第5章 符號運算

1、MATLAB 7.0MATLAB 7.0從入從入門到精通門到精通哈爾濱工業(yè)大學哈爾濱工業(yè)大學( (威海威海) )汽車工程學院汽車工程學院2021-12-152課程主要內(nèi)容課程主要內(nèi)容 第1章 MATLAB簡介 第2章 數(shù)值運算 第3章 單元數(shù)組和結(jié)構(gòu) 第4章 字符串 第5章 符號運算 第6章 MATLAB繪圖基礎(chǔ) 第7章 程序設(shè)計 第8章 計算方法的MATLAB實現(xiàn) 第9章 優(yōu)化設(shè)計 第10章 SIMULINK仿真初探2021-12-153第第5章章 符號運算符號運算 數(shù)學問題的求解通常有兩條途徑可循，一是求它的解析解，二是求它的數(shù)值解。求解析解的主要工具是符號運算。所謂符號運算是指運算的主要

2、對象是符號、文字，或說是變量。2021-12-1545.1 符號表達式的生成 符號表達式是代表數(shù)字、函數(shù)、算子和變量的MATLAB字符串，或字符串數(shù)組。不要求變量有預先確定的值，符號方程式是含有等號的符號表達式。符號算數(shù)是使用已知的規(guī)則和給定符號恒等式求解這些符號方程的實踐，它與代數(shù)和微積分所學到的求解方法完全一樣。符號矩陣式數(shù)組，其元素是符號表達式。 符號表達式的生成可采用sym和syms函數(shù)生成。2021-12-1555.1.1 符號常量 符號常量是一種符號對象?？捎胹ym函數(shù)生成，可用class函數(shù)來檢測其數(shù)據(jù)類型。2021-12-156程序?qū)嵗?a=sqrt(2) a = 1.4142

3、 b=sym(sqrt(2) b = sqrt(2) c=sqrt(sym(2) c = 2(1/2)2021-12-157程序?qū)嵗?a=sqrt(2) a = 1.4142 b=sym(sqrt(2) b = sqrt(2) class(a) ans = double class(b) ans = sym2021-12-1585.1.2 符號變量及符號表達式 使用sym函數(shù)也可定義符號表達式，一是將每一個變量定義為符號變量，二是將整個表達式集體定義。也可以直接用單引號生成。 函數(shù)syms功能比sym更為強大，它可以一次創(chuàng)建任意多個符號變量。使用格式如下： syms var1 var2.202

4、1-12-159程序?qū)嵗?a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); x=sym(x); f=a*x2+b*x+c f = a*x2 + b*x + c2021-12-1510程序?qū)嵗?f=sym(a*x2+b*x+c) f = a*x2+b*x+c g=sym(a*sin(b*x+c) g = a*sin(b*x+c)2021-12-1511程序?qū)嵗?syms a b c x f=a*x2+b*x+c f = a*x2 + b*x + c g=a*sin(b*x+c) g = a*sin(c + b*x)2021-12-15125.1.3 符號矩陣 元素是符號對象的矩陣叫做符

5、號矩陣。在MATLAB7.0語言中，符號矩陣的生成與數(shù)值矩陣的相關(guān)操作很相似。 使用sym函數(shù)直接生成符號矩陣，各符號表達式長度相同。2021-12-1513程序?qū)嵗?m1=sym(asd we;re as) m1 = asd, we re, as m2=sym(5 6;1 2) m2 = 5, 6 1, 22021-12-15145.2 符號變量的基本操作 符號變量的基本操作主要包括符號變量的查找、符號變量的精度設(shè)置、數(shù)值型變量與符號型變量的轉(zhuǎn)換。2021-12-15155.2.1 符號變量查詢 函數(shù)findsym用于找出一個表達式中存在哪些符號變量。 findsym(s)列出全部符號變量，

6、findsym(s,n)列出靠x最近的n個符號變量。2021-12-1516程序?qū)嵗?f=sym(a*x2+b*x+c); m1=findsym(f) m1 = a,b,c,x m2=findsym(f,2) m2 = x,c m3=findsym(f,3) m3 = x,c,b2021-12-15175.2.2 符號變量精度設(shè)置 單獨使用digits或d=digits在命令窗口顯示當前設(shè)定的數(shù)值精度。 digits(d)命令設(shè)置數(shù)值的精度為d位。 r=vpa(s)命令將顯示符號表達式s在當前精度下的值。 r=vpa(s,d)命令將顯示符號表達式s在精度d下的值。顯示的數(shù)字個數(shù)為d。2021-

