最新線性代數(shù)習(xí)題集含答案

1、精品文檔精品文檔【1】填空題(1)(2)(3)(4)(5)答案:【2】(1)A-3 ；(2)線性代數(shù)習(xí)題集（含答案）二階行列式二階行列式二階行列式三階行列式三階行列式l.ab(a-b)選擇題若行列式B-2 ; C2;若行列式A -1 , -.2 ;abcos：a bi2a2.1D3o-sin :cos：a bi- 23. a - b ；=0，=0,-、2 ;則x=則x=第一章3334. x y z -3xyz ； 5.4abc。()。()oC 1,_、2 ; D 2,_'、2 o1298 =()。3-23(3)三階行列式503 20152A -70 ； B -63 ；C70；D 82。

2、a00b0ab0（4）行列式=()。0ba0b00aAa4 -b4 ； B(a2-b22)；Cb4 _a4 ； Da4b4。010IH0002IH0（5） n階行列式+I-R+:+=()。000IHn -1n00IH0A0； Bn！； C：-1) n!；nd!D() n!答案：1.D ; 2.C; 3.A; 4.B ; 5.D?！?】證明by+az bz + ax bx+ayx y zbx+ay by+az bz+ax= (a3 +b3)z x ybz+ax bx+ay by+azy z x答案：提示利用行列式性質(zhì)將左邊行列式“拆項(xiàng)”成八個(gè)三階行列式之和，即得結(jié)果。【4】計(jì)算下列9級(jí)排列的逆序

3、數(shù)，從而確定他們的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）. （ 134782695）=10,此排列為偶排列。（2） （ 217986354）=18,此排列為偶排列。（3）. （ 987654321）=36，此排列為偶排列?！?】計(jì)算下列的逆序數(shù)：（1）135 （2n-1）246（2n）；（2）246 （2n）135 （2n-1 ）。1 1答案：（1） n（n-1）；（2） n （n+1）2 2【6】確定六階行列式中，下列各項(xiàng)的符號(hào)：a61 a52 a43a34 a25a16a15a23a32a44a51a66 ； ( 2)a21a53

4、a16a42 a65a34 ； ( 3)(1)正號(hào)；(2)負(fù)號(hào)。根據(jù)定義計(jì)算下列各行列式:(1)答案:【7】(1)(4)答案:(3)【8】(1)(4)答案:(4)【9】(1)0 ； (2)a11000a22a230a32a33a4100a1400a440000IHIII021 c(3)11I-bfFhfqiq0n-1IH00n0IH00(1) 5！ =120； (2)a11a4 _ a14a41比2%3 - a23a32 - a11a22a33a44 -3|1923332 94 _ a14a22a33a41 ' a14a22a33a41n(n 丄)(n 4)(n _2)(-1)n! ；

5、 (4) (-1)2 n!。計(jì)算下列行列式：13123 111111115 3 Y13111234；(2)；(3)04 1-1113 114916-513-611131827641 1 11abed2 , 22, 2 °abed3, 33, 3abed12FFn100III110III0 1 1川+4+0 00川0100 -136 ； (2) 48； (3) 12 ；(b-a ) (e-a ) (d-a) (e-b ) ( d-b ) (d-e ) 計(jì)算下列n階行列式:00； (2)+4+-I11111川1 2 2 |(1 2 3 IH+ 1P* 4P1 2 3 IH(3)1-1-1

6、20-2III川川(4)IH川川(5)答案:(4)答案:(2)-1-2-3IllIHIHIHIHIHn -2n 1(1)1 + (-1)n 12n+1 ; (5) ( -1 )n (n-1)2n為奇數(shù)n為偶數(shù)n + 1n-1n21；(3)n!a1_bla1 b2IIIa1 -bna2_bla? -b?illa2 - bna3_bl+a3-b?illa3 - bnan+_ban-b2IIIqan -bnaa+ ha +2hIII a +-aa0III0+a4a卜III+0H0h0III000III-a1a10川00-a2a2川00+0rI-a3川+01+0F0+0川4-anw111川1【10】計(jì)

7、算下列行列式:(1)(2)(3)aa(4)on=2 時(shí)，(1)0001(n _1)h00IIIIIIIIIIIIIII（n 階）；行列式等于（b2-bj（a2-a 1）； n>3,行列式為0；Aan (-1)n 1bn ； (3) 尹 1)(2a nh)an ；n(4) (_1)n(n -1)丨 aii 4【11】計(jì)算n+1階行列式:011a10+F+h+F101川10川0a?川0 4 4 40川an(aj 0 ； i=1 , 2,n)答案：n 1一da：a*(a=0;i =1,2川1, n).y a【12】解下列線性方程組:捲 +4x2 +6X3 +4x4 +5禺=0人 + x2 +

