第三節(jié)一維射影對(duì)應(yīng)

1、3 3 一維射影對(duì)應(yīng)一維射影對(duì)應(yīng) 1. 透視對(duì)應(yīng)透視對(duì)應(yīng)(中心射影中心射影)定義以下三種對(duì)應(yīng)稱(chēng)為一維基本形的以下三種對(duì)應(yīng)稱(chēng)為一維基本形的透視對(duì)應(yīng)透視對(duì)應(yīng)(1). 點(diǎn)列點(diǎn)列線束線束. 對(duì)應(yīng)元素是關(guān)聯(lián)的對(duì)應(yīng)元素是關(guān)聯(lián)的,.),(CBAs,.),(cbaS(2). 點(diǎn)列點(diǎn)列點(diǎn)列點(diǎn)列. 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn),.),(CBAs,.), , ( CBAs(3). 線束線束線束線束. 對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)共線對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)共線,.),(cbaS,.), , ( cbaS(s)透視中心透視中心透視軸透視軸注 (1). 透視對(duì)應(yīng)是兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)雙射透視對(duì)應(yīng)是兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)雙射, 保持任意保持任

2、意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比不變四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比不變. (2). 連續(xù)兩次透視對(duì)應(yīng)的結(jié)果顯然不一定仍是透視對(duì)應(yīng)連續(xù)兩次透視對(duì)應(yīng)的結(jié)果顯然不一定仍是透視對(duì)應(yīng) .(S)2. 一維射影對(duì)應(yīng)的綜合法定義一維射影對(duì)應(yīng)的綜合法定義1. Poncelet定義定義 設(shè)設(shè), 為兩個(gè)一維基本形為兩個(gè)一維基本形. 若存在若存在n個(gè)一維基本形個(gè)一維基本形i (i=1,2,n), 使得使得1n 則稱(chēng)由此決定的則稱(chēng)由此決定的到到的對(duì)應(yīng)為一個(gè)的對(duì)應(yīng)為一個(gè)射影對(duì)應(yīng)射影對(duì)應(yīng), 記作記作. 注注1. 顯然顯然 注注2. 為一個(gè)保交比的雙射為一個(gè)保交比的雙射. 注注3. 有限多個(gè)射影對(duì)應(yīng)的積仍然是一個(gè)射影對(duì)應(yīng)有限多個(gè)射影對(duì)應(yīng)的積仍然是一

3、個(gè)射影對(duì)應(yīng).2. Steiner定義定義如果兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)如果兩個(gè)一維基本形之間的一個(gè)對(duì)應(yīng) :滿(mǎn)足滿(mǎn)足(1) 為一個(gè)雙射；為一個(gè)雙射；(2) 使得任意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比相等使得任意四對(duì)對(duì)應(yīng)元素的交比相等,則稱(chēng)則稱(chēng)為為到到的一個(gè)的一個(gè)射影對(duì)應(yīng)射影對(duì)應(yīng), 記作記作.所以透視對(duì)應(yīng)是射影對(duì)應(yīng)的特例所以透視對(duì)應(yīng)是射影對(duì)應(yīng)的特例.定理定理 Poncelet定義定義 Steiner定義定義.證明證明. “=”. 顯然顯然.“” 設(shè)點(diǎn)列設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P)與與l(P)透視對(duì)應(yīng)透視對(duì)應(yīng), S為透視為透視中心中心, ll=X. 由于直線由于直線SX交交l, l于同一點(diǎn)于同一點(diǎn)X, 所以所以X自對(duì)應(yīng)。自對(duì)應(yīng)

4、。 “=” 設(shè)設(shè)f: l(P) l(P)為射影對(duì)應(yīng)為射影對(duì)應(yīng), 使得使得 f(X)=X. 設(shè)設(shè) f(P)=P. 在在l(P)上取異于上取異于X的兩相異點(diǎn)的兩相異點(diǎn)A, B. 設(shè)設(shè)f(A)=A, f(B)=B. 則則A, B相異且不同于相異且不同于X. 設(shè)設(shè)AABB=S, 并設(shè)并設(shè)SPl=P. 設(shè)設(shè)是以是以S為透視中心為透視中心l(P), l(P)間的透視對(duì)應(yīng)間的透視對(duì)應(yīng). 則因?yàn)樯溆皩?duì)則因?yàn)樯溆皩?duì)應(yīng)應(yīng)與與f有相異的三雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)重合有相異的三雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)重合, 即即A, A; B, B; X, X, 從而從而=f. 于是于是P=P. 即即f是透視對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng).注注：由定理想到：由定理想到證諸點(diǎn)共線證