7、12-1518程序?qū)嵗?digits Digits = 32 digits(100) digits Digits = 100 digits(32) digits Digits = 322021-12-1519程序?qū)嵗?r1=vpa(pi) r1 = 3.1415926535897932384626433832795 r2=vpa(pi,4) r2 = 3.142 r2=vpa(pi,5) r2 = 3.14162021-12-15205.2.3 數(shù)值型變量與符號型變量的轉(zhuǎn)換 將數(shù)值形式轉(zhuǎn)換為符號形式：將數(shù)值形式轉(zhuǎn)換為符號形式： 對于任意數(shù)值型變量t，使用sym函數(shù)可以將其轉(zhuǎn)換為4種形式的符號變

8、量，分別為：有理數(shù)形式sym(t)或sym(t,r)、浮點數(shù)形式sym(t,f)、指數(shù)形式 sym(t,e)和數(shù)值精度形式 sym(t,d)。 也可以采用這種方法將數(shù)值型矩陣轉(zhuǎn)換為符號型矩陣，但此時只能把它轉(zhuǎn)換成有理數(shù)形式。 另外，函數(shù)poly2sym實現(xiàn)將某一向量轉(zhuǎn)化為它對應的多項式。2021-12-1521程序?qū)嵗?t=0.1; sym(t,r) ans = 1/10 sym(t,f) ans = 1.999999999999a*2(-4) sym(t,e) ans = 1/10+eps/40 sym(t,d) ans = .10000000000000000555111512312578

9、2021-12-1522程序?qū)嵗?a=1 2 3 4 5; f=poly2sym(a) f = x4+2*x3+3*x2+4*x+52021-12-1523 將符號形式轉(zhuǎn)換為數(shù)值形式：將符號形式轉(zhuǎn)換為數(shù)值形式： 將符號形式轉(zhuǎn)化為數(shù)值形式主要用函數(shù)eval來實現(xiàn)。另外，使用sym2poly函數(shù)實現(xiàn)將多項式轉(zhuǎn)化為它對應的系數(shù)向量。2021-12-1524程序?qū)嵗?a=sym(sqrt(5) a = sqrt(5) b=eval(a) b = 2.23612021-12-1525程序?qū)嵗?syms x f=x3-4*x+5; c=sym2poly(f) c = 1 0 -4 52021-12-152

10、65.3 符號表達式的操作 用戶可以對符號表達式進行各種操作，包括四則運算、合并同類項、多項式分解和簡化等。2021-12-15275.3.1 符號表達式的四則運算 符號表達式也與通常的算術(shù)式一樣，可以進行四則運算。 在符號對象的比較中只有相等與否，沒有大小關(guān)系比較； 三角函數(shù)的符號運算與數(shù)值運算法則基本相同； 符號運算的指數(shù)函數(shù)運算與前面數(shù)值運算法則相同，對數(shù)運算對于符號運算來說只能使用log函數(shù)，因此log2(sym(a)=log(a)/log(2)。 符號運算的復數(shù)運算與數(shù)值復數(shù)運算相同。2021-12-1528程序?qū)嵗?syms x y a b f1=sin(x)+cos(y); f2

11、=a+b; f=f1*f2 f = (a + b)*(cos(y) + sin(x)2021-12-15295.3.2 符號表達式合并同類項 collect(s,v)命令將符號矩陣s中所有同類項合并，并以v為符號變量輸出。 collect(s)命令使用findsym函數(shù)規(guī)定的默認變量代替上式中的v。2021-12-1530程序?qū)嵗?syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x,x) ans = (y-1)*x2+(y-2)*x collect(x2*y+y*x-x2-2*x,y) ans = (x2+x)*y-x2-2*x collect(x2*y+y*x-x2-2*x)

12、ans = (y-1)*x2+(y-2)*x2021-12-15315.3.3 符號多項式的因式分解 使用expand函數(shù)將表達式中的括號進行展開；使用factor函數(shù)將表達式進行因式分解；使用horner函數(shù)將一般的表達式變換為嵌套的形式，默認x為第一變量。2021-12-1532程序?qū)嵗?syms x y f=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(y-4); g=expand(f) g = x3*y-4*x3-6*x2*y+24*x2+11*x*y-44*x-6*y+242021-12-1533程序?qū)嵗?syms x y g =x3*y-4*x3-6*x2*y+24*x2+11*x*y-4

