《幾何概型》教學(xué)設(shè)計

1、幾何概型的教學(xué)設(shè)計              教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（人教版）必修3第3章概率第3節(jié)內(nèi)容.教材的地位與作用概率的初步知識在初中已經(jīng)介紹，在選修模塊的系列2中還將繼續(xù)學(xué)習(xí)概率的其他內(nèi)容，因此，本章在高中階段概率的學(xué)習(xí)中，起了承前啟后的作用.本章的核心是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律，讓學(xué)生初步形成用科學(xué)的態(tài)度、辯證的思想、隨機(jī)的觀念去觀察、分析研究客觀世界的態(tài)度，并獲取認(rèn)識世界的初步知識和科學(xué)方法.本小節(jié)是在學(xué)生

2、已經(jīng)掌握一般性的隨機(jī)事件即概率的統(tǒng)計定義的基礎(chǔ)上，繼古典概型后對另一常見概型的學(xué)習(xí)，這對全面系統(tǒng)地掌握概率知識，對于學(xué)生辯證思想的進(jìn)一步形成具有促進(jìn)的作用.三維目標(biāo)知識與技能了解幾何概型的意義，會求簡單的幾何概型事件的概率.過程與方法通過學(xué)習(xí)運(yùn)用幾何概型的過程，初步體會幾何概型的含義，體驗幾何概型與古典概型的聯(lián)系與區(qū)別.情感、態(tài)度與價值觀通過對幾何概型的教學(xué)，幫助學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀和辯證的思想，養(yǎng)成合作交流的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)幾何概型的基本特點(diǎn)及“測度”的尋找.教學(xué)難點(diǎn)從實際背景中找測度.課時安排    1課時教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問題情境一：取一

3、根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？（教師演示繩子）問題情境二：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)？從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶星是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會的比賽靶面直徑為，靶心直徑為.運(yùn)動員在外射箭.假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？（播放flash動畫）設(shè)置意圖：這兩個問題都來自于日常生活中，特別是當(dāng)?shù)诙€問題提出時，學(xué)生們會躍躍欲試.根據(jù)心理學(xué)，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學(xué)生自覺不自覺地參與了情境中的角色，這樣他們的學(xué)習(xí)積極性和思維活動就會被極大的調(diào)動起來.二、師生互動，意義建構(gòu)經(jīng)過分析，

4、在這兩個問題中，基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型的“等可能性”，但是顯然不能用古典概型的方法求解.通過學(xué)生的討論，解決以上兩個問題并不困難，解決之后，教師向?qū)W生介紹“測度”這一新名詞（不必深究）.學(xué)生只需要知道第一個問題中的測度是指（線段的）長度，第二個問題中的測度是指（圓的）面積.教師提問：由以上兩個問題，你覺得此類問題與古典概型相比有何特點(diǎn)？如何求此類問題的概率？讓學(xué)生分組討論，教師適當(dāng)點(diǎn)撥.引出幾何概型的概念、基本特點(diǎn)、概率計算公式，之后要加以說明，以便學(xué)生理解與記憶.幫助學(xué)生弄清其形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延.幾何概型的概念及概率計算公式對于一個隨機(jī)試驗，如果我們將每個基本事件理

5、解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地抽取一點(diǎn)，而該區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).這樣就可以把隨機(jī)事件與幾何區(qū)域聯(lián)系在一起.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗，稱為幾何概型（geometric probability model）.一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率.說明以下兩點(diǎn)：（1）的測度不為；（2）區(qū)域為“開區(qū)域”，不包含邊界點(diǎn).接著教師提問：（1）當(dāng)d內(nèi)只有一個點(diǎn)時，d的測度是    &

6、#160;？（2）當(dāng)D分別是線段、平面圖形時，相應(yīng)的測度分別是長度、面積，那么，當(dāng)D是立體圖形時，測度應(yīng)該是什么呢？（3）完成下表 古典概型幾何概型所有的基本事件（是否有限）  每個基本事件的發(fā)生（是否等可能）  每個基本事件的發(fā)生的概率  概率的計算公式  設(shè)置意圖：設(shè)置表格是讓學(xué)生明確幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步理解與掌握幾何概型.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用（一）例題教學(xué)例1  取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率.分析 

7、0;由于是隨機(jī)丟豆子，故可認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會都是均等的（符合幾何概型），于是豆子落入圓中的概率應(yīng)等于圓面積與正方形面積的比.解  記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，則答  豆子落入圓內(nèi)的概率為.拓展引申  向正方形內(nèi)撒n顆豆子，其中落在圓內(nèi)的豆子數(shù)為m，你會估算的值嗎？（在課堂上師生共同推導(dǎo)出“”，然后則由教師給出網(wǎng)址：點(diǎn)評  解題時先判斷是否符合幾何概型的條件，再找出測度，本題中的測度是面積.例2  在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，含有麥銹病種子的概

