立體幾何之外接球練習(xí)題(二) 菁優(yōu)網(wǎng)

1、立體幾何之外接球練習(xí)題（二）一選擇題（共23小題）1（2014陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為（）AB4C2D2（2012黑龍江）平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（）AB4C4D63（2006安徽）表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）ABCD4（2006四川）如圖，正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，如果，則求O的表面積為（）A4B8C12D165（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角

2、BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）ABCD6（2004遼寧）設(shè)A、B、C、D是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（）ABCD7已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）ABC4D8如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）ABCD9（2014烏魯木齊三模）點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面體ABCD

3、體積的最大值為，則該球的表面積為（）AB8C9D1210（2014興安盟一模）在三棱椎A(chǔ)BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，ABC，ACD，ADB的面積分別為，則該三棱椎外接球的表面積為（）A2B6CD2411（2014河南模擬）四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A25B45C50D10012（2014遼寧二模）設(shè)A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且滿足ABAC、ADAC、ABAD，則SABC+SABD+SACD的最大值為（）A4B8C12D1613（2014梧州模擬）四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)面SA

4、B是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面SAB底面ABCD，若AB=2，則此四棱錐的外接球的表面積為（）A14B18C20D2414（2014河池一模）如圖，在三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNAM，若AB=2，則此正三棱錐外接球的體積是（）A12B4CD1215（2014唐山三模）三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，SA是球的直徑，ACAB，BC=SB=SC=2，則該球的表面積為（）A4B6C9D1216（2014河南模擬）已知正三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，則球O的表面積為（）A25BCD2017（2014懷化一模）

5、圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是（）AcmB2cmC3cmD4cm18（2014四川模擬）三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）ABC3D1219（2014貴陽模擬）已知四棱錐VABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD為矩形，ACBD=G，VG平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，則該球的體積為（）A36B9C12D420（2011廣州一模）如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一

6、個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為（）A4B2CD21棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些球的最大半徑為（）ABCD22點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）AB8CD23在球O的表面上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，且，ABC的外接圓半徑為2，那么這個(gè)球的表面積為（）A48B36C24D12二填空題（共7小題）24（2008浙江）如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于_25（

7、2008海南）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為_26（2003北京）如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=_27已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_28三棱錐PABC的各頂點(diǎn)都在一半徑為R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面ABC中ABC=60°，則球與三棱錐的體積之比是_29將4個(gè)半徑都是R的球體完全裝入底面半徑是2R的圓柱形桶中，則桶的最

8、小高度是_30已知圓O1，O2，O3為球O的三個(gè)小圓，其半徑分別為，若三個(gè)小圓所在的平面兩兩垂直且公共點(diǎn)P在球面上，則球的表面積為_立體幾何之外接球練習(xí)題（二）參考答案與試題解析一選擇題（共23小題）1（2014陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為（）AB4C2D考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：由長方體的對(duì)角線公式，算出正四棱柱體對(duì)角線的長，從而得到球直徑長，得球半徑R=1，最后根據(jù)球的體積公式，可算出此球的體積解答：解：正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，正四棱柱體對(duì)角線的長為=2又正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上

9、，正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為V=R3=故選：D點(diǎn)評(píng)：本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，求該球的體積，考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對(duì)角線公式和球的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題2（2012黑龍江）平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（）AB4C4D6考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題分析：利用平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積解答：解：因?yàn)槠矫娼厍騉的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，所以球的半徑為：=所以球的體積為：=4故選B

10、點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計(jì)算能力3（2006安徽）表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）ABCD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；綜合題分析：設(shè)出正八面體的邊長，利用表面積，求出邊長，然后求球的直徑，再求體積解答：解：此正八面體是每個(gè)面的邊長均為a的正三角形，所以由知，a=1，則此球的直徑為，球的體積為故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，正八面體的外接球的體積，是中檔題4（2006四川）如圖，正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，如果，則求O的表面積為（）A4B8C12