13、4*x-6*y+24; f=factor(g) f = (x-1)*(x-2)*(x-3)*(y-4)2021-12-1534程序?qū)嵗?syms x y g =x3*y-4*x3-6*x2*y+24*x2+11*x*y-44*x-6*y+24; f=horner(g) f = -6*y+24+(11*y-44+(-6*y+24+(y-4)*x)*x)*x2021-12-1535程序?qū)嵗?syms x y f=x2-2*x+y2-3*y*x; horner(f) ans = y2+(-2-3*y+x)*x2021-12-15365.3.4 符號表達式的簡化 使用simplify函數(shù)和simple

14、函數(shù)進行符號表達式的簡化。 simplify(s)命令將符號表達式s中的每一個元素都進行簡化，該函數(shù)的缺點是即使多次運用此函數(shù)也不一定得到最簡形式。 simple(s)命令使用多種代數(shù)簡化方法對符號表達式s進行簡化，并顯示其中最簡單的結(jié)果。 r,how=simple命令在返回最簡單的結(jié)果的同時，返回一個描述得到該最簡結(jié)果所用簡化方法的字符串how。2021-12-1537程序?qū)嵗?syms x f=(x-2).2+3*(x-3); simplify(f) ans = x2-x-52021-12-1538程序?qū)嵗?syms x f=(x-2).2+3*(x-3); r,how=simple(f)

15、 r = x2-x-5 how = simplify2021-12-1539程序?qū)嵗?syms x f=(x-3).3-3*x+(x-1)/(x+2).2-2*x.2; simplify(f) ans = (x5-7*x4-16*x3+25*x2-109-11*x)/(x+2)22021-12-1540程序?qū)嵗?syms x f=(x-3).3-3*x+(x-1)/(x+2).2-2*x.2; simple(f) simplify: (x5-7*x4-16*x3+25*x2-109-11*x)/(x+2)2 radsimp: (x5-7*x4-16*x3+25*x2-109-11*x)/(x+

16、2)2 combine(trig): (x5-7*x4-16*x3+25*x2-109-11*x)/(x2+4*x+4)2021-12-1541 factor: (x5-7*x4-16*x3+25*x2-109-11*x)/(x+2)2 expand: x3-11*x2+24*x-27+1/(x+2)2*x-1/(x+2)2 combine: (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 convert(exp): (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 convert(sincos): (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 convert(t

17、an): (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x22021-12-1542 collect(x): (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 mwcos2sin: (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 ans = (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 syms x f=(x-3).3-3*x+(x-1)/(x+2).2-2*x.2; r,how=simple(f) r = (x-3)3-3*x+(x-1)/(x+2)2-2*x2 how = 2021-12-15435.3.5 書寫形式的轉(zhuǎn)化 pretty函數(shù)的使用 pre

18、tty(s)將符號表達式用書寫方式表示出來，默認寬度為79。 pretty(s,n)將符號表達式用書寫方式表示出來，寬度指定為n。2021-12-1544程序?qū)嵗?p=sym(x2-1)/(x+2)+(2*x+5)/(3*x-2) p = (x2-1)/(x+2)+(2*x+5)/(3*x-2) pretty(p) 2 x - 1 2 x + 5 - + - x + 2 3 x - 22021-12-15455.3.6 subs函數(shù)用于替換求值 subs(s)命令將符號表達式s中的所有符號變量用調(diào)用函數(shù)中的值或matlab工作區(qū)間的值替代。 subs(s,new)命令將符號表達式s中的自由符號

19、變量用數(shù)值型變量或表達式new替換。 subs(s,old,new)命令將符號表達式s中的符號變量old用數(shù)值型變量或表達式new替換。 如沒指定被替換的變量，則默認選擇與x最接近的字母。2021-12-1546程序?qū)嵗?syms x y f=x2*y+5*x*sqrt(y); subs(f) ans = x2*y+5*x*y(1/2) subs(f,2) ans = 4*y+10*y(1/2) subs(f,y,2) ans = 2*x2+5*x*2(1/2) subs(f,x,y,2,3)或subs(f,x,y,2,3) ans = 29.32052021-12-1547程序?qū)嵗?syms