8、X3 + x4 = 5% +x2 +4x3 +6X4 +5x5 = 0 % +2x2 _x3 +4& = -2(1) <； ( 2) J 4為+x2 + x3+4x4+6X5 =0。2x1 3x? x3 一= 26% 十4% + x3 十 x4 + 4x5 = 0 3為 +x2 +2x3 +11& =04為 6x2 4x3 x4 x5 = 0答案：(1) x1 =1, x2 = 2, x3 = 3, x4 - -1 ；(2) x1 = x2 = X3 = X4 = X5 = 0.【13】計(jì)算n階行列式a +為aa川aaa + x2a川aD =aaa +X3IIIa于是Dn

9、 _a%x2川G+十IH+1(XnXn丄X1aJ【14】證明2cos 日10III012cos 日1III00 12cosIII0a a a 川 aDn =sin0 III 2cos -0 丨 111 2cos -由歸納假設(shè)，得Dnsin |jjn 1 vsin日Xa2a3a4a5a1X2a3a4a5D =a1a2X3a4a5a1a2a3X4a5a1a?xX1a2a3川a1X2a3 川可以得到a1a2X3川+1F+4Fa1a2a3 川【15】計(jì)算五階行列式【16】證明Xnain*: X -a-ii呂1+a 11川11七21川Dn= 111+a3 川111 III 1+an證明：略【17 .證明

10、dta/t) a21 (t) a31 (t)%(t) a22(t) a32(t)%(t) a23(t) a33(t)a n(t) a21(t) a31(t)a ,) a22(t) a32(t)a沁) a23(t) a33(t)an(t)an(t)an(t)盹%(t)a21(t)a' 22 (t)a23(t)+a21 (t)a22(t)a23(t)a31(t)a32(t)氐a'31 (t)a32(t)a'33 (t)答案與提示:提示將左邊行列式按定義寫(xiě)成和的形式，再由和函數(shù)乘積的微分公式即得右邊?！?8 .計(jì)算n階行列式:1si n12 sincp1III-n d./ft

11、sin申.1sin®22 sin(p 十2III-n二忻sin申 21bsin ®3F2 sin碼III-n A msin 申 31I1fsin®n2 sinIII4n二msin 申 ncosn“1ncos卅cos曙cos1 %fncos十2IIIcos ®2*n J. /f% cos甲 nncosnIII*cos ®n(1)(2)答案與提示:n(n d)（1） IT1勺氣空1(sin i -sin)=2 un (n-1)(2) (-1 ) 2n1勺7巴i2【19】.利用拉普拉斯定理計(jì)算下列行列式:110001xX2000X3a1b1111Ga

12、2b2X1X2X3C2a3b32X12X22X3G2x2X2000Xnana1 0III nJa1b1na2*na22*FIII nJa?b2fnan -1fan+bi +IIIan -frbi +(2)(3)b：n® =0,i =1,2ll,n 1)；1勺叩童ababa b(4)b abababa答案與提示：2 2 2(2)(X2-Xi)(X3-X2)(X3-X2)； (3) I (bjaj-aQ)1 ji豈卅(4) (a2-b2)nCOS。10IH002cos«1IH0(2)012cos«IH0000=cosm。0 0答案與提示：IH 1 2cos:a + P

13、aP0IH001a + PaP川00(1)0+1fba + Pfb川09b0<id+0P0P0IHr1a + P【20 .證明下列等式:n 1 _ “ 1 a - P(1)提示：將左邊行列式展開(kāi)可得遞推公式，由此遞推公式可得結(jié)論。(2)提示：用歸納法證?！?1】(01403)設(shè)行列式D=220 -7則第四行各元素余子式之和的值為(-2 2【22】(96503)五階行列式1 -a-1a1-a0a0000d =011-aa000-11-aa000-11-a第二章【1】填空題設(shè)A是三階方陣，A*是A的伴隨矩陣,1 *(3A) -2A =。A的行列式A =-1，則行列式【2】假設(shè)A=( aj )