11、D16考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；綜合題分析：由題意可知，PO平面ABCD，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積解答：解：如圖，正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，PO底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，所以，R=2，球O的表面積是16，故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題5（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）ABCD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算

12、題分析：球心到球面各點(diǎn)的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了解答：解：由題意知，球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對(duì)角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，則V球=×（）3=故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的思維意識(shí)，對(duì)球的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題6（2004遼寧）設(shè)A、B、C、D是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（）ABCD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；綜合題分析：設(shè)出球的半徑，球心到該平面的距離是球半徑的一半，結(jié)合ABCD的對(duì)角線的一般，滿足勾股定理，求出R即可求球的體積解答：解

13、：設(shè)球的半徑為R，由題意可得R=球的體積是：=故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題7已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）ABC4D考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題分析：由AB=BC=CA=2，求得ABC的外接圓半徑為r，再由R2（R）2=，求得球的半徑，再用面積求解解答：解：因?yàn)锳B=BC=CA=2，所以ABC的外接圓半徑為r=設(shè)球半徑為R，則R2（R）2=，所以R2=S=4R2=故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球的球面面積，涉及到截面圓圓心與球心的連垂直于截面，這是求得相關(guān)量的關(guān)鍵8如圖，

14、有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）ABCD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，可得圓心M為正方體上底面正方形的中心設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R的方程并解出R=5，用球的體積公式即可算出該球的體積解答：解：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心如圖設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等

15、于（R2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=（R2）2+42，解出R=5，根據(jù)球的體積公式，該球的體積V=故選A點(diǎn)評(píng)：本題給出球與正方體相切的問題，求球的體積，著重考查了正方體的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題9（2014烏魯木齊三模）點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為（）AB8C9D12考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；球分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積解答：解：根據(jù)題意知，ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1其所在球的小圓的

16、圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積SABC不變，高最大時(shí)體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為×SABC×DQ=，SABC=ACBQ=即××DQ=，DQ=2，如圖設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2R）2，R=則這個(gè)球的表面積為：S=4（）2=9；故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵10（2014興安盟一模）在三棱椎A(chǔ)BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，ABC，

17、ACD，ADB的面積分別為，則該三棱椎外接球的表面積為（）A2B6CD24考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉(zhuǎn)化為對(duì)角線長，即可求三棱錐外接球的表面積解答：解：三棱錐ABCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長方體的對(duì)角線就是球的直徑，側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，ABC、ACD、ADB 的面積分別為、，ABAC=，ADAC=，ABAD=AB=，AC=1，AD=球的直徑為：=半徑為三棱錐外接球的

18、表面積為4×=6故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐外接球的表面積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個(gè)，以及長方體的對(duì)角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在11（2014河南模擬）四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A25B45C50D100考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：將四面體補(bǔ)成長方體，通過求解長方體的對(duì)角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積解答：解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長

19、、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，則有（2R）2=x2+y2+z2=50（R為球的半徑），得R2=，所以球的表面積為S=4R2=50故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補(bǔ)法的應(yīng)用，判斷外接球的直徑是長方體的對(duì)角線的長是解題的關(guān)鍵之一12（2014遼寧二模）設(shè)A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且滿足ABAC、ADAC、ABAD，則SABC+SABD+SACD的最大值為（）A4B8C12D16考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：球分析：三棱錐ABCD是長方體的三個(gè)面，擴(kuò)

20、展為長方體，它的對(duì)角線就是球的直徑，設(shè)出AB=a，AC=b，AD=c，求出三個(gè)三角形面積的和，利用直徑等于長方體的對(duì)角線的關(guān)系，以及基本不等式，求出面積最大值解答：解：設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，因?yàn)锳B，AC，AD兩兩互相垂直所以a2+b2+c2=4×22SABC+SACD+SADB=（ab+ac+bc）（a2+b2+c2）=8即最大值8故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體問題，考查基本不等式，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題13（2014梧州模擬）四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面SAB底面ABCD，若AB=2，則此四棱錐