20、 a x y f=x2*y+5*x*sqrt(y); subs(f,a) ans = a2*y+5*a*y(1/2) subs(f,y,a) ans = a*x2+5*x*a(1/2)2021-12-15485.3.7 反函數(shù)的運算 g=finverse(f)命令用于求函數(shù)f的反函數(shù)。 g=finverse(f,v)指定對變量v求反函數(shù)。2021-12-1549程序?qū)嵗?syms x y f=x2+y; finverse(f,x) Warning: finverse(x2+y) is not unique. In sym.finverse at 43 ans = (-y+x)(1/2) fin

21、verse(f,y) ans = -x2+y2021-12-15505.3.8 復合函數(shù)的運算 compose(f,g)返回f=f(x)和g=g(y)時的復合函數(shù)f(g(y)，就是原來的默認變量用函數(shù)g完整替代。 compose(f,g,z)返回f=f(x)和g=g(y)時的復合函數(shù)f(g(z)，z為指定變量，代替復合函數(shù)中默認變量，即先用z替代默認變量再復合。 compose(f,g,x,z)返回復合函數(shù)f(g(z)。即指定變量x用g(z)替代，如果g(z)中有z，則g(z)函數(shù)保持原形不變，如沒有，則默認變量用z替代。 compose(f,g,x,y,z)返回復合函數(shù)f(g(y)。首先g(

22、y)中的指定變量y用z代替，原有的z不變，然后f(x)中的指定變量x用g(z)代替。2021-12-1551程序?qū)嵗?syms x y z t u f=1/(1+x2); g=sin(y); h=xt; p=exp(-y/u); compose(f,g) ans = 1/(1+sin(y)2) compose(f,g,t) ans = 1/(1+sin(t)2)2021-12-1552程序?qū)嵗?compose(h,g,x,z) ans = sin(z)t compose(h,g,t,z) ans = xsin(z) compose(h,p,x,y,z) ans = exp(-z/u)t com

23、pose(h,p,t,u,z) ans = xexp(-y/z)2021-12-1553程序?qū)嵗?syms x y z t u f=1/(1+x2)+y-z*t+sin(u); g=x+z*sin(y)-t*u; h=xt-y*z+zu; p=x*z+exp(-y/u)-log(t); compose(f,g) ans = 1/(1+(x+z*sin(y)-t*u)2)+y-z*t+sin(u) compose(f,g,t) ans = 1/(1+(t+z*sin(y)-t*u)2)+y-z*t+sin(u)2021-12-1554程序?qū)嵗?syms x y z t u f=1/(1+x2)+

24、y-z*t+sin(u); g=x+z*sin(y)-t*u; h=xt-y*z+zu; p=x*z+exp(-y/u)-log(t); compose(h,g,x,z) ans = (x+z*sin(y)-t*u)t-y*z+zu compose(h,g,t,z) ans = x(x+z*sin(y)-t*u)-y*z+zu 2021-12-1555程序?qū)嵗?syms x y z t u f=1/(1+x2)+y-z*t+sin(u); g=x+z*sin(y)-t*u; h=xt-y*z+zu; p=x*z+exp(-y/u)-log(t); compose(h,p,x,y,z) ans

25、= (x*z+exp(-z/u)-log(t)t-y*z+zu compose(h,p,t,u,z) ans = x(x*z+exp(-y/z)-log(t)-y*z+zu2021-12-15565.3.9 提取分子、分母 如果符號表達式是有理式形式或可展開為有理分式的形式，則可通過函數(shù)numden來提取符號表達式中的分子與分母。numden函數(shù)可將符號表達式合并、有理化，并返回所得的分子與分母。其調(diào)格式如下： n,d=numden(a)提取符號表達式a的分子與分母，并分別把其存放在n與d中； n=numden(a)提取符號表達式a的分子與分母，但只把分子存放在n中。2021-12-1557程

26、序?qū)嵗?f=sym(a*x2/(b-x); n,d=numden(f) n = -a*x2 d = -b+x k=numden(f) k = -a*x22021-12-15585.4 符號微積分 微積分是高等數(shù)學中最重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，它被廣泛地應用于許多的工程學科中。MATLAB的符號數(shù)學工具箱為我們提供了快速、簡便地計算微積分的工具。MATLAB符號數(shù)學工具箱中的符號微積分包括符號極限、符號微分、符號積分等。2021-12-15595.4.1 符號極限 極限是高等數(shù)學的出發(fā)點，同時它也是微積分學的基礎(chǔ)。在MATLAB中，符號極限由函數(shù)“l(fā)imit”來實現(xiàn)的。Limit函數(shù)的調(diào)用格式如下：