14、是一個(gè)n階非零矩陣，且 A的元素aj(i，j=l，2,，n)均為實(shí)數(shù)。已知每一個(gè)元素aj都等于它自己的代數(shù)余子式，求證A的秩等于n，且當(dāng)n _3時(shí)A =1或-1?！?】判斷下列結(jié)論是否成立：若成立，則說(shuō)明理由；若不成立，則舉出反例。(1) 若矩陣A的行列式 A =0，則A=0；(2) 若 A E =0,貝U A=E(3) 若A, B為兩個(gè)n階矩陣，貝U A+B=|A+B ;(4) 若矩陣 A = 0, B = 0，貝U AB=0.【4】設(shè)A, B為n階方陣，問(wèn)下列等式在什么條件下成立?(1) (A B)2 二 A2 2AB B2 ；(2) (A B)(A _B) = A2 _B2;【5】計(jì)算A

15、B和AB-BA。已知31111(1)A=212 ,B=2-1.123J0-1101'a(2) A = cJcl_1aclba62-21_22-21答案：(1) AB = 610,AB -BA= 200812 一44-2(2) AB 二a2 b2 c22ac b22ac b2a2 +b2 十c2b ac- b - ab - cc - be-c2 -2a2ac-2bc beb2 2ac - a2 - 2c2 2+ b +c ab b cb - ac【6】計(jì)算下列矩陣乘積:(1)121 11-2r11(2) ( x, y, 1)'ab飛。du J答案：(1)【7】計(jì)算2012 ； (

16、 2) ax4sin°cos -：I|_-sin cos答案：提示：用數(shù)學(xué)歸納法可證cos :IL-sinsin0cos® 一 L2bxy cy2 2dx 2ey f。并利用所得結(jié)果求014IL-1 0cos ;：-sinsin : " cos n-sin ncos ;：sin ncosn®Ji時(shí),2cos 2 二si n2二 1sin2兀cos 2【8】已知A, B是n階對(duì)稱矩陣，證明 AB為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB=BA【9】已知A是一個(gè)n階對(duì)稱矩陣，B是一個(gè)n階反對(duì)稱矩陣，證明(1) A2，B2都是對(duì)稱矩陣；(2) AB-BA是對(duì)稱矩陣；(3)

17、 AB+BA是反對(duì)稱矩陣?！?0】求矩陣X，已知：一2111_230 1_1231(1)321+X -10_1=456101_i2-11 一-3-12 一(2)3_247Lx =6I1020131093 J精品文檔4答案:23 ；( 2)-2 2x 二 0一3110【11】已知矩陣A,求A的逆矩陣AJ ；a bI d.,其中ad-bc=1 ; (2)(3)答案:(1)(3)A-1-112-1一5-3A= _dcA=.512111-38【12】在下列矩陣方程中求矩陣X:(1)2 ；3心5(2)_12答案:【13】【14】(1)110J0-301311-3_222；(2) X =-16-11712

18、2 一-127-X =證明若一個(gè)對(duì)稱矩陣可逆，則它的矩陣也對(duì)稱。5 1213192 一假設(shè)方陣A滿足矩陣方程 A2 -2A 50，證明A可逆，并求 A*。精品文檔精品文檔答案：提示：由 A2-2A5E=0得 A 1(A-2E)二 E。5【15】填空題2-131 2(1) 設(shè)矩陣 A= 051 ，則(A_3E) (A _9E)=123_(2) 設(shè)A是3階數(shù)量矩陣，且 A =-27，則A，=(3) 設(shè)A是4階方陣，且 A =-2，則A的伴隨矩陣A*的行列式A* =-1答案：(1)311 ；6(2)131_3精品文檔(3) -8【16】選擇題(1)設(shè)A是n階方陣，且滿足等式A2 A-2E =0，貝U

19、 A的逆矩陣是(A)1(A-E) ；( D) EA)。(2)1A-E ;( B) E-A;(C)-2設(shè)A, B是n階可逆矩陣，則下列等式成立的是A、(AB)'(AB)'；B、(AB).1(AB)亠= (_1)n AB(3) 設(shè)A, B, C為n階方陣，且ABC=E則必成立的等式為A、ACB=E;B CBA=E;G BAC=E;D BCA=E(4) 設(shè)A, B為n階對(duì)稱矩陣，m為大于1的自然數(shù)，則必為對(duì)稱矩陣的是A、Am; B、(AB)m ; C AB;D、(A B)'。(5)設(shè)A, B, A+B, A+B，均為n階可逆矩陣，則(A+B )等于A、A+B；B A+B; C