21、的外接球的表面積為（）A14B18C20D24考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：利用側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面SAB底面ABCD，設(shè)ACBD=O，取AB中點(diǎn)E，可得O為球心，球的半徑，即可求出四棱錐SABCD的外接球表面積解答：解：側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且側(cè)面SAB底面ABCD，設(shè)ACBD=O，取AB中點(diǎn)E，有OE=SE=AB，OS=AB，O為球心，球的半徑為四棱錐SABCD的外接球表面積為4×（）2=24故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐SABCD的外接球表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定四棱錐SABCD的外

22、接球的半徑是關(guān)鍵14（2014河池一模）如圖，在三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNAM，若AB=2，則此正三棱錐外接球的體積是（）A12B4CD12考點(diǎn)：球的體積和表面積；直線與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：球分析：由題意推出MN平面SAC，即SB平面SAC，ASB=BSC=ASC=90°，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積解答：解：三棱錐SABC正棱錐，SBAC（對(duì)棱互相垂直）MNAC又MNAM而AMAC=A，MN平面SAC即SB平面SACASB=BSC=ASC=90°，將此三棱錐補(bǔ)

23、成正方體，則它們有相同的外接球側(cè)棱長為：2，R=，正三棱錐外接球的體積是=故選：B點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力，三棱錐擴(kuò)展為正方體，它的對(duì)角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵15（2014唐山三模）三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，SA是球的直徑，ACAB，BC=SB=SC=2，則該球的表面積為（）A4B6C9D12考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：由題意，SA是球的直徑，可得SCAC，SBBA，利用ACAB，BC=SB=SC=2，可得AC=，AC=，即可求出SA，從而可求球的表面積解答：解：由題意，SA是球的直徑

24、，SCAC，SBBA，ACAB，BC=SB=SC=2，AC=，AC=SA2=6，SA=，球的半徑為，球的表面積為4=6，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定SA是關(guān)鍵16（2014河南模擬）已知正三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，則球O的表面積為（）A25BCD20考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：先確定底面三角形外接圓的半徑，進(jìn)而求得正三棱錐的高，再利用勾股定理，求得外接球的半徑，即可求得外接球的表面積解答：解：設(shè)P在平面ABC中的射影為D，則AB=BC=CA=2，AD=×

25、5;2=2，PA=2，PD=4，設(shè)外接球的半徑為R，則R2=22+（4R）2，R=，外接球的表面積為4R2=25，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查正三棱錐的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用正三棱錐的性質(zhì)是關(guān)鍵17（2014懷化一模）圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是（）AcmB2cmC3cmD4cm考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：球分析：設(shè)出球的半徑，三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可解答：解：設(shè)球半徑為r，則由3V球+V水=V柱可得3×r3+r2

26、5;6=r2×6r，解得r=3故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題18（2014四川模擬）三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）ABC3D12考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；球分析：根據(jù)題意，三棱錐SABC擴(kuò)展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，求出正方體的對(duì)角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐SABC的外接球的表面積解答：解：三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴(kuò)展為正方體

27、的外接球，外接球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長度，球的半徑R=球的表面積為：4R2=4=3故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐SABC的外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐SABC的外接球的球心與半徑19（2014貴陽模擬）已知四棱錐VABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD為矩形，ACBD=G，VG平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，則該球的體積為（）A36B9C12D4考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：分析可知，VAC所在的圓為球的大圓，從而知要解VAC；從而得到體積解答：解：底面ABCD為矩形，AB=，AD=3，AC=由ACBD=G，VG平面ABCD

28、知，VAC所在的圓為球的大圓，且在VAC中，由AC=，VG=，VG平面ABCD知，VA=VC=，AC2=VA2+VC2，則VAC為直角三角形，則球的半徑R=則該球的體積為V=4故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的空間想象能力，難點(diǎn)在于找到球的半徑與四棱錐之間的量的關(guān)系屬于中檔題20（2011廣州一模）如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為（）A4B2CD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形NMD，P為斜邊MN的