27、limit(f,x,a)計算符號表達式當xa時f=f(x)的極限值。 limit(f,a)命令使用命令findsym(f)確定f中的自變量當其a時f的極限。 limit(f)命令使用命令findsym(f)確定f中的自變量當其0時f的極限。 limit(f,x,a,right(left)求xa的左、右極限。 limit(f,x,inf)計算符號表達式當x正負無窮時f=f(x)的極限值。2021-12-1560程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); a=limit(f) a = cos(t*y) b=limit(f,t) b = cos(t*y) + sin(t

28、*y)2021-12-1561程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); c=limit(f,t,0) c = sin(x*y) + 1 d=limit(f,t,pi) d = cos(pi*y) + sin(x*y)2021-12-1562程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); a=limit(f,y,3,left) a = cos(3*t) + sin(3*x) b=limit(f,x,2,right) b = sin(2*y) + cos(t*y)2021-12-1563程序?qū)嵗?syms x n f1=limit(1+x/

29、n)n,n,inf) f1 = exp(x) f2=limit(1-x/n)n,n,inf) f2 = 1/exp(x)2021-12-15645.4.2 符號微分和求導 微分是高等數(shù)學中最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一。在MATLAB中，符號微分由函數(shù)“diff”來實現(xiàn)的。diff函數(shù)可同時計算數(shù)值微分與符號微分。diff函數(shù)的調(diào)用格式如下： diff(f)對f中默認的符號變量求導。 diff(f,n)對f中默認的符號變量求n階導。 diff(f,x)對f中指定的自變量x求導。 diff(f,x,n)對f中指定的自變量x求n階導。 說明：n是正整數(shù)時，對指定的變量求n階導，當n是小數(shù)時，按四舍五入原則先取整

30、，然后求導，當n是負數(shù)時，默認求指定變量的一階導數(shù)。n還可以是字符串，相當于對新指定的符號變量求導，結(jié)果為0。小于1的數(shù)將對函數(shù)求一階導。2021-12-1565程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); a=diff(f) a = y*cos(x*y) b=diff(f,3) b = -y3*cos(x*y)2021-12-1566程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); c=diff(f,t) c = -y*sin(t*y) d=diff(f,t,3) d = y3*sin(t*y)2021-12-1567程序?qū)嵗?syms x

31、 y t f=sin(x*y)+cos(y*t); a=diff(f,7.5) a = y8*sin(x*y) b=diff(f,pi) b = -y3*cos(x*y)2021-12-1568程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); a=diff(f,-3) a = y*cos(x*y) b=diff(f,-5.2) b = y*cos(x*y)2021-12-1569程序?qū)嵗?syms x y t f=sin(x*y)+cos(y*t); diff(f,a) ? Illegal right hand side in assignment. Too many

32、elements. Error in = sym.diff at 30 x = a.s; diff(f,a) ans = 02021-12-1570程序?qū)嵗?syms x y a=x2+x*y;sin(x)*cos(y); diff(a) ans = 2*x+y cos(x)*cos(y) diff(a,y) ans = x -sin(x)*sin(y)2021-12-1571 jacobian(f,v)命令用于計算數(shù)量或向量f對于向量v的jacobi矩陣，所得結(jié)果的第i行第j列的數(shù)是df(i)/df(j)。f是數(shù)量時返回f的梯度。2021-12-1572程序?qū)嵗?syms x y z a=x

33、2+x*y;sin(x)*cos(y); jacobian(a,x,y) ans = 2*x+y, x cos(x)*cos(y), -sin(x)*sin(y)2021-12-1573程序?qū)嵗?syms x y z a=x2+x*y,sin(x)*cos(y); jacobian(a,x,y,z) ans = 2*x+y, x, 0 cos(x)*cos(y), -sin(x)*sin(y), 02021-12-1574程序?qū)嵗?syms x y z a=x2+x*y,sin(x)*cos(y);x+sin(y),sin(x*y)-cos(x); jacobian(a,x,y) ans =