8、率是多少？分析  病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機(jī)的（符合幾何概型），取得10mL種子可視作區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域D.解  取出10mL麥種，其中“含有麥銹病種子”這一事件記為A，則答  含有麥銹病種子的概率是.點(diǎn)評  經(jīng)過分析本題符合幾何概型的條件，測度是體積，注意書寫的規(guī)范性.例3  在等腰直角三角形中中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求小于的概率.分析  點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上（符合幾何概型），故線段AB為區(qū)域D.當(dāng)點(diǎn)M位于右下圖中線段內(nèi)時，故線段即為區(qū)域.解&

9、#160; 在上截取于是.答  小于的概率為.變式  在等腰直角三角形中中，過直角頂點(diǎn)C在內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求小于的概率.解析  由題意，射線CM在內(nèi)等可能分布的（符合幾何概型），在AB上取，則，故滿足條件的概率為.點(diǎn)評  例3也符合幾何概型，測度是線段的長度，變式的難道稍大一些，關(guān)鍵是找測度.（二）形成性練習(xí)1在500ml的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是      

10、60;     .2某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖），并規(guī)定:顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會.如果轉(zhuǎn)盤停止時，指針正好對準(zhǔn)紅、黃或綠的區(qū)域，顧客就可以獲得100元、50元、20元的購物券（轉(zhuǎn)盤等分成20份）.甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？        3平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任

11、何一條平行線相碰的概率.參考答案：10004  2P（獲得購物券）=； P（獲得100元購物券）=；P（獲得50購物券）=；P（獲得20購物券）=3學(xué)生練習(xí)時，教師巡查，觀察學(xué)情，及時從中獲取反饋信息.對學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的獨(dú)到解法提出表揚(yáng)和鼓勵，對其中偶發(fā)性錯誤進(jìn)行辨析、指正.通過形成性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變和舉一反三的能力，逐步形成技能.四、小結(jié)反思本節(jié)課的小結(jié)反思從以下幾個方面進(jìn)行：（1）幾何概型的概念及基本特點(diǎn)；（2）幾何概型中概率的計算公式；（3）背景相似的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其概率是不一樣的.（4）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能

12、的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān).通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力；進(jìn)一步完成教學(xué)目標(biāo).五、布置作業(yè)（1）課本第頁習(xí)題3.3 第1，2，3題；（2）請解釋為什么隨機(jī)事件A發(fā)生的概率0P（A）1，分別何時取到0，1？（3）上網(wǎng)下載課件，用Excel來模擬撒豆子試驗；（4）上網(wǎng)搜索閱讀“貝特朗（Bertrand）問題”，談?wù)勯喿x之后的感想.這一組作業(yè)符合新課程的理念，作為本節(jié)課的的升華.設(shè)計感想由于幾何概型是在學(xué)習(xí)了古典概型之后，將等可能事件的概念從有限向無限的延伸，因此，在引出幾何概型之后，

13、將幾何概型的特點(diǎn)與古典概型的特點(diǎn)進(jìn)行比較，總結(jié)它們的相同的地方和不同的地方.根據(jù)幾何概型中測度最常見的三種形式：長度、面積、體積，設(shè)置三個典型例題，課本上的前三個例題恰好符合以上要求，就直接拿過來用.例題本身屬于幾何概型及概率計算公式的直接應(yīng)用、簡單應(yīng)用，目的是加強(qiáng)對幾何概型的理解；幫助學(xué)生明確解題步驟，規(guī)范解題格式.因此，三個例題的講解都設(shè)置了：分析、解答、點(diǎn)評三個步驟.其中分析過程主要強(qiáng)調(diào)判斷是否符合幾何概型，解答過程強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范性，點(diǎn)評主要強(qiáng)調(diào)如何將實際背景轉(zhuǎn)化為測度以及測度是什么.例1的拓展引申在課堂師生推導(dǎo)出“”，然后則由教師給出網(wǎng)址，“用Excel來模擬撒豆子試驗”留給學(xué)生課后去探究.這樣一來，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動了他們的積極性，又為下一節(jié)課中用隨機(jī)模擬方法計算封閉曲線圍成圖形的面積作好了鋪墊.絕大部分學(xué)生在單獨(dú)處理例3時是不用費(fèi)多大勁的，但是當(dāng)面對例3變式時，大部分學(xué)生很有可能感覺無從下手，原因何在？在于學(xué)生找不到本題中的測度是什么這恰好是本節(jié)課的難點(diǎn)，因此本題的教學(xué)對本節(jié)課的難點(diǎn)的突破至關(guān)重要.課堂上，教師不要急于講解，可以讓學(xué)生討論，哪怕是爭論，讓學(xué)生參與進(jìn)來，另外，本題的點(diǎn)評也留給學(xué)生完成.如此