20、、B(A B) JA ; D、(A B)。(1) C; (2) B; (3) D; (4) A; (5) C【17】求下列矩陣的秩1(1) 1J23-2410 1_25311743 1759453132759454134?5322048 _45 ; (3)2_47-6735201155(4)269823-29486。16-4281128452 一答案:(1) r (A) =2; (2) r (A) =2; (3)(A) =3; (4) r (A) =2;1101001_1-1210 1110002-24-20;(2)01100。306-110011003001 一01011 _11000010

21、000 10100001000(1);(2)00100001000001000000一-00001 一【18】求下列矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(1)答案:【19】假設(shè)方陣A滿足方程aA2 bA cE = 0，其中a，b, c是常數(shù)，而且Cm 0，試證A是滿秩方陣，并求出其逆矩陣?！?0】選擇題-1(1)設(shè)矩陣A= -3'.22368，且r (A) =2，則t等于-4 tA、-6 ; B、6; C 8; D t為任何實(shí)數(shù)。(2)設(shè)A是3階方陣，若A2 =0,F列等式必成立的是A、A=0; B、r (A) =2; C、A=0； D A 式 0(3)設(shè)A是mX n矩陣，且m<n則必有ata V o。

22、A、atao ； B、ata=o ； C、ata>o ； D、答案：(1) D;( 2) C；( 3) B。【21】求下列矩陣的逆矩陣:00(1) A =2J0 10 21 03 020；(2)0023A =3123-1002 0 0-193-414-23答案:(1) A；(3)2 10 03200-11134。2-123_2IL 3【22】假設(shè)B是n階可逆矩陣,C是m階可逆方陣。試證明分塊矩陣A=0 I是可逆方陣,并且用B,C表示分塊矩陣 A。答案：提示：由拉普拉斯展開(kāi)定理，得A、BLC H0，故A是可逆矩陣。由逆矩陣定義,=_00 1C【23】已知三階方陣 A=（ aj ）與任意三階

23、方陣 B之積可交換：AB=BA證明A是數(shù)量矩陣?！?4】設(shè)4階矩陣-010012134100100213B=000_1C=0021-0000 一1 10002 一且矩陣A滿足等式A（E -C，B）TCT =E A。其中E為4階單位矩陣，求矩陣 A。于是 A 二（C - B -E）t 4【25】(00403)設(shè)a =(1,0, 1 /，矩陣A =滋丁 , n為正整數(shù)，則det(aE An尸【26】(04404)10 -1 0 "設(shè)A= 100 , B=P*AP,其中P為三階可逆矩陣，則B2004 _2A2=。0 0 -1【27】(04404 )設(shè)A=(aj)3X3是實(shí)正交矩陣，且a11

24、=1，b=(1,0,0)T，則線性方程組 Ax=b得解是?！?8】(04104)(210 Ai設(shè)矩陣A = 1 2 0，矩陣B滿足ABA =2BA* +E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則| B = I。O 1丿【29】(00203)設(shè)r 1 0E為4階段單位矩陣，且B =（E + A）（E A）,貝卩（E+B）=-23A=0-4.0 0AB=0,則A和B得秩(【30】(94503)設(shè)A,B都是n階非零矩陣，且A.必須有一個(gè)等于零B.都小于nC.個(gè)小于n，個(gè)等于 n D.都等于n第三章【1】如果向量耳盤(pán),線性無(wú)關(guān)，而，as,線性相關(guān)，貝則可以由a, a2,.,a線 性表出，而且表示式唯

25、一?！?】設(shè)冃月2,.耳是n個(gè)n纟隹的線性無(wú)關(guān)向量，耳嚴(yán)病 k2a2knan,其中ki,k2,.kn全不為零。證明：3月2,.,0!，an卅中任意n個(gè)向量均線性無(wú)關(guān)?！?】(95508 )設(shè)三階矩陣A滿足=i：l(i =1, 2, 3),其中列向量：(1,2,2)T,->2 -(2,-2,1) Jj3 =(-2,1,2).試求矩陣 A.【4】(97306)設(shè)A為n階非奇異矩陣，:-r I0、A婕、:其中A*p =T . *A丿,Q =Tra a匕 b丿(1)計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ:為n維列向量，b為常數(shù)。記分塊矩陣是矩陣A的伴隨矩陣，I為n階單位矩陣。證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是 gtAg式