34、2*x+y, x 1, cos(y) cos(x)*cos(y), -sin(x)*sin(y) cos(x*y)*y+sin(x), cos(x*y)*x2021-12-1575程序?qū)嵗?syms x y z a=x2+x*y,sin(x)*cos(y);x+sin(y),sin(x*y)-cos(x); jacobian(a,x,y,z) ans = 2*x+y, x, 0 1, cos(y), 0 cos(x)*cos(y), -sin(x)*sin(y), 0 cos(x*y)*y+sin(x), cos(x*y)*x, 02021-12-15765.4.3 符號積分 由高等數(shù)學可知，

35、積分比微分復雜得多。很多情況下，積分不一定能成功。當在MATLAB中進行符號積分，找不到原函數(shù)時，它將返回未經(jīng)計算的命令。符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。int函數(shù)的調(diào)用格式如下所示： int(f)命令對f求不定積分，常數(shù)項默認為0。 int(f,v)命令對f中的變量v求不定積分。 int(f,a,b)命令對f進行a,b上求定積分。 int(f,v,a,b)命令對f中的變量v進行a,b上求定積分。 MATLAB還提供了一個交互性的近似積分命令rsums，該命令可以計算一元函數(shù)在某有限的閉區(qū)間上的積分數(shù)值。調(diào)用格式為rsums(f,a,b)其中f為積分表達式，a,b為積分上下限。2021-12-15

36、77程序?qū)嵗?syms x y t f=x2+y2+t2; a=int(f) a = x3/3 + (t2 + y2)*x b=int(f,y) b = y3/3 + (t2 + x2)*y2021-12-1578程序?qū)嵗?syms x y t f=x2+y2+t2; c=int(f,1,2) c = t2 + y2 + 7/3 d=int(f,y,1,2) d = t2 + x2 + 7/32021-12-1579程序?qū)嵗?syms x y t a b f=x2+y2+t2; m1=int(f,a,b) m1 = -(a - b)*(a2 + a*b + b2 + 3*t2 + 3*y2)/

37、3 m2=int(f,t,a,b) m2 = -(a - b)*(a2 + a*b + b2 + 3*x2 + 3*y2)/32021-12-1580程序?qū)嵗?syms x f=(x-1)3+x2+4*x; rsums(f,-1,2)2021-12-15812021-12-15822021-12-15835.4.4 符號級數(shù)求和 在數(shù)學分析中，級數(shù)求和是一個重要內(nèi)容，MATLAB中使用symsum函數(shù)求解符號表達式的和。調(diào)用格式如下： R= symsum(s,a,b)將符號表達式s中默認變量從a到b時的有限和。 R= symsum(s,v,a,b)將符號表達式s中指定變量從a到b時的有限和。2

38、021-12-1584程序?qū)嵗?驗證下列結(jié)果xkkkekxk0212!612021-12-1585程序?qū)嵗?syms x k a=symsum(1/k2,1,inf) a = pi2/6 b=symsum(xk/sym(k!),k,0,inf) b = exp(x)2021-12-15865.5 符號代數(shù)方程的求解 在MATLAB符號數(shù)學工具箱中，符號方程式是含有等號的符號表達式。符號方程的求解包括符號線性方程的求解、非線性方程的求解和符號微分方程的求解等。2021-12-15875.5.1 符號非線性方程組的求解 符號代數(shù)非線性方程的求解可以通過函數(shù)fsolve來實現(xiàn)。fsolve函數(shù)以最小

39、二乘法求解非線性方程，其調(diào)用格式如下： x=fsolve(fun,x0)命令以x0為初始矩陣來求解方程fun。 x,fval=fsolve(fun,x0)命令以x0為初始矩陣來求解方程fun，同時輸出方程根對應的函數(shù)值。其中fun可以是函數(shù)名也可以是符號表達式。2021-12-1588程序?qū)嵗?x1=fsolve(x(1).2-2*x(2),1 2) x1 = 1.6462 1.3551 x2=fsolve(x(1).2-sin(x(2),1 2) x2 = 0.9556 1.99082021-12-1589程序?qū)嵗?使用fsolve函數(shù)求解下面非線性方程組。01303212212221xxx

40、xx2021-12-1590程序?qū)嵗?首先編寫方程組的M文件。 function y=myfun2(x) y(1)=3*x(1)2-x(2)2; y(2)=3*x(1)*x(2)2-x(1)2-1;2021-12-1591程序?qū)嵗?在命令窗口輸入 x0=0.8 0.4; x=fsolve(myfun2,x0) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x = 0.5208 0.90202021-12-1592程序?qū)嵗?x0=0.8 0.4; x,fval=fsolve(myfun2,