29、中點(diǎn)，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分解答：解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得不論MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的球面積 所以答案為，故選D點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計(jì)算公式21棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些球的最大半徑為（）ABCD考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想

30、分析：棱長為的正四面體內(nèi)切一球，那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切，即球心到四個(gè)面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個(gè)小球，求出這球的最大半徑解答：解：由題意，此時(shí)的球與正四面體相切，由于棱長為的正四面體，故四個(gè)面的面積都是=3又頂點(diǎn)A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的倍，又高為=3，故底面中心G到底面頂點(diǎn)的距離都是2由此知頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是=2此正四面體的體積是×2×3=2，又此正四面體的體積是×r×3×4，故有r=上面的三棱錐的高為，原正四面體的

31、高為2，所以空隙處放入一個(gè)小球，則這球的最大半徑為a，a=故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積和表面積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵22點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面體ABCD的體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）AB8CD考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積解答：解：根據(jù)題意知，ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，若

32、四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積SABC不變，高最大時(shí)體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為SABC×DQ=，即×1×DQ=，DQ=2，如圖設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2R）2，R=則這個(gè)球的表面積為：S=4（）2=；故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵23在球O的表面上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，且，ABC的外接圓半徑為2，那么這個(gè)球的表面積為（）A48B36C24D12考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

33、專題：計(jì)算題分析：根據(jù)，OA=OB=OC，可得四面體OABC為正四面體，利用ABC的外接圓半徑為2，確定球的半徑，進(jìn)而可求球的表面積解答：解：由題意，OA=OB=OC四面體OABC為正四面體設(shè)球的半徑為r，則正四面體的棱長為rABC的外接圓半徑為2，r=球的表面積為故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查球的表面積，考查正四面體的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑二填空題（共7小題）24（2008浙江）如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題分析：說明CDB是直角三角形，ACD是直角三角形，球的

34、直徑就是CD，求出CD，即可求出球的體積解答：解：ABBC，ABC的外接圓的直徑為AC，AC=，由DA面ABC得DAAC，DABC，CDB是直角三角形，ACD是直角三角形，CD為球的直徑，CD=3，球的半徑R=，V球=R3=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體，說明三角形是直角三角形，推出CD是球的直徑，是本題的突破口，解題的重點(diǎn)所在，考查分析問題解決問題的能力25（2008海南）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為考點(diǎn)：球的體積和表面積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；綜合題；壓

35、軸題分析：先求正六棱柱的體對(duì)角線，就是外接球的直徑，然后求出球的體積解答：解：正六邊形周長為3，得邊長為，故其主對(duì)角線為1，從而球的直徑，R=1，球的體積故答案為：點(diǎn)評(píng)：正六棱柱及球的相關(guān)知識(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)：空間想象能力不強(qiáng)，找不出球的直徑空間想象能力是立體幾何中的一個(gè)重要能力之一，平時(shí)要加強(qiáng)培養(yǎng)26（2003北京）如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；綜合題分析：先求半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，等于升高的水的體積，可得結(jié)論解答：解：半徑為r的實(shí)心鐵球的體積是：升高的水的體積是：R2r所以

36、：故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題27已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3，則球O的表面積等于16考點(diǎn)：球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題分析：由題意求出圓M的半徑，設(shè)出球的半徑，二者與OM構(gòu)成直角三角形，求出球的半徑，然后可求球的表面積解答：解：圓M的面積為3，圓M的半徑r=，設(shè)球的半徑為R，由圖可知，R2=R2+3，R2=3，R2=4S球=4R2=16故答案為：16點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的體積、表面積的計(jì)算，理解并能夠應(yīng)用小圓的半徑、球的半徑、以及球心與圓心的連線的關(guān)系，是本題的突破口，解題重點(diǎn)所在，仔細(xì)體會(huì)28三棱錐PABC的各頂點(diǎn)都在一半徑為R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面ABC中ABC=60°，則球與三棱錐的體積之比是考點(diǎn)：球