26、b.【5】(98104)設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù) k，使線性方程組 Akx二0有解向量：，且Ak=0 .證明：向量組,A，.，Ak7是線性無(wú)關(guān)的【6 】(01408 )設(shè):i i2,.in)T(i = 1,2,.,r, r ： n)是 n 維實(shí)向量，且:-1/- 2,./- r線性無(wú)關(guān).已知'=(b1,b2.,bn)T是線性方程組+*12X2+ .+1n Xn = 0,(§21 X1+22X2 + .+§2nXn = 01Jr 1X1+2X2 +.+rn Xn = 0的非零解向量.試判斷向量組：1,：2,.,齢，：得線性相關(guān)性?！?】(96408)設(shè)向量6, :

27、：2,., 是齊次線性方程組 AX =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量1不是方程組AX =0的解，即A 0 .試證明：向量組' J - :J - : 2,.J -線性無(wú)關(guān). 【8 】（04313 ）設(shè) 宀=（1,2,0）T , ： 2 = （1,很亠 2, _3: ）T ,: 3 = （-1, 一b - 2,很亠 2b）T , - =（1,3,-3）丁，試討論:,b為何值時(shí)，1. :不能由：'123線性表示；2. 1可以由1,2,3唯一地線性表示，并求出表示式。3. 1可以由1,2,3線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。答案與提示：1. 當(dāng)=0時(shí)，：不能由1,2,3線性表示。2. 當(dāng)

28、:0，且a=b時(shí)，：可以由 宀，：,唯一地線性表示。當(dāng)a =b = 0時(shí)1可以由：-1-2 3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為0 = 1 -一口！ + - + k。2 + ka3 .<a.丿la丿【9】（05290）確定常數(shù)，使向量組：= （1,1,_：i）T ,_：2 = （1,a,1）T, ： 3 = （a,1,1）T 可由向量 組 =（1,1,a）T, / =（-2,a,4）T3 =（-2,a,a）T線性表示，=1時(shí)向量組 宀乜飛不能 由向量組：匕，：/線性表示?！?0】（00303 ）設(shè)A為n階實(shí)矩陣.AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（I）: Ax =0和（U） : A

29、Ax = 0，必有（）。A. （U）的解是（I）的解，（I）的解也是（U）的解B. （U）的解是（I）的解， 但（I）的解不是（U）的解C. （I）的解不是（U）的解，（U）的解也不是（U）的解D. （I）的解是（U）的解，但 （U） 的解也不是（I）的解【11】（98407）已知下列非齊次線性方程組（I），（U）X1+ x2 2x4=-6,(I),4x1x2X3X4=1,3x1-X2-X3=3；x1+ mx2X3X4=-5,()nx?X3一 2x4=-11,X3一 2x4=1+1;（1）求解方程組(I)，用其導(dǎo)出組得基礎(chǔ)解系表示通解(2)當(dāng)方程組（U）中得參數(shù)m,n,t為何值時(shí)，方程組（I）

30、與（）同解。答案與提示:-21-41（1）方程組得通解為X二k（ k為任意常數(shù)）.I*爐0 1當(dāng)m =2, n =4,t =6時(shí)，方程組（I） （口）同解。X1X2X3=0【12】（99409 ）已知線性方程組ax1+bx2+cx3=02丄,2丄2小a 捲+b x2+c x3=0（1）a,b,c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組僅有零解？（2）a,b,c滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解。答案與提示：（1 ）當(dāng)a = b,b = c, c = 0時(shí)，D = 0，方程僅有零解捲=x2 = x3 = 0（2）下面分四種情況：1、當(dāng)：-二b=c時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，全部解為燈1,-1,

31、0)?。╧1為任意常數(shù)）2、當(dāng):二c = b時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，全部解為k2(1,T,0)T（k2為任意常數(shù)）3、當(dāng)b =c = a時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，全部解為k3(0,1 廠 1)T（k3為任意常數(shù)）4 、當(dāng)a=b=c 時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解， 全部解為k4(-1,1,0)Tk5(-1,0,1)T(k4, k5為任意常數(shù)).【13】（03313） 3B已知齊次線性方程組'(印 +b)x<i +a2x2 + a3x3 + +anxn=0.(a2b)x2a3x3'anxn = 0,+a2x2 +(a3 +b)x3+a“a2x2a3x3 - (anb)xn = 0,n