41、x0) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x = 0.5208 0.9020 fval = 1.0e-006 * -0.0209 0.19282021-12-15935.5.2 一般符號代數(shù)方程求解 在MATLAB7.0語言中，使用solve函數(shù)求解一般的符號代數(shù)方程組。其使用格式為： solve(eq1,eq2,eqn)求解由符號表達式或不帶等號的字符串eq1,eq2,eqn組成的方程組。自變量為默認自變量。 solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2,varn

42、)求解由符號表達式或不帶等號的字符eq1,eq2,eqn組成的方程組。自變量由var1,var2,varn來指定。得到結(jié)構(gòu)體形式的解。當方程組中的符號變量個數(shù)大于求解的變量個數(shù)時只求解靠x最近的n個變量的解，其他變量作為常量對待。 輸出結(jié)果時，可采用解的結(jié)構(gòu)體輸出方式自動判斷求解變量。2021-12-1594程序?qū)嵗?x=solve(p*sin(x)=r) x = asin(r/p) r=solve(p*sin(x)=r) r = asin(r/p) x=solve(p*sin(x)-r) x = asin(r/p)2021-12-1595程序?qū)嵗?x=solve(p*sin(x)=r,p)

43、x = r/sin(x) p=solve(p*sin(x)=r,p) p = r/sin(x) p=solve(p*sin(x)-r,p) p = r/sin(x)2021-12-1596程序?qū)嵗?x,y=solve(x+y=5,x-y=1) x = 3 y = 2 y,x=solve(x+y=5,x-y=1) y = 3 x = 22021-12-1597程序?qū)嵗?s=solve(x+y=5,x-y=1) s = x: 1x1 sym y: 1x1 sym s.x ans = 3 s.y ans = 22021-12-1598程序?qū)嵗?x=solve(x+y=5,x-y=1,x) Warni

44、ng: 2 equations in 1 variables. In solve at 113 Warning: Explicit solution could not be found. In solve at 140 x = empty sym 2021-12-1599程序?qū)嵗?x,y,z=solve(x+y+z=5,x-y-z=1) ? Error using = solve 2 variables does not match 3 outputs. x,y,z=solve(x+y+z=5,x-y-z=1,x-y+z=7) x = 3 y = -1 z = 32021-12-15100程

45、序?qū)嵗?x,y,z=solve(a+b+c=15,a+b-c=3,a-b+c=5) x = 4 y = 5 z = 62021-12-15101程序?qū)嵗?a,b,c=solve(a+b+c=15,a+b-c=3,a-b+c=5) a = 4 b = 5 c = 62021-12-15102程序?qū)嵗?s=solve(a+b+c=15,a+b-c=3,a-b+c=5) s = a: 1x1 sym b: 1x1 sym c: 1x1 sym s.a ans = 4 s.b ans = 5 s.c ans = 62021-12-15103程序?qū)嵗?a,b=solve(a+b+c=15,a+b-c=3

46、,a-b+c=5) ? Error using = solve 3 variables does not match 2 outputs. a,b=solve(a+b+c=15,a+b-c=3) a = -a+9 b = 62021-12-15104程序?qū)嵗?s=solve(a+b+c=15,a+b-c=3) s = b: 1x1 sym c: 1x1 sym s.b ans = -a+9 s.c ans = 6 s.a ? Reference to non-existent field a.2021-12-15105工程實例 問題描述：一圓半徑為2，并以x=3，y=5為圓心，另一圓半徑為b，

47、并以x=5，y=3為圓心。找兩圓的交點。且當b=3時的解。 解題過程：首先建立兩個圓的方程，然后采用符號方程求解計算出交點坐標，左后采用符號代換計算出焦點的具體坐標。 第一圓方程 (x-3)*(x-3)+(y-5)*(y-5)=2*2 第二圓方程 (x-3)*(x-3)+(y-5)*(y-5)=b*b2021-12-15106求解過程 syms x y b x,y=solve(x-3).2+(y-5).2-4,(x-5).2+(y-3).2-b.2) x = 9/2-1/8*b2+1/8*(-16+24*b2-b4)(1/2) 9/2-1/8*b2-1/8*(-16+24*b2-b4)(1/2

48、) y = 7/2+1/8*b2+1/8*(-16+24*b2-b4)(1/2) 7/2+1/8*b2-1/8*(-16+24*b2-b4)(1/2) subs(x,b,3) ans = 4.7386 2.0114 subs(y,b,3) ans = 5.9886 3.26142021-12-151075.6 符號微分方程的求解 符號微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實現(xiàn)，dsolve函數(shù)的調(diào)用格式如下： dsolve(eqn1,eqn2,.,cond1,cond2,v)，其中，對給定的常微分方程(組)eq1、eq2.中指定的符號自變量v，與給定的邊界條件和初始條件cond1、cond2.

