圓錐曲線齊次式與點乘雙根法

1、，圓錐曲線齊次式與斜率之積(和)為定值Q,Q2為橢圓2 22；2 b-1上兩個動點，且 OQ _0Q2，過原點0作直線QQ2的垂線0D，求D的軌跡方程解法一(常規(guī)方法)：設 Qi(%, yi)Q(X2, y2)，D(xo,y°),設直線 QQ?方程為 y=kx，m，y 二 kx m聯(lián)立 x2 v2化簡可得：12b2 b2(2b2k2 b2)x2 4kmb2x 2b2(m2 -b2) = 0 ,所以b2(m2 -2b2k2)2b2k2 b22b2(m2 +b2)住二 2b2k2 b2，VlV2因為OQ _ 0Q2所以X1X2V1V22b2(m2 b2) b2(m2 -2b2k2)2b2

2、k2 b22b2k2 b22(m2 _b2) m2 _2b2k22 22k 1 2k 1=0.3m2 =2b2(1 k2)IH又因為直線 Q1Q2方程等價于為 V - y02'(x -滄)，即y二一生 y0對比于V0y0y0y 二 kx m，貝 U亠k yo2乞 yo =myo代入-中，化簡可得:Xo2 2 2 -2 yo =3b .解法（齊次式）：設直線mx ny = 1Q1Q2方程為mx ny =1，聯(lián)立 x2mx ny = 12 2x y2 ' -2 _ 1 = 02b b2X2b22 2占5x ny）2=o化簡可得：命古2 2- n y - 2mnxy 二 o1 -2m

3、2b22-2b2 n21 -2m2b22 -2b2n2mx ny =1，貝yxo+y°y。22x y=m代入“中，化簡可得:xo2yo2 = 2 b2.3整理成關于x, y x, y的齊次式：(2-2b2 * 4n2)y2(1-2m2b2)x2 -4mnb2xy =0，進而兩邊2同時除以x，則(2 -2b2n2)k2 -4mnb2k 1 -2m2b2因為 OQ _ OQ2 OQ1 _ OQ2 所以 k1k -1,3 二 2b2（m2 n2）川2又因為直線 QQ方程等價于為 y - yo二-西（x-x），即y對比于yoyoyo的斜率之和為-1，證明：直線l恒過定點解：以點P為坐標原點，

4、建立新的直角坐標系x'py'，如圖所示:舊坐標 新坐標(x,y)= (x',y')即(0,1)= (0,0)f x'=xAt A所以=y=y_1B'原來kpA kpB二-仁広匕二-1則轉(zhuǎn)換到新坐標就成為：也止=-1x(x2x-1 'x2'即k,' k2'設直線丨方程為：mx'ny'=1圓錐曲線齊次式與點乘雙根法原方程：x2 - 4y2 =4則轉(zhuǎn)換到新坐標就成為：x'2 - 4(y'1)2 =4展開得：x'2 4y'2 8y' =0構(gòu)造齊次式：x' 4y

5、'8y'(mx' ny') =0整理為：(4 8n)y'2 8mx' y' x'2 = 0兩邊同時除以x'2，則(4 8n)k'2 8mk' 08mi所以 k,' k2'1 所以 2m - 2n =1二 m 二 n 4+8 n2十丄1x'而 mx' ny' =1. (n )x' ny' =1二 n(x' y')1=0對于任意 n都成立.1x' y' =0x = 2x = 2則：x'=，故對應原坐標為所以恒過定點(

6、2, T).仁0y'=-2y = -122 2例3 :已知橢圓 -1，過其上一定點 P(2,1)作傾斜角互補的兩條直線，分別交于橢8 2圓于A,B兩點，證明：直線 AB斜率為定值舊坐標 新坐標(x,y)二(x',y')即(2,1)= (0,0)fx'=x2At A所以=ly' = y_1(Bt B'Vi -1y_ 1Viy 2原來kpA kPB =0-0則轉(zhuǎn)換到新坐標就成為：-0論 一 2 x2 1x-i' x2'即k1' k2' =0設直線AB方程為：mx' ny' =12222原方程：x 4y

7、=8則轉(zhuǎn)換到新坐標就成為：(x'，2)4(y' 1) =8展開得：x'2 4y'2 4x' 8y022構(gòu)造齊次式：x' 4y'4x'(mx' ny') 8y'(mx' ny') = 0整理為：y'2(4 8n) x'y'(4n 8m) (1 4m)x'2 =02 2兩邊同時除以 x'，則(4 8n)k'(4n 8m)k' T 4m = 0,亠, 4n+8m 小所以k1' k2'0所以n - -2m4+8 n1 而 mx&

8、#39; ny' =1 mx' (-2m)y' =1= mx2my1 二 0所以 k=平移變換，斜率不變，所以直線AB斜率為定值-.2，點乘雙根法例4 :設橢圓中心在原點 0，長軸在x軸上，上頂點為 A，左右頂點分別為F2，線段0F1,0F2中點分別為B1, B2，且 AB B2是面積為4的直角三角形.(1 )求其橢圓的方程(2 )過B作直線l交橢圓于P,Q兩點，使PB2 - QB2，求直線l的方程.解:2 2(1)x y =1204(2)易知：直線丨不與軸垂直，則設直線 丨方程為：y = k(x + 2) P(x,yJ,Q(x2,y2)因為 PB2 QB2，則 PB2LQB2=0，所以(Xi-2,yJ(X2-22)=0二(X-2)(X2-2)k所以直線1方程為-(x 2).(x2)(x22) =0|卜八 k(x 2)現(xiàn)聯(lián)立 X2 y2二 x2+5k2(x+2)2 20=0+ =1.204則方程 x2 5k2(x，2)2 -20=0可以等價轉(zhuǎn)化(1 5k2)(Xj -x)(x2 -x) =0即 x2 5k2(x 2)2 -20 =(1 5k2)(% -x)(x2 x)令 x =2，2 24 80k -20 =(1 5k )(為-2)(x2-2)二(Xi-2)(X2-2)280k -1621 5k16 令 x = -2，4 0