32、其中v ai =0,討論aa2,，an和b滿足何種關(guān)系時(shí),i 3（1） 方程組僅有零解；（2） 方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 答案與提示：n（1） 當(dāng)b=0且b二aj =0時(shí)，秩（A）二n方程組僅有零解 i 二當(dāng)b =0時(shí)，方程組有非零解，基礎(chǔ)解系為a =（1,1,1，1）T .【14】（96403） 3B 設(shè)r 111a1a2a3A =222a1aa29a3ann A.n -AVa1a2a311anX212 an1，X =X3a，B =1n4an<xn其中aj =aj（i = j;i, j =1,2，n）.則線性方程組 ATX二B的解是 X =（1,0，0）T

33、.【15】(02106, 02206) 3B 已知 4 階方陣(a1, a2, a3 ,a4), a1,a2, a3, a4 均為 4 維列向量,其中a2, a3, a4線性 無(wú)關(guān)， 印=2a2 - a3.如果a1 a2 a3 a4，求 線性方 程組方程組的通解為v1+ k-211i0x =k為任意實(shí)數(shù)【16】（04413）3B設(shè)線性方程組X1X2七3X4 =0,2x1x2x32x4=0,3x1(2' )x2(4)x34x4=1.已知(1,_1,1,_1)T是該方程組的一個(gè)解，試求(1 )方程組的全部解，并用對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(2)該方程組滿足X2 =x3的全部

34、解.答案與提示：(1) 方程組的全部解為 =(1,_1,1,1)T 匕(1,_3,1,0)丁 k2(1,_2,0,2)T (k1,k2為任意常數(shù))(2)X2 =X3時(shí)，方程組的全部解為=(2,1,1,-3)丁 飛(3,1,1,4)T(k1 為任意常數(shù))【17】討論向量組a1,a2,a3是否線性相關(guān)，印=(1,1,2 ) , a (1,2,3), a (1,2,6)【18】若A是一個(gè)m階可逆方陣，B是一個(gè)m n矩陣，貝V r (AB) =r(B)【19】假設(shè)A是m n矩陣，B是n m矩陣，且n<m,實(shí)證：AB= 0【20】選擇題 設(shè)向量組81,82,83線性無(wú)關(guān)，貝U下列向量組中，線性無(wú)關(guān)

35、的是(A)a182,8283,83 _ 81(B) a182,8283,8128283(C) 81 282,282 383,383 81(D) a1 a2 a3,2a1 -3a2 2283,38-| 5a2 -5a3【21】試將向量=(4,-1 )表成向量8尸(1,2)，82=(2,3)的線性組合答案：=一 14a汁982【22】判斷下列各向量組是否線性相關(guān)。(2) 81=( 1,2) ， 82=(3,2)；(3 ) 81=( 1,1,1) ， 82=( 1/1,0 ) ， 83=(1 ,0,0)；(5) 81=(3,1 H), 82=( 1,3,1,1)，83=(1 ,1,3,1)，8廠(1

36、,1,1,3) 答案：(2)線性無(wú)關(guān)。(3 )線性無(wú)關(guān)。(5)線性無(wú)關(guān)。【23】判斷下列結(jié)論是否正確：若向量組印忌忌心線性性相關(guān)，貝【J向量組a1,a2,.,ar線性相關(guān)。(2) 若向量組ai,a2,as線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量都可表示為其它向量的線性組合。 若向量一：可以被向量a1, a2,.,as線性表出： = k1a1 k2a2 . ksas，則表示式唯一。(4)若向量組a1,a2,.,ar,.,as存在s個(gè)全為零的數(shù)k1, k2, ., ks,使k1a1 k2a2 . ksas= 0,則a1,a2,.,as線性無(wú)關(guān)。答案：(1)否(2)否(3)否(4)否【24】證明：若向量組!=(41

37、,3(2,a2=(a21,&2，,a2n)'，為=(為，為2,amn)線性相關(guān)則去掉每個(gè)向量的后個(gè)分量1<n)后，得到的個(gè)n-r維向量: a1 =(311,312，,a1), a2 (321,a22,.,a2i)，,am =(3n1,am2,am)也線性相關(guān)?！?5】右向量a1, a2,氏線性無(wú)關(guān)，且-1=3i+ a2, -2=-a1+3a2, -3=2a1-彳,證明-1, -2, -3 線性無(wú)關(guān)?！?6】；n等價(jià)，證明:a1,設(shè)n維向量組a1, a2,，an與n維單位向量組M, ；2, a2, ., an線性無(wú)關(guān)。答案：提示：a1, a2, ., an與i, ；2,，巾