49、求符號解。若沒有指定變量v，則默認變量為t，在微分方程表達式中，D=d/dt、D2=d2/dt2.。微分算子D后面的字母就是待求解的未知函數(shù)。初始和邊界條件由字符串表示，若邊界條件少于方程組的階數(shù)，則結(jié)果中會出現(xiàn)任意常數(shù)c。2021-12-15108 函數(shù)的輸出結(jié)果可能存在三種情況： （1）一個方程和一個輸出，則返回符號向量中非線性方程的聯(lián)立解； （2）幾個方程與相同個數(shù)的輸出，返回的結(jié)果是按字母順序排序，并且分配給輸出參數(shù)； （3）幾個方程和一個輸出，則返回解的結(jié)構(gòu)。 如果解不是顯式形式，則被認為是隱式形式。當一個隱式形式的解返回時，會給出警告。 如果解既不是顯式形式，也不是隱式形式，也會給

50、出警告，同時返回的是一個空字符串。在一些非線性方程中，輸出結(jié)果可能是降階的微分方程或是積分方程。2021-12-15109程序?qū)嵗?y1=dsolve(Dx=-a*x) y1 = C1*exp(-a*t) y2=dsolve(Dy)2+y2=1,y(0)=0) y2 = sin(t) -sin(t)2021-12-15110程序?qū)嵗?f,g=dsolve(Df=f+g,Dg=-f+g,f(0)=1,g(0)=2) f = exp(t)*(2*sin(t)+cos(t) g = exp(t)*(2*cos(t)-sin(t) f,g=dsolve(Df=f+g,Dg=-f+g,f(0)=1,g(

51、0)=2,x) f = exp(x)*(2*sin(x)+cos(x) g = exp(x)*(2*cos(x)-sin(x)2021-12-15111程序?qū)嵗?s=dsolve(Df=f+g,Dg=-f+g,f(0)=1,g(0)=2) s = f: 1x1 sym g: 1x1 sym s.f ans = exp(t)*(2*sin(t)+cos(t) s.g ans = exp(t)*(2*cos(t)-sin(t)2021-12-151125.7 符號函數(shù)畫圖 MATLAB的符號工具箱也為用戶對符號函數(shù)進行畫圖提供了方便。符號函數(shù)畫圖可以通過函數(shù)ezplot或fplot來實現(xiàn)。其中，函

52、數(shù)ezplot的調(diào)用格式如下： ezplot(f)表示在默認區(qū)間-2*pix2*pi繪制f=f(x)的函數(shù)圖或在默認區(qū)間-2*pix2*pi和-2*piy2*pi繪制f(x,y)=0的函數(shù)圖。 ezplot(f,a,b)同上，繪圖區(qū)間變?yōu)閍,b。 ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)同上，繪圖區(qū)間變?yōu)閤為xmin,xmax，y為ymin,ymax。 ezplot(x,y)表示在區(qū)間0t2*pi繪制x=x(t)和y=y(t)的函數(shù)圖。 ezplot(x,y,tmin,tmax)表示在區(qū)間tmint syms x f=x2-9; ezplot(f)2021-12-15114結(jié)

53、果圖形2021-12-15115程序?qū)嵗?syms x y f=x2+y2-9; ezplot(f)2021-12-15116結(jié)果圖形2021-12-15117 ezplot(x.2+y.2-9)2021-12-15118 ezplot(x.2+y.2-9=0)2021-12-15119程序?qū)嵗?syms x y f=x2+y2-9; ezplot(f,-3,3)2021-12-15120結(jié)果圖形2021-12-15121程序?qū)嵗?syms x y f=x2+y2-9; ezplot(f,-3,3,-4,5)2021-12-15122結(jié)果圖形2021-12-15123 ezplot(sin(x)-x2+2*y2=9)2021-12-15124程序?qū)嵗?syms x y t x=sin(3*t)*cos(t); y=sin(3*t)*sin(t); ezplot(x,y,0,pi)2021-12-15125結(jié)