、單元特征長度；材料常數、材料積分點位置、單元特征長度； 單元積分點、復合材料層的數量（殼和實體單元）；單元積分點、

52、復合材料層的數量（殼和實體單元）； 當前分析步和增量步。當前分析步和增量步。在在UMAT中必須定義和更新的量：中必須定義和更新的量：應力、狀態(tài)變量應力、狀態(tài)變量SDV和和Jacobian矩陣矩陣61UMAT中的約定中的約定應力和應變作為矢量儲存應力和應變作為矢量儲存對于平面應力：對于平面應力：對于廣義平面應變和軸對稱：對于廣義平面應變和軸對稱：三維單元：三維單元：儲存的剪應變?yōu)楣こ碳魬儯簝Υ娴募魬優(yōu)楣こ碳魬儯鹤冃翁荻茸冃翁荻?，總作為三維矩陣儲存，總作為三維矩陣儲存112212,11223312,112233121323,12122ijF62在在UMAT中可以調用中可以調用ABAQUS內

53、嵌的子程序：內嵌的子程序：SINV張量的第一和第二不變量；張量的第一和第二不變量；SPRINC張量的主值；張量的主值；SPRIND張量的主值和方向；張量的主值和方向；ROTSIG利用一個方向矩陣對一個張量進行利用一個方向矩陣對一個張量進行旋轉。旋轉。63 需要計算應變和旋轉的增量，旋轉增量比較大時，需要計算應變和旋轉的增量，旋轉增量比較大時，需要近似處理；需要近似處理； 在在UMAT中必須定義柯西應力，當應力再出現在下中必須定義柯西應力，當應力再出現在下一個增量步中時，應力會應用旋轉增量一個增量步中時，應力會應用旋轉增量DROT把應把應力旋轉后再傳遞到子程序中，如果不希望旋轉可力旋轉后再傳遞到

54、子程序中，如果不希望旋轉可以通過以通過ROTSIG子程序把應力旋轉回來；子程序把應力旋轉回來； 如果使用了如果使用了*ORIENTATION，注意應力和應變項，注意應力和應變項在局部坐標系中；在局部坐標系中；在寫在寫UMAT時需注意時需注意64 如果如果UMAT使用減縮積分單元或剪切柔性殼和梁使用減縮積分單元或剪切柔性殼和梁單元，必須使用單元，必須使用*HOURGLASS STIFFNESS和和*TRANSVERSE SHEAR STIFFNESS選項；選項； 新增量的開始，應變增量會在上一個增量步向外新增量的開始，應變增量會在上一個增量步向外插值得到，如果不希望向外插值，使用選項插值得到，如

55、果不希望向外插值，使用選項*STEP，MONOTONIC=NO； 如果應變增量比較大，在如果應變增量比較大，在UMAT中可以使用中可以使用PNEWDT減少試件增量步，減少試件增量步，PNEWDT*DTIME； 基于斷裂能的概念可以使用單元特征長度定義材基于斷裂能的概念可以使用單元特征長度定義材料的軟化行為。料的軟化行為。65SUBROUTINE VUMAT(1 NBLOCK,NDIR,NSHR,NSTATEV,NPROPS,LANNEAL,1 STEPTIME,TOTALTINE,DT,CMNAME,COORDMP,CHARLENGTH,1 PROPS,DENSITY,STRAININC,RELSPI