5、諸點(diǎn)共線證其為某兩透視線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)。證其為某兩透視線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)。證諸線共點(diǎn)證諸線共點(diǎn)證其為某兩透視點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線。證其為某兩透視點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線。 例例1 (Pappus定理定理)在共面的相異二直線在共面的相異二直線li上各取相異三點(diǎn)上各取相異三點(diǎn)Ai, Bi, Ci(i=1,2). 設(shè)設(shè).,122112211221三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線則則NMLNBABAMACACLCBCB Pappus線 證明證明 設(shè)直線設(shè)直線A1B1與與A2B2交于交于O, A1C2交交A2B1于于X, A2C1交交B1C2于于Y.因?yàn)橐驗(yàn)?(B1, A2, N, X) (O, A2, B2, C2) (B1,

6、 Y, L, C2)所以所以 (B1, A2, N, X) (B1, Y, L, C2)。又因?yàn)橛忠驗(yàn)?B1自對(duì)應(yīng)，所以自對(duì)應(yīng)，所以 (B1, A2, N, X) (B1, Y, L, C2)。所以所以 A2Y，NL， XC2共點(diǎn)，即共點(diǎn)，即L，M，N共線。共線。 例例2 在在 ABC中，直徑為中，直徑為BC的圓交的圓交AB、AC于于E、F，自這兩點(diǎn)所引圓的切線交于點(diǎn)，自這兩點(diǎn)所引圓的切線交于點(diǎn)P，求證：，求證：APBC。 證明：如圖，連證明：如圖，連CE、BF，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)EP交交AC于于S，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)FP交交AB于于T。因?yàn)橐驗(yàn)?E(E, B, C, F) F(E, B, C, F)所以所以

7、 E(EB, CF) = F(EB, CF) = F(CF, EB) = F(FC, BE)所以所以E(E, B, C, F) F(F, C, B, E)那么由那么由EF自對(duì)應(yīng)知，此射影對(duì)應(yīng)為透視對(duì)應(yīng)。自對(duì)應(yīng)知，此射影對(duì)應(yīng)為透視對(duì)應(yīng)。所以對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)共線，即所以對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)共線，即EB與與FC的交點(diǎn)的交點(diǎn)A，EC與與BF的交點(diǎn)的交點(diǎn)H，兩切線的交點(diǎn)，兩切線的交點(diǎn)P共線。共線。 另一方面，另一方面，BC是直徑，故是直徑，故BFAC，CEAB，故，故H是是ABC的垂心。所以的垂心。所以APBC。AFCBETSPH仔細(xì)觀察本例的證明過(guò)程，可知仔細(xì)觀察本例的證明過(guò)程，可知ECBFAPSTQ 命題命

8、題：圓內(nèi)接四邊形的一組對(duì)邊的交點(diǎn)、位：圓內(nèi)接四邊形的一組對(duì)邊的交點(diǎn)、位于對(duì)邊上的相鄰頂點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)和對(duì)角線的交點(diǎn)，于對(duì)邊上的相鄰頂點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)和對(duì)角線的交點(diǎn)，三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。連連CE、BF，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)EP交交AC于于S，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)FP交交AB于于T。因?yàn)橐驗(yàn)?E(E, B, C, F) F(E, B, C, F)所以所以 E(EB, CF) = F(EB, CF) = F(CF, EB) = F(FC, BE)所以所以E(E, B, C, F) F(F, C, B, E)那么由那么由EF自對(duì)應(yīng)知，此射影對(duì)應(yīng)自對(duì)應(yīng)知，此射影對(duì)應(yīng)為透視對(duì)應(yīng)。所以對(duì)應(yīng)直線的為透視對(duì)應(yīng)。所以對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)

9、共線，即交點(diǎn)共線，即EB與與FC的交點(diǎn)的交點(diǎn)A，EC與與BF的交點(diǎn)的交點(diǎn)Q，兩切線的交點(diǎn)，兩切線的交點(diǎn)P共線。共線。金金 雞雞 獨(dú)獨(dú) 立立習(xí)題選解習(xí)題選解 如果三點(diǎn)形如果三點(diǎn)形ABC的邊的邊BC、CA、AB分別通過(guò)分別通過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)在同一直線上的三點(diǎn)P、Q、R，又頂點(diǎn)，又頂點(diǎn)B、C各在各在一條定直線上。求證：頂點(diǎn)一條定直線上。求證：頂點(diǎn)A也在一條定直線上。也在一條定直線上。證明一：因?yàn)樽C明一：因?yàn)镽(B) b(B),Q(C) c(C),B0 與與 C0 是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以所以 Q(C) R(B)。b(B) c(C), 由由QC0與與RB0是對(duì)應(yīng)直線，且是對(duì)應(yīng)直線，且它們是同一條直線，即它們是同一條直線，即QC0與與RB0是自對(duì)應(yīng)直線，所以是自對(duì)應(yīng)直線，所以Q(C) R(B)。所以所以QC與與RB的交點(diǎn)的交點(diǎn)A在一條定直線（在一條定直線（Q(C)與與R(B)的透視軸）上。的透視軸）上。證明二證明二： 如圖，設(shè)如圖，設(shè)ABC是滿(mǎn)足條件的任意三角形是滿(mǎn)足條件的任意三角形。 因?yàn)橐驗(yàn)锳 BC和和ABC的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P、Q、R共線，