全等三角形(常見(jiàn)輔助線)用

1、2021/8/141專(zhuān)題學(xué)習(xí)專(zhuān)題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見(jiàn)的幾何證明中常見(jiàn)的 “添輔助線添輔助線”方法方法 -“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化2021/8/142連結(jié)連結(jié)目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)存在兩個(gè)點(diǎn)A A和和B B語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)ABAB注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法2021/8/143連結(jié)連結(jié)典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結(jié)連結(jié)

2、ACAC構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形2. 2.連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形2021/8/144連結(jié)連結(jié)典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M是是CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .ACBD連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形EM2021/8/145連結(jié)連結(jié)典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結(jié)連結(jié)ADAD構(gòu)造全

3、等三角形構(gòu)造全等三角形NM2021/8/146連結(jié)連結(jié)典例典例4: 4:如圖如圖,AB,AB與與CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的長(zhǎng)的長(zhǎng). .ACBD連結(jié)連結(jié)BDBD構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形O2021/8/147目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)存在一個(gè)點(diǎn)A A和和一條線一條線MNMN語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作作AHAHMNMN注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明

4、過(guò)程中描述添法角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段2021/8/148角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例1: 1:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE2021/8/149角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例2: 2:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C

5、 =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D D作作DEABDEAB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : (1) (1)若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ? (2) (2)能否用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在能否用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？2021/8/1410角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例3: 3:如圖如圖, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D

6、 =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E E作作EFBCEFBC構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: :1. 1.有沒(méi)有其他輔助線的做法有沒(méi)有其他輔助線的做法 2. 2.你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?E2021/8/1411.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求證求證:

7、 PD=PE.: PD=PE.ACD過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF 思考思考: : 你從本題中還能得到哪些結(jié)論你從本題中還能得到哪些結(jié)論? ?EPGO2021/8/1412目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MNMN 和和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X X 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)X XM M和和X XN N注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添

8、法在證明過(guò)程中描述添法.垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段2021/8/1413如圖：如圖：PD、PE分別垂直平分線段分別垂直平分線段 AB、BC，則則PA_PCABCPDE2021/8/1414問(wèn)題問(wèn)題1:1:在某一鄉(xiāng)村公路在某一鄉(xiāng)村公路L L的同側(cè)，有兩個(gè)村莊的同側(cè)，有兩個(gè)村莊A A、B B，為，為了便于兩個(gè)村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃在公路邊上修建了便于兩個(gè)村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得它到一所醫(yī)院，使得它到兩村莊的距離相等兩村莊的距離相等，試問(wèn)醫(yī)院的院，試問(wèn)醫(yī)院的院址址P P應(yīng)選在何處？應(yīng)選在何處？LABCDP聯(lián)系生活聯(lián)系生活2021/8/1415問(wèn)

9、題問(wèn)題2:有三個(gè)村莊有三個(gè)村莊A、B、C，為了便于三個(gè)村莊的人，為了便于三個(gè)村莊的人看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃修建一所醫(yī)院，使得它到看病，鄉(xiāng)政府計(jì)劃修建一所醫(yī)院，使得它到三個(gè)村莊三個(gè)村莊的距離相等的距離相等，試問(wèn)醫(yī)院的院址，試問(wèn)醫(yī)院的院址P應(yīng)選在何處？應(yīng)選在何處？ABCP想一想，想一想，P點(diǎn)與點(diǎn)與BC有有怎樣的關(guān)系？怎樣的關(guān)系？DEFG三角形三條邊的中垂三角形三條邊的中垂線是交于一點(diǎn)的，這線是交于一點(diǎn)的，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等相等2021/8/1416目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜邊相等斜邊相等適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段

10、MNMN 和和垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)垂直平分線上一個(gè)點(diǎn)X X 語(yǔ)言描述語(yǔ)言描述: :連結(jié)連結(jié)X XM M和和X XN N注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過(guò)程中描述添法在證明過(guò)程中描述添法.中線延長(zhǎng)一倍中線延長(zhǎng)一倍2021/8/14171. 1.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，.中線延長(zhǎng)一倍中線延長(zhǎng)一倍ABCDE)(21ACABAD求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=AEDE=AE，連結(jié)連結(jié)CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范圍？的取值范圍？2021/8/1418m = 42

11、.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長(zhǎng)截長(zhǎng)F在在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得使得CF=CD，連接，連接DF補(bǔ)短補(bǔ)短2021/8/1419A1BCD234如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D，交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF截長(zhǎng)補(bǔ)短2021/8/1420例1 如圖，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E.求證

12、：AB+BE=ACABCDFEG截長(zhǎng)補(bǔ)短法截長(zhǎng)補(bǔ)短法2021/8/1421旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。 . 例3如圖所示，已知點(diǎn) 、 分別在正方形 的邊 與 上，并且 AF平分 EAD ，求證： BEDFAEABCDEFG2021/8/142245E A F B D A C F E如圖，已知在正方形中，在上，在上，求證： 2021/8/1423B A C A B C E D N M如圖，ABC中，是邊上的中點(diǎn)，于，交 的平分線于，過(guò)作于，作于求證：2021/8/14241

13、. 1.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,則則DBEDBE的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?.“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)”BACDEBE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AC=BE+AE=AB2021/8/14252. 2.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, ,E E在在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若BC=6cm,

14、BC=6cm,求求ADEADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC2021/8/14263. 3.如圖如圖,A,A、A A1關(guān)于關(guān)于OMOM對(duì)稱對(duì)稱, A, A、A A2關(guān)于關(guān)于ONON對(duì)稱對(duì)稱. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”BACOMAB+AC+BC=A=A1 B+ A A2 C+BC=A=A1 A A2A1A2N2021/8/14274. 4.如圖如圖, ,

15、ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分線的垂直平分線. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”BACMAB+BC+AC=AB+ BM+MC+6N=AB+ BM+AM+6=13+62021/8/14285. 5.如圖如圖, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分線，的角平分線，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求ABCABC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問(wèn)題周長(zhǎng)問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)”BACPAB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6N=AM+ MP+AN+NP+6=13+6M=AM+AN+MN+62021/8/1429線段與角求相等，先找全等試試看線段與角求相等，先找全等試試