38、有相同的秩n【27】用消元法求下列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組：(1) q=(1,2,-3,-1), a2=(2,3,1,3), a3=(-1,-2,4,-5),a4=(2,3,2,-3)(2) a1=(1,1,1,4,-3),a2 =(2,135,-5),a3=(1,-1,3,-2,-1),a4=(3,1,5,7,-7) 答案：(1)向量印，a2,爲(wèi)是及大線性無(wú)關(guān)組;(2)向量ar, a2是及大線性無(wú)關(guān)組;【28】設(shè)A =( aj )為門(mén)階方陣，試證行列式A = 0的充分必要條件是A的某一行是其余行 的線性組合?！?9】若A是一個(gè)m階可逆方陣，B是一個(gè)m n矩陣，貝V r (AB) =r(B)

39、X1x2【30】設(shè)A是n階方陣，如果對(duì)于任一 n維列向量X=x= 都有AX=0,證明A=0bbA 一【31】選擇題設(shè)a1,a2,a3是四元非齊次線性方程組AX=B的三個(gè)解向量，且秩（A）=3，印=（1,2,3, 4）丁包 a（0,1,2,3）T,c表示任意常數(shù)，則線性方程組AX =B的通解X等于A(1,2,3,4)T c(1,1,1,1);C.(1,2,3,4)t c(2,3,4,5)t;B.(1,2,3,4) c(0,1,2,3)t;D.(1,2,3,4)c(3,4,5,6)t;【32】選擇題設(shè)A為n階實(shí)距矩陣,AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（1）, ax=0和（n）； atax=o,

40、必有a （n）的解是（i）的解， （i）的解也是（n）的解；b （n）的解是（i）的解，但（i）的解不是（n）的解；c （i ）的解不是（n）的解， （n）的解也不是（i）的解;d （i）的解是（n）的解，但（n）的解不是（i）的解；【33】用消元法解下列線性方程組2x2x2 _x3 =612x2 4x3 =35x1 7x2 x3 = 28答 Xr 1, x 3.X3 2.X1x 2x3 3x-12咅 +3x2 +5% +2x4 = -33x) X2 X3 2x4 = 43為 +5x2 +2x3 2& = TO答X1 - -1,X2 - -1,X3 =0, X4 =1【34】，取什么值

41、時(shí)，線性方程組| . X x2 x3 =1 捲 一 / X2 X3 L 'X-IX2 -，.，x3有唯一解，無(wú)解，在有解的情況下，求出其解答：當(dāng).=1時(shí)，且.一2,方程組有唯一解:1x2 二2X3( 1)2當(dāng)，=1時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，x<i = 1 - k, x2 =匕,x3 = k2其中匕,k2為任意常數(shù)方程組無(wú)解【35】求下列齊求次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 3x2 2x3 = 0X1 5x2 X3 = 03 為 5x2 8X3 = 0 答 a=(7,-1,-2)'.【36】X x23x3=0«3為x2 +3x3 +4% =0“ +5x2 -9x3 +8X

42、4 =0答q =(3,3,2,0)', a? =(-3,7,0,4)'.【37】求下列非齊次線性方程組的一個(gè)特解，及對(duì)應(yīng)齊次方程組(導(dǎo)出組)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,并寫(xiě)出一般解X _2x2 +3x3 _4x4 =4X2 _X3 +X4 = -3論 +3x2-3x =1i_7x2 *3x3 +x4 = -3答 =0 ka =(-8,3,6,0) ' k(0,1,2,1)'。第四章【1】求下列矩陣的特征值與特征向量，判斷它們是否與對(duì)角矩陣相似，如相似則將其化為對(duì)角矩陣-460 1_3-1 1 1(1)A =-50;A =201-3-61 -11-12_刁1'-1-1 0 1100 1答: A1,P" =-1-21,PAP=010_2_1 1120 一-00-2【2】如果矩陣A可逆，試證AB BA勺特征值相同。【3】證明矩陣A與它的專置矩陣A'的特征值相同。【4】設(shè)1,2是矩陣A的兩個(gè)不同特征值，ai,a2是分別屬于1,工的特征向量。試證：ai a2不是A的特征向量。【5】求正交矩陣T,使T?AT為對(duì)角形矩陣。-2-201(1) A=-21-2 ；0